關(guān)系與數(shù)量:分數(shù)概念理解的不同視角

馬紅斐, 楊伊生

(內(nèi)蒙古師范大學a.教育學院 b.心理學院, 內(nèi)蒙古 呼和浩特 011517)

雖然數(shù)量關(guān)系是人類表征世界的維度,但數(shù)量概念的學習和掌握卻不是一件容易的事.在種類繁多的數(shù)概念中,“分數(shù)”代表了有理數(shù)的一般形式,也是整數(shù)向?qū)崝?shù)轉(zhuǎn)變的重要中介.現(xiàn)實生活中,不僅成人的分數(shù)表征能力明顯弱于整數(shù)[1],小學生對分數(shù)的學習存在更大困難[2].在我國,分數(shù)教學從三年級開始,陸續(xù)進行到小學畢業(yè),學生在分數(shù)學習中要經(jīng)歷比數(shù)量、運算更為復雜的思維問題.

縱觀國內(nèi)外已有的分數(shù)教學與認知研究,存在“關(guān)系”與“數(shù)量”兩個主體視角.關(guān)系概念關(guān)注學生對分數(shù)所反映的不同關(guān)系含義的掌握,以及圍繞這些含義分數(shù)概念結(jié)構(gòu)的建構(gòu)方式和途徑;數(shù)量概念的教學則側(cè)重于學生對分數(shù)數(shù)量大小的精確理解.從教學研究狀況看,分數(shù)關(guān)系表征的教學研究和實踐開始較早,涉及的內(nèi)容也十分廣泛,國內(nèi)的教材及教學中有著充分的體現(xiàn);而數(shù)量概念的教學研究相對較少,認知領(lǐng)域的前沿研究成果主要源自國外.

1 分數(shù)關(guān)系概念的教學

分數(shù)“關(guān)系表征”的教學研究由來已久,最為全面的是Kieren等[3]立足有理數(shù)域進行的大量分析.他們認為有理數(shù)包含了部分/整體、比及比率、除商、測量和算子五個子成分.這些成分的共性在于用分數(shù)反映兩個量之間的關(guān)系,差異在于每種子成分所產(chǎn)生的運算操作不同,但總體上五種子成分共同構(gòu)成了有理數(shù)完整的功能.相比其他數(shù)概念,分數(shù)多重含義的特性極大地增加了學習的難度.因為兒童對分數(shù)不同意義的理解不僅顯示其對分數(shù)或有理數(shù)概念的抽象能力,還涉及乘除法等運算,甚至有研究表明分數(shù)可以對乘法應用題學習起到預測作用[4].

1.1 部分/整體子概念是分數(shù)認知的基礎

分數(shù)的產(chǎn)生及特性源于其“分”的操作.國內(nèi)多個版本的小學數(shù)學教材都用“整體平均分成若干部分,部分占整體的幾分之幾”來解釋分數(shù).這種“分—取”操作定義使得分數(shù)最大限度地吸納了自然數(shù)的概念,學生可基于原有整數(shù)加減法的知識理解和掌握分數(shù)的符號規(guī)則.正如皮亞杰認為圖形和實物的分割操作包含了部分與整體的關(guān)系、部分之間的關(guān)系、份數(shù)與每份量的關(guān)系等多個認知要素.此外,部分/整體概念還承擔著幫助學生建立部分與整體同構(gòu)性的任務.比如理解 1/2與2/4相等時,一個正方形從原來的二等分變成了四等分,均分后的整體塊數(shù)和拿取塊數(shù)雖然都擴大,但因其是同步進行的,所以擴大的部分被“抵消”,最終實際量沒有變化.由此可見,部分/整體同構(gòu)的心理單元直接為等值分數(shù)的理解奠定了經(jīng)驗基礎.

雖然部分/整體概念的認知難度較小,但也存在對“整體”的固化理解問題.具體而言,學生對整體的抽象經(jīng)常受事物的數(shù)量或圖形形狀的干擾,而缺乏靈活可變性.其原因可能是多個離散的事物在視覺上不易被感知為整體,從而錯誤地讀取其數(shù)量信息[5],也可能與數(shù)學教師經(jīng)常向?qū)W生強調(diào)單位“1”或單位量有關(guān)[6].尤其單位1的過分強調(diào)容易引發(fā)“整體恒大于部分,分子小于分母”的認知定勢.因此,在這部分的教學中建立部分/整體概念和克服“分數(shù)一定小于1”應當同步進行.

1.2 分數(shù)比的子概念

分數(shù)的“比”概念是對量概念的抽象,因為它突出了分數(shù)代表兩個其他量的比較關(guān)系,而不是將其當作一個絕對的數(shù)值來思考.當分數(shù)作為比概念理解時存在兩種情況:其一是被比較的兩個量屬于同類量,所形成的分數(shù)無量綱,只是一個比較指標;其二,被比較的兩個量分屬于不同的種類,也即有不同的單位,此時獲得的分數(shù)是有單位的,而且這個單位是一個新的復合單位,即新的量綱,如速度、密度等.顯然,兩種情況中分數(shù)作為比概念理解的難度是不同的.分數(shù)作為無量綱的“比”和“率”更容易被接受,因為它可以從最初部分/整體概念轉(zhuǎn)化得來.而有量綱的比不僅需要關(guān)注數(shù)量關(guān)系,還需要理解不同單位能對應的原因.因此,研究者認為無量綱的比更貼近分數(shù)的比概念的內(nèi)涵7-8].

抽象是數(shù)學認知的重要工具[9],對于分數(shù)無量綱的比概念,理解的最大障礙就是從實際數(shù)量中抽取出相對比的過程.兒童最初可能采用計數(shù)和匹配的策略去理解單一情境中離散量的比率(如女生人數(shù)是男生人數(shù)的1/2),之后逐步發(fā)展到能處理跨情景或連續(xù)量的分數(shù)比率問題.例如,國外在測試兒童圖形類比推理能力時發(fā)現(xiàn), 六七歲的兒童就能理解不同圖形所表示的相同比例(例如,1/2圓和1/2矩形;1/4圓和1/4矩形)對應的關(guān)系[10].除此之外,等值分數(shù)也成為分數(shù)比概念學習的難點.等值分數(shù)建立在分子和分母之間的商不變的基礎上,代表著大小相等的一組分數(shù).換言之,每個分數(shù)都屬于一個等價集,該等價集中又包含無限個分數(shù).等值分數(shù)的理解中,一方面,學生難以從一系列變化的量中發(fā)現(xiàn)共同的不變關(guān)系;另一方面,他們無法將這種關(guān)系主動用到其他的數(shù)值中.對此,國外甚至專門建立了分數(shù)實驗室(http://fractionslab.lkl.ac.uk/),為學生提供虛擬環(huán)境執(zhí)行無法通過物理分割進行的分數(shù)操作.

1.3 分數(shù)的測量子概念

分數(shù)的測量定義也被認為是分數(shù)產(chǎn)生的原因之一.當以某個量為單位測定一個目標量時,往往會出現(xiàn)目標量不是單位量整倍數(shù)的情況,此時用分數(shù)來表示結(jié)果就是分數(shù)的測量含義.測量子概念強調(diào)了每一個分數(shù)都是其分數(shù)單位累積的結(jié)果,而且,這種累加的性質(zhì)也使得分數(shù)與自然數(shù)、整數(shù)的構(gòu)成保持了一致.但實際學習中,學生往往不會將測量含義作為分數(shù)概念表征的首選.其原因主要有兩方面:首先,與整數(shù)以1為單位的確定性不同,分數(shù)單位總是隨著分數(shù)的不同而變化.這就如同我們在測量長度時,被要求不斷更換厘米、市尺、米等不同刻度的尺子,單位的變更就足以造成混亂.其次,相比于最早學習的部分/整體概念,測量子概念較為復雜.因此當兩個概念都可以用來解釋分數(shù)時,學生傾向于用部分/整體的概念理解分數(shù),而非測量概念.具體而言,盡管測量與部分/整體概念都體現(xiàn)了一種包含的關(guān)系,但部分/整體概念立足整體單位“1”,衡量整體之下包含的部分,而測量概念需要從給定的單位出發(fā),“迫使”這個單位包含于被測的對象中.當給定的單位小于被測的對象時,學生要將其看成單位分數(shù);而當給定的單位大于所測對象時,即使得到了分數(shù)結(jié)果,但“部分大于整體”接受起來仍有困難.例如,將8作為單位,去度量2時,得到了1/4.而在學生看來,這似乎與“把單位1平均分成4份,取其中1份”的概念是矛盾的.

1.4 分數(shù)商的子概念

整數(shù)除法和分數(shù)在邏輯上等價.當把分數(shù)a/b看作商時,它表示a、b之間的除法運算關(guān)系及其結(jié)果.商的運算要求學生較好地實現(xiàn)由“過程”向“對象”的重要轉(zhuǎn)變,后者就是所謂的“凝聚”[11].除法在現(xiàn)實生活中有兩種含義:一種是“包含除”,即總體確定后,根據(jù)一份的量計算出份數(shù),也可以將其視為測量或重復相減;另一種是“等分除”,根據(jù)份數(shù)計算出每份的量,也就是學生最熟悉的平均分.分數(shù)的出現(xiàn)徹底打破了整除的局限性,學生不再需要考慮余數(shù)的問題,甚至可以成為小數(shù)認知的基礎.它還有利于澄清“兩個整數(shù)之間沒有數(shù)字”的誤解.然而教學也面臨著學生無法接受分數(shù)作為除法運算結(jié)果的尷尬.學生常常認為分數(shù)是“沒算完”,一直要將分數(shù)化為小數(shù)為止.只有當學生積累了大量分割經(jīng)驗后,可以不通過畫圖等方式能直接回答出每份的量,以及每份量與整體的相對大小時,他們便真正理解分數(shù)商的概念.

1.5 分數(shù)算子的子概念

算子實則是映射,反映了兩個量關(guān)系的轉(zhuǎn)換方式,如把一個集合轉(zhuǎn)化為有a/b倍元素的另一個集合,這里的a/b就是轉(zhuǎn)換法則.分數(shù)的算子理解與前述部分/整體和除商概念都不相同,它凸顯了對關(guān)系本身的抽取及一個數(shù)量與算子結(jié)合產(chǎn)生新量的計算過程.Carraher[12]認為影響難度的不僅僅是分數(shù)的多少,還有分數(shù)在文字應用題中的作用.將分數(shù)理解為算子可以增強對分數(shù)乘法的理解,特別是對“整體中部分的再分割”的解釋,例如,求1/2的3/4.一定程度上,分數(shù)算子概念的掌握也可以看成是比例推理的過程.在小學數(shù)學學習中,分數(shù)更多出現(xiàn)在計算的情境下,這也使得分數(shù)成為一個不能獨立存在的概念,即每當學生看到分數(shù),就會產(chǎn)生將其與一個參照數(shù)相乘的計算傾向.例如,實際教學中有學生認為“1/2元”是一個錯誤的說法,因為分數(shù)后面不可以有量詞.

綜上所述,分數(shù)的關(guān)系概念從平行的視角揭示了分數(shù)概念理解的獨特性與差異性,同時也說明分數(shù)教學的一項重要任務就是使學生在區(qū)分不同概念的基礎上,實現(xiàn)概念之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換.

2 分數(shù)的數(shù)量概念理解

學生在小學階段學習的數(shù)概念包括整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)三類.在數(shù)的大小比較和四則運算中,相比整數(shù)和小數(shù),學生的分數(shù)數(shù)感最為薄弱.例如,學生在分數(shù)運算中傾向于將最終的計算結(jié)果化為小數(shù).學生之所以不愿將分數(shù)視為獨立的量,主要是因為分數(shù)在數(shù)量表征上的特殊性.首先,分數(shù)有著與自然數(shù)不同的符號書寫規(guī)則;其次,分數(shù)因為沒有唯一的后繼者而不能形成有規(guī)律的排序;第三,任意兩個分數(shù)間都有無窮多個數(shù),不存在最大和最小的分數(shù);最后,分數(shù)的四則運算規(guī)則也與整數(shù)不同.分數(shù)在數(shù)學上和經(jīng)驗上的特性也引發(fā)人們對“分數(shù)和整數(shù)是否有同樣的理解方式”的思考.在此基礎上,國外的研究人員主要利用認知心理學中“數(shù)字距離效應”(差值大的數(shù)字比較更快)和“空間數(shù)字聯(lián)合反應編碼效應”(左手對大數(shù)字反應更迅速)進行實驗,具體分析人們?nèi)绾卫斫夥謹?shù)數(shù)量.

2.1 用分子或分母確定簡單分數(shù)的大小

博納特邀請大學生完成3組分數(shù)大小比較任務:(1)分母為2—9的8個單位分數(shù)分別與1/5、0.2比較;(2)分子分別為1到9、分母分別為4到6相互組合的分數(shù)與1進行比較;(3)x/5和1/x類型的分數(shù)(x為1—9)與1/5或1比較.實驗結(jié)果首先揭示了反向的“空間數(shù)字聯(lián)合反應編碼效應”的存在.這說明學生在單位分數(shù)比較中,只比較了分母,而不是分數(shù)值.其次,雖然小數(shù)0.2作為標準激發(fā)了學生對分數(shù)數(shù)量的感知,但學生還是將0.2化成1/5后比較分母;最后,學生對1/x與1/5的比較反應慢于x/5與1的比較,說明學生可能把時間花在“分母越小,分數(shù)反而越大”的轉(zhuǎn)換上.國外許多以大學生為對象的實驗說明,成人對分數(shù)數(shù)量的感知與提取達不到自然和準確,他們的優(yōu)勢在于可以靈活使用策略規(guī)避對分數(shù)整體值的判斷.此外,國內(nèi)的研究也指出,六年級學生都采用成分加工模式(僅比較分子或分母)而非整體加工模式(比較分數(shù)值)[13].同樣,在日常教學中,觀察分子和分母、通分等都是分數(shù)比較的重要方式.

2.2 整體比較復雜分數(shù)的大小

對于那些擁有相同分子或相同分母的簡單分數(shù),學生多采用比較分母或分子的辦法.而對于沒有共同成分或者分子分母的數(shù)值都比較大的復雜分數(shù),上述策略便會受限,于是分數(shù)的整體數(shù)值就不得不被讀取.美國學者在實驗中讓大學生分別將一位數(shù)分數(shù)(如2/9)和兩位數(shù)分數(shù)(如26/89)與3/5進行比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn),分數(shù)間的差值越小,比較所耗費的時間越長,而分數(shù)分子、分母的大小并沒有影響比較判斷的時間.因此,他們提出當單純比較分子或分母的簡單方法不能產(chǎn)生準確的結(jié)果時,成人可以通過直接估計分數(shù)值的方法比較分數(shù)大小.

此后該研究團隊對6—8年級(11—13歲)學生進行實驗[14].學生分別在0—1和0—5的數(shù)軸上通過拖拽鼠標估計:1/19、1/7、12/13等10個分數(shù).結(jié)果發(fā)現(xiàn)這些學生的判斷非常不準確.而且這種數(shù)量認識的不準確還會直接影響學生對分數(shù)四則運算結(jié)果的判斷.而由Meert等[15]完成的10歲和12歲兒童比較同分子或同分母分數(shù)的實驗指出,即使擁有共同的成分,兒童也能通過整個分數(shù)值進行大小比較.但在反應時方面,擁有同分子的分數(shù)比較比擁有同分母分數(shù)的反應時長.這說明分母大小對較大分數(shù)的判斷仍有干擾作用.

上述研究爭議說明無論是成人還是兒童,人們對分數(shù)的數(shù)量理解都存在困難.相比而言,通過分子或分母進行的成分比較更加自如、快捷,而整體感知分數(shù)數(shù)值則可能占用更多思考時間.前者可以解讀為學生的整數(shù)學習經(jīng)驗的遷移,但后者也啟發(fā)我們應深入探究學生分數(shù)數(shù)感建立的掣肘.

3 分數(shù)教學與認知中關(guān)系概念與數(shù)量概念的整合

分數(shù)多樣的關(guān)系概念和抽象的數(shù)量概念共同促成了分數(shù)學習的特殊性.關(guān)系概念反映了分數(shù)的動態(tài)形成過程,數(shù)量概念強調(diào)了分數(shù)作為數(shù)字所傳達的數(shù)值信息.相對于關(guān)系概念,分數(shù)數(shù)量概念的學習直接挑戰(zhàn)了兒童最初形成、也最為根深蒂固的數(shù)字計數(shù)經(jīng)驗.學生對數(shù)量意義的理解不再是直接讀取其絕對量的大小,還會從量與量的相對關(guān)系的視角加以理解.因此,分數(shù)概念的教學不但應兼顧兩種概念,而且應實現(xiàn)兩種概念的整合.具體而言,分數(shù)數(shù)量概念和關(guān)系概念具有共生性:數(shù)量概念的生成對關(guān)系概念具有依賴性,關(guān)系概念可以成為數(shù)量概念理解的基礎.這是因為關(guān)系概念呈現(xiàn)了分數(shù)多樣化的存在形式,雖然復雜但卻為數(shù)量概念的抽象提供了認知素材和操作過程.例如,在學習分數(shù)之前,學生對于兩個量的比較只有一種方法——相減求差.但在學習分數(shù)的比概念之后,學生可以用除法的方式實現(xiàn)兩個量的比較,而且這種方法不僅動態(tài)呈現(xiàn)了分數(shù)的由來,也可以反映整數(shù)與分數(shù)的聯(lián)系.因此,分數(shù)教學的重點應當是挖掘分數(shù)關(guān)系與數(shù)量的同構(gòu)性,打通分數(shù)與整數(shù)和小數(shù)的聯(lián)系,從而幫助學生構(gòu)建完整的數(shù)概念體系.其具體操作可從教學內(nèi)容和教學方法兩方面入手.

其一,重構(gòu)教材及教學內(nèi)容,實現(xiàn)分數(shù)概念的多元滲透與相互交融.目前國內(nèi)不同版本的小學數(shù)學教材多按照分數(shù)的初步認識、分數(shù)的意義、百分數(shù)、比例的順序編排內(nèi)容,著重體現(xiàn)概念由淺入深、由一般到特殊的認識路徑.這樣的編排方式固然符合認知規(guī)律,但對于一些較為具體的概念內(nèi)容則不易精準呈現(xiàn).例如,三年級所學的分數(shù)初步認識主要介紹了部分/整體的分取含義,由于它是分數(shù)的初始概念,再加上內(nèi)容的直觀性,學生對概念的理解十分深刻,甚至當遇到其他無法理解的分數(shù)概念時,他們會將其還原為部分/整體概念,而且,問題的難度越大,這種還原傾向就愈加明顯.這說明僅靠一種關(guān)系概念來理解分數(shù)是不夠的,每個子概念的獨特屬性和關(guān)系之間的連接點及轉(zhuǎn)換方式也都應成為教學的著力點.因此,分數(shù)的教材編寫和教學內(nèi)容設計可以適當借鑒五種子概念的分類方法,幫助學生建立更加精細的分數(shù)概念體系.

此外,相比國外研究對分數(shù)數(shù)量概念的重視,我國的教材及教學中分數(shù)數(shù)量概念多以四則運算來體現(xiàn).雖然不能否定計算在促進數(shù)量大小理解中的重要性,但是分數(shù)運算的特殊性卻極易引發(fā)學生“僅關(guān)注計算程序,而忽略數(shù)值”的問題.例如,“整數(shù)偏向”常常是制約分數(shù)比較和計算的瓶頸,典型的錯誤包括:1/3+1/2=2/5;認為帶分數(shù)2又1/2中2與1/2是相乘的關(guān)系;堅信分數(shù)乘除法也遵循“越乘越大,越除越小”的規(guī)律……表面上,這些計算問題是對整數(shù)運算規(guī)則的不當遷移,但根本上卻反映了學生缺乏對分數(shù)單位、相對性、稠密性和無限性等內(nèi)容的深入理解.因此,除了常規(guī)的算式計算,教材和教學還應更多地運用數(shù)軸等直觀工具強化學生對數(shù)量的感知.

其二,關(guān)注學生分數(shù)學習中概念偏狹及孤立的問題,在分數(shù)概念內(nèi)部以及數(shù)概念之間建立整體聯(lián)系.雖然分數(shù)概念研究呈現(xiàn)了關(guān)系和數(shù)量兩種不同的理解視角,但也揭示了學生理解每種概念的困難以及兩種概念整合的欠缺.比如實際教學中,分數(shù)的“量率對應”常常成為難點[16],而其實質(zhì)是學生對分數(shù)算子概念的固化理解.由于算子概念凸顯了分數(shù)作為數(shù)量變化“調(diào)節(jié)器”的作用,加之教學中的計算練習使得學生將注意集中于分數(shù)的比率含義,而忽視了“率”導致的“量變”.與此問題類似,分數(shù)的測量概念也是學生理解的薄弱環(huán)節(jié).當面對在數(shù)軸上標注分數(shù)的情景時,學生往往因忽略數(shù)軸的數(shù)值范圍,而無法確認分數(shù)的精確位置.其主要原因在于學生受分數(shù)部分/整體的分割經(jīng)驗及算子概念的影響,傾向于先將整個數(shù)軸看作一個整體,之后再按照比率去分割.然而,測量概念的核心在于分數(shù)作為單純的數(shù)字,與其他數(shù)字比較會產(chǎn)生數(shù)量大小的差異.由此可見,分數(shù)測量概念不但與其他關(guān)系概念有較大差異,而且也具備幫助學生理解分數(shù)數(shù)量概念的優(yōu)勢.

不僅如此,放眼數(shù)概念的整體結(jié)構(gòu),分數(shù)的關(guān)系概念也在一定程度上造成了分數(shù)與整數(shù)和小數(shù)的差異.計數(shù)單位是聯(lián)通數(shù)概念的基礎.整數(shù)以1做單位,小數(shù)以0.1、0.01等為單位.相對于這些穩(wěn)定的單位,分數(shù)則要依托變化的分數(shù)單位,即每個分數(shù)的大小是其自身分數(shù)單位累積的結(jié)果.顯然,單位累積的視角有利于分數(shù)融入整數(shù)和小數(shù)的數(shù)概念系統(tǒng),而整體中的若干部分的關(guān)系概念理解則會讓三者的聯(lián)系產(chǎn)生困難.盡管如此,現(xiàn)實狀況是分數(shù)關(guān)系概念的理解更多地遷移了學生原有的整數(shù)經(jīng)驗,從而使學生對其產(chǎn)生依賴,難以主動構(gòu)建分數(shù)的數(shù)量概念.因此,分數(shù)數(shù)量概念可以首先由部分/整體概念建立分數(shù)單位,之后再強化分數(shù)是分數(shù)單位累積的認識.換言之,這里分數(shù)單位的理解是分數(shù)關(guān)系概念向數(shù)量概念轉(zhuǎn)化的縮影.若從數(shù)感抽象與量感的視角看[17],分數(shù)是對多樣化數(shù)量關(guān)系二次抽象的產(chǎn)物,而這種多樣化數(shù)量中也包括了整數(shù)和小數(shù).總體上,進一步挖掘關(guān)系概念在分數(shù)概念乃至數(shù)概念理解中的作用顯得必要而迫切.