初中數(shù)學(xué)教材編修中的幾個(gè)具體問題

摘要：教材編修是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育的關(guān)鍵，在具體修訂過程中存在許多有爭(zhēng)議的問題，對(duì)這些問題在討論、辯論過程中達(dá)成“共識(shí)”或者拋出問題，引起大家的進(jìn)一步討論，有助于教材的編修.無理數(shù)概念的名稱問題與編排的“位置”問題，幾何證明位置的編排問題，銳角三角形函數(shù)的“稱謂”問題，以及勾股定理的優(yōu)化與是否需要證明等問題是困惑我們編修人員的問題.

關(guān)鍵詞：教材編修;幾何證明;無理數(shù);銳角三角函數(shù);勾股定理

筆者有幸參加了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》頒布以來初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材的編寫，以及《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）發(fā)布后教材的修訂工作.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022年版）》）頒布后，有關(guān)出版社便組織教材修訂人員，對(duì)與《課標(biāo)（2011年版）配套的教材進(jìn)行修訂.二十余年以來，筆者親身經(jīng)歷了在教材整體規(guī)劃、修訂、打磨過程中，始終有許多問題困擾著我們，今選幾個(gè)典型問題與大家進(jìn)一步探討，也期望對(duì)正在進(jìn)行的編修工作有所啟發(fā).

1 關(guān)于無理數(shù)概念的問題

無理數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是教材編寫中有爭(zhēng)議的地方之一.爭(zhēng)議主要體現(xiàn)在兩點(diǎn)：一是名稱問題；二是編排的“位置”問題.

在《課標(biāo)（2022年版）》頒布之前，筆者對(duì)“無理數(shù)”的誕生歷史進(jìn)行過研究，通過深刻思考曾經(jīng)發(fā)表了以《初中數(shù)學(xué)教材無理數(shù)概念編排斷想——供教材編者參考》為代表的論文.該文主要論述了三個(gè)問題：無理數(shù)概念的誕生史；對(duì)教材中無理數(shù)概念的總體設(shè)想；對(duì)教材中無理數(shù)概念編排的具體建議.對(duì)于無理數(shù)的概念，我們認(rèn)為有如下兩個(gè)問題：

（1）名稱應(yīng)還原歷史：把有理數(shù)和無理數(shù)分別稱為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”

大量資料表明，有理數(shù)應(yīng)叫可比數(shù)，無理數(shù)叫不可比數(shù).無理數(shù)的產(chǎn)生早于數(shù)軸的發(fā)明，教材中無理數(shù)出現(xiàn)在數(shù)軸之后是不符合“史實(shí)”的.把無理數(shù)提前到數(shù)軸之前，和有理數(shù)“同時(shí)”安排，還原了“歷史”面貌，有助于學(xué)生整體認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).

長(zhǎng)期以來，我們一直把整數(shù)和分?jǐn)?shù)叫做有理數(shù)，這似乎是一個(gè)毋庸置疑的問題.據(jù)文[1]介紹，由于一開始翻譯的訛誤，才造成了把整數(shù)和分?jǐn)?shù)叫做“有理”的數(shù)，其原意并不是這個(gè)意思.

“有理數(shù)”的英文是rational number，“無理數(shù)”的英文是irrational number，irrational是rational的反義詞.rational這個(gè)詞原本的含義有二：其一是“比”，其二是“合理”.按照概念的內(nèi)涵，rational number和irrational number應(yīng)該分別翻譯為“可比數(shù)”和“不可比數(shù)”[2]，由此可見，無理數(shù)的本質(zhì)是不能用整數(shù)之比表示的數(shù)[2].

《課標(biāo)（2022年版）》在“課程性質(zhì)”中的第一句話是“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”[3].教材編寫首先應(yīng)遵循“科學(xué)性原則”，數(shù)學(xué)教材是學(xué)生學(xué)習(xí)這門“科學(xué)”的第一載體，理所當(dāng)然要尊重科學(xué)史實(shí)！教材編寫中把有理數(shù)叫做“可比數(shù)”，把“無理數(shù)”叫做不可比數(shù)”就是還原歷史、尊重科學(xué)的舉措.

利用是否可“比”定義有理數(shù)和無理數(shù)的意義有三：

一是突出了數(shù)學(xué)的本質(zhì).教材最大的特色或者說排在第一位的特色就是要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).《課標(biāo)（2022年版）》提出了“注重教材創(chuàng)新”的“編寫建議”，其中提出，“教材編修……，‘所選內(nèi)容應(yīng)注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)[2]”，用“比”的定義方式突出了數(shù)學(xué)的本質(zhì).

二是能澄清學(xué)生的模糊認(rèn)識(shí).利用“比”定義有理數(shù)，學(xué)生就能很容易認(rèn)定227是有理數(shù)了，而目前大多教材中所定義有理數(shù)和無理數(shù)的方式，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)227究竟是有理數(shù)還是無理數(shù)一直存有疑問.

三是符合先“質(zhì)”后“量”的習(xí)慣.任何數(shù)學(xué)概念都有“質(zhì)”和“量”兩個(gè)方面，是“質(zhì)”和“量”的統(tǒng)一體，在這兩個(gè)方面中，前者是第一位的.對(duì)于數(shù)學(xué)概念，有兩種定義方式：一是通過揭示概念的內(nèi)涵來定義；二是利用外延來定義.用內(nèi)涵來定義是立足于“質(zhì)”的方面揭示概念的本質(zhì)，而用外延來定義則是從“量”的方面來考慮的.選擇定義方式時(shí)應(yīng)先“質(zhì)”后“量”.

（2）強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)：把有理數(shù)和無理數(shù)作為一節(jié)課安排在數(shù)軸之前

把有理數(shù)和無理數(shù)放到一節(jié)課，提到“數(shù)軸”前安排，很多教師認(rèn)為這樣會(huì)增加學(xué)習(xí)困難或負(fù)擔(dān).那么，該如何讓學(xué)生“看到”無理數(shù)呢？

把有理數(shù)和無理數(shù)作為一節(jié)課符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，理由有二：

二是具備了知識(shí)基礎(chǔ).《課標(biāo)（2022年版）》在第三學(xué)段的“課程內(nèi)容”中，提出了“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式”[3]的要求；在“教學(xué)要求”中，提出了“會(huì)計(jì)算平行四邊形、三角形、梯形的面積，能用相應(yīng)公式解決實(shí)際問題”[3]；在“教學(xué)提示”中，提出了“引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形的面積公式”[3].由此可見，學(xué)生通過第三學(xué)段的要求，已經(jīng)具備了學(xué)習(xí)無理數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ).

如何讓學(xué)生感悟到無理數(shù)是客觀存在的數(shù)呢？

筆者認(rèn)為，對(duì)于無理數(shù)位置前移，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)操作—得到新數(shù)（擴(kuò)充數(shù)系的必要性）—探索新數(shù)特點(diǎn)（擴(kuò)充數(shù)系的合理性）—給出無理數(shù)定義—擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)[2]”的過程.教材要突出“給出可比數(shù)的概念、引進(jìn)不可比數(shù)、畫不可比數(shù)點(diǎn)”三個(gè)環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生感悟到“無理數(shù)”是實(shí)實(shí)在在存在的數(shù).

2 關(guān)于幾何證明安排的位置問題

“推理能力”是《課標(biāo)（2022版）》提出的重要核心素養(yǎng)之一.推理能力主要包括合情推理能力與演繹推理能力.以往在培養(yǎng)推理能力方面過分依賴幾何，比較重視“演繹推理”，對(duì)“代數(shù)推理”“統(tǒng)計(jì)推理”的重視程度不夠.為了改變這一現(xiàn)狀，《課標(biāo)（2022版）》在“課程內(nèi)容”中增加了“了解代數(shù)推理”的要求.代數(shù)推理能力一方面可以通過合情推理訓(xùn)練來培養(yǎng)，也可以通過演繹推理訓(xùn)練來提升.

平面幾何內(nèi)容歷來被認(rèn)為是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要載體.數(shù)學(xué)教材應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的推理能力作為貫穿“圖形與幾何”內(nèi)容的主線之一，遵循“合情推理—演繹推理—合情推理與演繹推理相結(jié)合”的原則，分三個(gè)階段來設(shè)計(jì)這部分內(nèi)容.

《課標(biāo)（2022版）》對(duì)于“圖形的性質(zhì)”這一主題，強(qiáng)調(diào)“通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形”[3]，這里“強(qiáng)調(diào)”意味著在學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)時(shí)應(yīng)采用三種方法，這三種方法出現(xiàn)的順序?yàn)椤皩?shí)驗(yàn)探究—直觀發(fā)現(xiàn)—推理論證”.前兩種方法有助于合情推理能力的發(fā)展，后一種方法注重演繹推理能力.

合情推理對(duì)于學(xué)生將來的發(fā)展具有重要的意義.從這個(gè)角度看，教材中“證明”不宜過早出現(xiàn)，安排在八年級(jí)下冊(cè)比較合適，如果安排在八年級(jí)上冊(cè)的話，也應(yīng)該在其后半部分.

特別需要說明的是，“全等三角形”和“軸對(duì)稱圖形”內(nèi)容是落實(shí)《課標(biāo)（2022版）》“通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)研究圖形”最恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容，因此建議把“證明”放在這兩章的后面.這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力和實(shí)驗(yàn)探究能力.

這兩部分內(nèi)容主要承擔(dān)的是培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，并為演繹推理能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ).教科書應(yīng)采取以實(shí)驗(yàn)、觀察、類比、推測(cè)等合情推理的方式獲取數(shù)學(xué)結(jié)論為主，初步感悟演繹推理和變換幾何的思想.

例如，全等形概念是在學(xué)生“觀察圖片”的基礎(chǔ)上引入的；全等三角形及其特征是在學(xué)生“動(dòng)手操作、觀察、比較、探究、感悟”的基礎(chǔ)上得到的；三角形全等的四個(gè)判定方法都是通過實(shí)驗(yàn)探究得到的.

這種安排促進(jìn)了學(xué)生合情推理能力的發(fā)展，也有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間觀念，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)對(duì)于他們感受數(shù)學(xué)思考過程的合理性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性也是非常有益的.

3 關(guān)于三角函數(shù)的名稱問題

“銳角三角函數(shù)”是解直角三角形的基礎(chǔ)，對(duì)應(yīng)銳角A的正弦、余弦、正切應(yīng)定義為銳角A的三角比，而不是銳角三角函數(shù).理由如下：

（1）《課標(biāo)（2022年版）》把“圖形與幾何”領(lǐng)域分為“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題.“銳角三角函數(shù)”是解直角三角形的基礎(chǔ)，銳角三角函數(shù)概念在“圖形的變化”主題中，在這個(gè)主題中圖形的變化是主線，這里面包含了合同變換（圖形的軸對(duì)稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的相似），直角三角形的邊角關(guān)系也屬于這一主線.

（2）《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)“銳角三角函數(shù)”的要求是“利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sin A，cos A，tan A）[3]”.對(duì)應(yīng)《課標(biāo)（2022年版）》的解讀指出“關(guān)于銳角三角函數(shù)，初中階段主要研究直角三角形的邊角關(guān)系，而沒有從函數(shù)的角度去研究”[4].

（3）對(duì)于直角三角形的邊角關(guān)系，教材中是利用“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”來研究的，而不是從變量和函數(shù)的角度去研究的.

在定義過程中“比”是核心知識(shí)，我們認(rèn)為叫銳角三角比更能反映它們的實(shí)質(zhì)，也能很好地體現(xiàn)《課標(biāo)（2022年版）》的上述要求.

在具體引入概念時(shí)，應(yīng)從概念的內(nèi)涵與外延上作深入的剖析，剖析概念的內(nèi)涵就是抓住概念的本質(zhì)特征.教材中可抓住正弦進(jìn)行剖析，正弦在本質(zhì)上是一個(gè)“比”.為了突出這個(gè)比值，結(jié)合圖1，說明如下：

（1）正弦是一個(gè)比；

（2）這個(gè)比是∠A的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值；

（3）這個(gè)比值隨∠A的確定而確定，與點(diǎn)在∠A的終邊上的位置無關(guān)（這一點(diǎn)可用相似三角形的原理來說明）；

（4）由于y≤r，所以這個(gè)比值不會(huì)超過1[5].

事實(shí)上，對(duì)于∠A的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)確定的比值與之相對(duì)應(yīng).讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，他們對(duì)正弦的理解就更深刻了.

另外，∠A的終邊上的一點(diǎn)P（x，y）一旦確定，x，y，r這三個(gè)量（見圖2）的值也就確定了，任取其中兩個(gè)就可以確定一個(gè)比值，這樣的比值有且只有六個(gè).因此，基本銳角三角比有且只有六個(gè)，這便是銳角三角比的外延，在初中我們僅學(xué)習(xí)其中的三個(gè).

4 關(guān)于勾股定理的問題

勾股定理是直角三角形的一個(gè)性質(zhì)定理，由于它有著悠久的歷史、豐富的文化內(nèi)涵以及在數(shù)學(xué)史上的獨(dú)特地位和廣泛的應(yīng)用，因此成為數(shù)學(xué)中最著名、最重要的定理之一.

關(guān)于勾股定理，主要有兩個(gè)問題：一是單獨(dú)成章還是與實(shí)數(shù)合并；二是教材中需不需要對(duì)其進(jìn)行證明的問題.這兩個(gè)問題，編修過程中爭(zhēng)議很大.筆者建議：

（1）把勾股定理并到實(shí)數(shù)一章

從《課標(biāo)（2022年版）》可知“勾股定理”和“數(shù)的開方”分別是“圖形與幾何”和“數(shù)與代數(shù)”兩個(gè)領(lǐng)域的核心內(nèi)容，它們分別代表著“形”和“數(shù)”，從科學(xué)發(fā)展史來看，二者有著密切的關(guān)聯(lián)，是并存發(fā)展的.如2，3等無理數(shù)是伴隨著勾股定理的發(fā)現(xiàn)而誕生的，所以說無理數(shù)使得勾股定理對(duì)于邊長(zhǎng)是任意正數(shù)的直角三角形都能成立，反過來，勾股定理使得無理數(shù)有了明確直觀的幾何解釋.

將“勾股定理”和“數(shù)的開方”合為“實(shí)數(shù)”一章，這種安排是還實(shí)數(shù)（勾股定理）到其應(yīng)在的“位置”.二者合為一體，揭示了他們之間本來固有的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性和文化價(jià)值.

這種處理方式，不僅解決了傳統(tǒng)教材中將二者分開后，究竟先安排勾股定理再安排無理數(shù)，還是先安排無理數(shù)再安排勾股定理的矛盾.同時(shí)，還回歸到人類發(fā)現(xiàn)勾股定理和無理數(shù)的歷史，揭示了二者之間的聯(lián)系，是“形”和“數(shù)”兩個(gè)研究對(duì)象在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，相互滲透的典范，也符合《課標(biāo)（2022年版）》突出學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法的要求精神.

將勾股定理合并到“實(shí)數(shù)”后，本章的宏觀設(shè)計(jì)是：在有理數(shù)的基礎(chǔ)上，通過研究平方、立方運(yùn)算的逆運(yùn)算，以及已知直角三角形的兩邊由勾股定理求第三邊邊長(zhǎng)的需要，引入新的運(yùn)算——開平方和開立方運(yùn)算，以及開方運(yùn)算產(chǎn)生的新數(shù)——無理數(shù)，提出實(shí)數(shù)概念（前面只提出無理數(shù)概念，但不出現(xiàn)實(shí)數(shù)），將數(shù)的范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù).

本章之后將在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論一元一次不等式、二次根式、一次函數(shù).這種統(tǒng)籌安排、整體設(shè)計(jì)的方式，有利于學(xué)生逐步掌握當(dāng)數(shù)域擴(kuò)充后數(shù)學(xué)研究的規(guī)律和方法，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與感受.同時(shí)，這種設(shè)計(jì)更加印證了人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是在生產(chǎn)、生活和數(shù)學(xué)自身矛盾的發(fā)展過程中不斷加深和完善的事實(shí).

（2）勾股定理不需要證明

《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)于勾股定理的要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”[3].這個(gè)要求在21世紀(jì)初開始實(shí)施的課程標(biāo)準(zhǔn)中一直沒有變化.

直角三角形中的判定有：（1）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；（2）兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，（3）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

用勾股定理看判定方法（2）（3），可以得到如下結(jié)論：

在等式a２+b２=c２中，任給兩個(gè)字母的值就可以唯一確定第三個(gè)字母的值.勾股定理的重要性在于它在定量幾何中扮演著重要的角色.勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明具有很強(qiáng)的構(gòu)造性，如果沒有畢達(dá)哥拉斯那樣對(duì)圖形關(guān)系的高度敏感性和好運(yùn)氣，那么要發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關(guān)系也是很難的.

《課標(biāo)（2022年版）》對(duì)勾股定理的要求是“探索”得到定理并且“會(huì)運(yùn)用”，因此，在教材中不能出現(xiàn)關(guān)于勾股定理的證明問題.如果教材中出現(xiàn)勾股定理的證明，則超標(biāo)了.

以上是作者對(duì)編修初中數(shù)學(xué)教材中幾個(gè)“敏感”問題的思考建議，供大家討論.

參考文獻(xiàn)：

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[5]李樹臣.注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)質(zhì) 突出內(nèi)在聯(lián)系——青島版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章“解直角三角形”介紹[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（4）：43-47，3.