一類混合中立型隨機泛函微分方程的均方指數(shù)穩(wěn)定性*

趙佳雨

(南京財經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210023)

近年來,隨機泛函微分方程成為一個熱門的研究話題,這類隨機系統(tǒng)未來的狀態(tài)不僅取決于系統(tǒng)在時刻t的當(dāng)前狀態(tài),還取決于整個時間區(qū)間[t-τ,t]上的已有狀態(tài)[1].隨機泛函微分方程在實際問題中有許多應(yīng)用,但由于系統(tǒng)的演化不僅取決于系統(tǒng)過去的狀態(tài),還與系統(tǒng)在許多生活現(xiàn)象中的變化速率有關(guān),因此有學(xué)者進(jìn)一步研究了中立型的隨機泛函微分方程[2].此外,由于不穩(wěn)定的系統(tǒng)環(huán)境,隨機系統(tǒng)經(jīng)常會出現(xiàn)隨機突變,進(jìn)而導(dǎo)致這些系統(tǒng)在多個不穩(wěn)定的狀態(tài)之間切換.連續(xù)時間Markov鏈?zhǔn)敲枋鲞@些隨機突變的有力工具,如在生態(tài)學(xué)和隨機控制領(lǐng)域,混合隨機泛函微分方程就被視為模擬這些系統(tǒng)的有效模型.

研究隨機泛函微分方程穩(wěn)定性問題是一項非常有意義的工作.目前,國內(nèi)外學(xué)者對混合中立型隨機泛函微分方程穩(wěn)定性的研究較多[3-6],且大部分采用的經(jīng)典而強大的技術(shù)都是Lyapunov函數(shù)方法[7]、Razumikhin型定理[8]和不動點方法[9].為了進(jìn)一步豐富和明確一般中立型隨機泛函微分方程均方指數(shù)穩(wěn)定性的判據(jù),Plam[10]采用比較原理和反證法來判定,并舉例說明了結(jié)論的適用性.筆者擬在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上作改進(jìn),即在系統(tǒng)突變的條件下建立新的混合中立型隨機模型,并討論混合中立型隨機泛函微分方程均方指數(shù)的穩(wěn)定性.

1 模型描述和預(yù)備工作

令(Ω,F,{Ft}t∈R+,P)是滿足通常條件的完備概率空間,{Ft:t∈R+}是(Ω,F,P)上給定的σ代數(shù)流,且流Ft是右連續(xù)、單調(diào)增的,F0是所有的P零集.{W(t)}t∈R+是一個定義于概率空間上的m維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.假設(shè){r(t),t∈R+}是齊次右連續(xù)Markov鏈,其在有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}上取值.轉(zhuǎn)移速率矩陣Γ=(γij),由狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率

考慮下列混合中立型隨機泛函微分方程:

d(x(t)-G(xt))=f(t,xt,r(t))dt+g(t,xt,r(t))dW(t)t∈R+.

(1)

其中:xt={x(t+s),s∈[-τ,0]},是一個C([-τ,0];Rn)值隨機過程;

f:R+×C([-τ,0];Rn)×S→Rn;

g:R+×C([-τ,0];Rn)×S→Rn×m;

G:C([-τ,0];Rn)→Rn.

xt0=ξ.

(2)

令C(Rn×[-τ,+∞);R+)為從Rn×[-τ,+∞)到R+的所有連續(xù)函數(shù)族,C2,1(Rn×[-τ,+∞)×S;R+)為在Rn×[-τ,+∞)×S上的所有連續(xù)非負(fù)函數(shù)V(x,t,i)族,且V(x,t,i)對x連續(xù)二階可微,對t連續(xù)一階可微.對于V∈C2,1(Rn×[-τ,+∞)×S;R+),定義運算符LV:C([-τ,0];Rn)×R+×S→R,

以下記T為某個實數(shù),對于任何區(qū)間J=[t0,T]?R+,約定Jτ=[t0-τ,T].

定義1稱x(t)為方程(1)在t∈Jτ上具初值ξ的解,如果Rn值隨機過程x(t)(t∈Jτ)滿足以下條件:

(1)x(t)為連續(xù)且Ft-適應(yīng)的C([-τ,0];Rn)值隨機過程;

(2){f(t,xt,r(t))}t≥0∈L1(R+;Rn),{g(t,xt,r(t))}t≥0∈L2(R+;Rn×m);

(3)對于?t∈R+,初值條件(2)滿足

以下結(jié)果保證了方程(1)解的存在唯一性:

定理1設(shè)I是以t0為左端點的(有限或無限)區(qū)間,函數(shù)f,g與G滿足以下條件:

(ⅰ)局部Lipschitz條件.任給緊區(qū)間H?I與n∈N+,對于每一個n≥1,存在正常數(shù)lJn,使得當(dāng)t≥0,i∈S,φ,ψ∈C([-τ,0];Rn),‖φ‖∨‖ψ‖≤n時,有

|f(t,φ,i)-f(t,ψ,i)|2∨|g(t,φ,i)-g(t,ψ,i)|2≤lJn‖φ-ψ‖2.

(ⅱ)線性增長條件.任給緊區(qū)間H?I,存在正常數(shù)lJ,使得當(dāng)t≥0,i∈S,φ∈C([-τ,0];Rn)時,有

|f(t,φ,i)|2∨|g(t,φ,i)|2≤lJ(1+‖φ‖2).

(ⅲ)壓縮性條件.存在k1∈(0,1),使得當(dāng)φ,ψ∈C([-τ,+∞);Rn)時,有

|G(φ)-G(ψ)|≤k1‖φ-ψ‖.

證明(ⅰ)取一停時序列{τk}k≥0,滿足0=τ0<τ1<…<τk→+∞,且r(t)在每一個區(qū)間[τk,τk+1)上幾乎處處為常數(shù).對于?k≥0,有r(t)=r(τk),τk

對于?T>0,在方程(1)中,先考慮當(dāng)t∈[0,T∧τ1]時,有r(t)=r(0),從而方程(1)變?yōu)榫叱踔祒0=ξ的方程

d(x(t)-G(xt))=f(t,xt,r(0))dt+g(t,xt,r(0))dW(t).

(3)

由于r(0)是常數(shù),因此方程(3)是一個中立型隨機泛函微分方程.由文獻(xiàn)[11]中的定理3.3.2可知,方程(3)在區(qū)間[-τ,T∧τ1]上存在唯一連續(xù)解.

再考慮當(dāng)t∈[T∧τ1,T∧τ2]時,有r(t)=r(τ1),從而方程(1)變?yōu)榫叱踔祒T∧τ1的方程

d(x(t)-G(xt))=f(t,xt,r(τ1))dt+g(t,xt,r(τ1))dW(t).

(4)

由于r(τ1)是常數(shù),因此方程(4)是一個中立型隨機泛函微分方程.由文獻(xiàn)[11]中的定理3.3.2可知,方程(4)在區(qū)間[T∧τ1,T∧τ2]上存在唯一連續(xù)解.

重復(fù)以上過程發(fā)現(xiàn),方程(1)在區(qū)間t∈[-τ,T]上存在唯一解x(t).由于?T>0,因此方程(1)在t≥-τ上存在唯一解x(t).

于是

由Gronwall不等式,可得

因此

為了探究方程(1)的均方指數(shù)穩(wěn)定性,記方程(1)的解為x(t,t0,ξ),如果ψ=0,假設(shè)G(ψ)=0,且f(0,t,i)=0,g(0,t,i)=O,?t∈R+,i∈S,那么方程(1),(2)在t0處有平凡解x(t)=0.

(5)

2 均方指數(shù)穩(wěn)定性

(6)

再假設(shè)存在局部有界Borel可測函數(shù)ρ(·):R+→R和ζ(·,·):R+×R-→R+,使得對于?t∈R,ψ∈C([-τ,0],Rn),i∈S,有

(7)

(8)

則方程(1)的零解是均方指數(shù)穩(wěn)定的.

證明令x(t)=x(t;t0,ξ),是方程(1),(2)的解,t∈Jτ.

(9)

則

(10)

假設(shè)(9)式成立,則對于?ε∈(0,1),有

于是由(6)式,可得

從而由(9)式,可得

于是

(ⅱ)證明方程(1)的零解是均方指數(shù)穩(wěn)定的.

固定M>2+2k2.考慮連續(xù)函數(shù)

X(t)=E|x(t)-G(xt)|2t≥t0,

由X(t)的定義、Cp不等式及(6)式,可得

X(t0)=E|x(t0)-G(xt0)|2≤E(|x(t0)|+|G(xt0)|)2≤2E|x(t0)|2+

即X(t0)

下證

X(t)≤Y(t)t≥t0.

(11)

(反證法)假設(shè)存在t1>t0,使得X(t1)>Y(t1).由連續(xù)性可得

X(t)≤Y(t)t∈[t0,t*],

(12)

X(tn)=Y(tn),

X(t*)=Y(t*).

(13)

令g1(ψ,t,i),g2(ψ,t,i),…,gm(ψ,t,i)為g(ψ,t,i)的列向量,明顯有

又由(7)式,可得

從而由Fubini定理,可得

從而當(dāng)t=t*時,由(8)式,可得

M1eαt*e-β(t*-t0)

所以,

這與(13)式矛盾,故原假設(shè)不成立,從而(11)式成立.于是,

由(ⅰ),可得

故由(5)式可知方程(1)的零解是均方指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

(14)

(15)

證明(6),(7)式通過不等式兩邊求期望可分別得到(14),(15)式,因此將定理2中的(6),(7)式分別換為(14),(15)式,證明類似.證畢.

(16)

(17)

所以由(17)式可推得(8)式.將定理3中的(8),(15)式分別換為(17),(16)式,證明類似.證畢.

由定理2～4可得以下結(jié)果:

推論1假設(shè)(8),(9)式或(16),(17)式成立.若

(18)

則方程(1)的零解是均方指數(shù)穩(wěn)定的.

注1由(18)式可知,對于?t∈R+,有

從而(8)式成立.推論1來源于定理2和定理3.

推論2假設(shè)(14),(16)式成立.若

(19)

則方程(1)的零解是均方指數(shù)穩(wěn)定的.

注2由(19)式,可得

從而(17)式成立.推論2來源于定理4.

3 數(shù)值算例

例1考慮下列具有Markov切換的中立型隨機延遲微分方程:

d(x(t)-u(x(t-τ)))=f(x(t),x(t-τ),t,r(t))dt+

g(x(t),x(t-τ),t,r(t))dW(t)t≥t0>0.

(20)

其中:τ>0;u:Rn→Rn,f:Rn×Rn×R+→Rn,g:Rn×Rn×R+→Rn×m,是連續(xù)函數(shù),滿足對于?t≥0,有u(0)=0,f(0,0,t,i)=0,g(0,0,t,i)=O;W(t)是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.f和g滿足局部Lipschitz條件,u是一個壓縮映射,即

|u(x)-u(y)|≤c|x-y|x,y∈Rn,c∈(0,1).

(21)

假設(shè)存在正常數(shù)αi>0,i=1,2,使得對于t∈R+,x,y∈Rn,i∈S,有

(22)

則方程(20)的零解是均方指數(shù)穩(wěn)定的.

證明(ⅰ)由(21)式,可得

故(14)式成立.

(ⅱ)由(22)式,可得

-α1E|ξ(0)|2+α2E|ξ(-τ)|2.

對于?ε∈(0,1),有

E|ξ(0)|2≥E(|ξ(0)-G(ξ)|2)+E(|G(ξ)|2)-2E(|ξ(0)-G(ξ)||G(ξ)|)≥

即

從而

故(16)式成立.

特別地,易證中立型隨機延遲微分方程

d(x(t)-0.2x(t-0.25))=f(x(t),x(t-τ),t,r(t))dt+

g(x(t),x(t-τ),t,r(t))dW(t)

(23)

f(x(t),x(t-τ),t,1)=-8x(t)+1.6x(t-0.25)-5(x(t)-0.2x(t-0.25))3,

f(x(t),x(t-τ),t,2)=-2.5(x(t)-0.2x(t-0.25))3,

圖1 方程(23)的樣本路徑Fig. 1 Sample Path of the System (23)

圖1示出了方程(23)的樣本路徑,由圖可見零解是穩(wěn)定的.

例2考慮下列具有Markov切換的中立型隨機泛函微分方程:

d(x(t)-0.2x(t-1))=f(xt,t,r(t))dt+

g(xt,t,r(t))dW(t),

(24)

f(xt,t,1)=-6x(t)+1.2x(t-1),f(xt,t,2)=-5x(t)+x(t-1),

其中ρ(t)=-12,μ(t)=2.56,于是(16)式成立;當(dāng)i=2時,

其中ρ(t)=-10,μ(t)=0.64,于是(16)式也成立.

(ⅲ)由(ⅱ)可知:當(dāng)i=1時,

圖2 方程(24)的樣本路徑Fig. 2 Sample Path of the System (24)

當(dāng)i=2時,

于是(19)式成立.

綜上,由推論2可知,方程(24)的零解是均方指數(shù)穩(wěn)定的.證畢.

圖2示出了方程(24)的樣本路徑,由圖可見零解是穩(wěn)定的.