一道中考試題的解法探究與變式演練

馮文波

摘要：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其運(yùn)用是各地中考的高頻考點(diǎn)，也是難度較大的壓軸題型之一.通過(guò)對(duì)一道中考真題的解析探究、變式演練和總結(jié)反思，探索了這一題型的解題思路與方法.

關(guān)鍵詞：真題再現(xiàn)；解法探究；思路分析；變式演練；結(jié)合圖象

“一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是人教版八年級(jí)（下）第十九章的內(nèi)容.本章既是函數(shù)部分的起始章，又是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的基礎(chǔ)，所以十分重要.近年來(lái)，一次函數(shù)成為各地中考的必考內(nèi)容之一，題型多樣，其中難度較大的是解答題中對(duì)一次函數(shù)的性質(zhì)、圖象與實(shí)際運(yùn)用的考查.

1 真題再現(xiàn)

（2022年河北省中考數(shù)學(xué)第25題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知線段AB的端點(diǎn)為A（-8，19），B（6，5）.

（1）求AB所在直線的解析式.

（2）某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫：在函數(shù)y=mx+n（m≠0，y≥0）中，分別輸入m和n的值，得到射線CD，其中C（c，0）.當(dāng)c=2時(shí)，會(huì)從C處彈出一個(gè)光點(diǎn)P，并沿CD飛行；當(dāng)c≠2時(shí)，只發(fā)出射線而無(wú)光點(diǎn)彈出.

①若有光點(diǎn)P彈出，試推算m，n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）時(shí)，線段AB就會(huì)發(fā)光，求此時(shí)整數(shù)m的個(gè)數(shù).

2 解法探究

上述真題思路分析及解析如下.

思路分析：第（1）問(wèn)運(yùn)用待定系數(shù)法.設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），把點(diǎn)A，B坐標(biāo)代入求出k，b的值即可.第（2）問(wèn)的第①小問(wèn)，由題意知點(diǎn)C（2，0），把點(diǎn)C（2，0）代入y=mx+n，即可求解；對(duì)于第②問(wèn)，由①得n=-2m，則y=（x-2）m，根據(jù)題意找到線段AB上的整點(diǎn)，再逐一代入，即可求解.

解析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），

故AB所在直線的解析式為y=-x+11.

（2）①若有光點(diǎn)P彈出，則c=2，即點(diǎn)C（2，0）.

把點(diǎn)C（2，0）代入y=mx+n（m≠0，y≥0），

得2m+n=0.故有光點(diǎn)P彈出時(shí)，m，n滿足n=-2m.

②由①得n=-2m，代入y=mx+n，得y=（x-2）m.

由（1）知AB所在直線的解析式為y=-x+11，

所以，線段AB上的其他整點(diǎn)為（-7，18），（-6，17），（-5，16），（-4，15），（-3，14），（-2，13），（-1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）.

因?yàn)橛泄恻c(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn)，

所以直線CD過(guò)整數(shù)點(diǎn).

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（-1，12）時(shí)，12=（-1-2）m，即m=-4；

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（1，10）時(shí)，10=（1-2）m，即m=-10；

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（2，9）時(shí)，9=（2-2）m，不存在；

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（3，8）時(shí)，8=（3-2）m，即m=8；

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（5，6）時(shí)，6=（5-2）m，即m=2；

綜上所述，滿足題意的整數(shù)m的個(gè)數(shù)為5.

總結(jié)反思：解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn)，即直線CD過(guò)整數(shù)點(diǎn).

3 變式演練

3.1 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

（2）試求上述兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)，并借助圖象求出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.

思路分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，即可求出b.

（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立，求方程組的解，再數(shù)形結(jié)合即可求解.

由一次函數(shù)y=x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2），

得2=1+b，

即b=1.

由（x+2）（x-1）=0，解得x=-2或x=1.

因?yàn)辄c(diǎn)B在第三象限，所以其坐標(biāo)為（-2，-1）.

由圖象可知，當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是x<-2，或0

總結(jié)反思：充分利用兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是解決反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題的關(guān)鍵；在解答第（2）問(wèn)時(shí)，要注意觀察圖象，同時(shí)不能忽視本問(wèn)的解存在著兩種情況.

3.2 與一次函數(shù)的圖象有密切聯(lián)系的題型

例2 已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)P（x，y）在第一象限，且x+y=8，設(shè)△OPA的面積為S.

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求x的取值范圍；

（3）求S=12時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）畫出函數(shù)S的圖象.

思路分析：通過(guò)作垂線，即可求出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；由點(diǎn)P在第一象限，可求出x的取值范圍；再由S=12，可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)；最后，根據(jù)兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)便可畫出函數(shù)的圖象.

（2）由x+y=8與點(diǎn)（x，y）在第一象限，可知x的取值范圍為0

（3）當(dāng)S=12時(shí)，x=4，y=4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4）.

（4）函數(shù)S的圖象為一條不包括兩端點(diǎn)的線段MN，其中端點(diǎn)分別為M（0，24），N（8，0），如圖3.

總結(jié)反思：解函數(shù)圖象信息題的關(guān)鍵在于看懂圖象和熟悉實(shí)際情境中的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)綜合分析、推理.

4 結(jié)語(yǔ)

一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象的綜合類問(wèn)題，具有“覆蓋知識(shí)面廣、涉及知識(shí)點(diǎn)多、思路開闊、解法靈活、便于設(shè)題”等特點(diǎn)，尤其適合對(duì)學(xué)生綜合能力的全面考查，近年來(lái)已成為各地中考的壓軸題型之一.因此，要想在數(shù)學(xué)中考中取得優(yōu)異成績(jī)，就需要研究壓軸題的類型與解題方法［1］，特別是在平時(shí)備考過(guò)程中，要多做中考真題，加強(qiáng)類題演練和變式演練，及時(shí)總結(jié)反思.“備”是為了“考”，有“備”才能無(wú)患.

參考文獻(xiàn)：

［1］肖學(xué)軍.例談中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略［J］.理科考試研究，2022（4）：7-10.