立足深度學習，譜寫新授課教學四部曲
——以五年級上冊“植樹問題”教學為例

浙江杭州市濱江實驗小學教育集團（310051） 王國才 孫程琰

深度學習理念下，學生只有親自體驗數(shù)學知識的形成及運用過程，深化對知識的理解，才能提高數(shù)學知識學習及應用能力，形成數(shù)學核心素養(yǎng)。下面以人教版教材五年級上冊“植樹問題”這一個經(jīng)典內(nèi)容為例，談一談如何立足深度學習進行數(shù)學新授課教學。

一、立足原點，讀懂學生已知的

美國認知教育心理學家奧蘇貝爾曾指出：“如果我不得不將教育心理學還原為一條原理的話，我將會說，影響學習最重要的因素是學生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生原有的知識狀況進行教學?！弊x懂學生的學習起點和認知狀況，因需而教，才符合學生認知規(guī)律，教學才是深刻高效的。

1.教師自己“明白”，讀懂教材

在人教版五年級上冊“數(shù)學廣角——植樹問題”單元中，教材編排了三個例題：例1 是道路一邊兩端都種樹的線段型植樹問題，它是植樹問題的基礎模型；例2 是道路一邊兩端都不種樹的線段型植樹問題；例3 是環(huán)形植樹問題，是植樹問題基礎模型的變式。例2后面“做一做”的第1題是道路兩邊兩端都種樹的線段型植樹問題，第2 題是道路一邊只種一端的線段型植樹問題。由此可以看出，例1、例2及例2后面的“做一做”都屬于線段型植樹問題，內(nèi)容及本質(zhì)相近，主要是讓學生在相互比較中理解三種線段型植樹問題的區(qū)別與聯(lián)系。學生一旦掌握了線段型植樹問題，理解例3 就變得相對容易，因為可以將曲線型植樹問題轉化為線段型植樹問題。將這三種本質(zhì)相近的植樹問題整合在一堂課上進行教學，有助于引導學生進行對比分析，厘清它們的相似之處和不同之處，從而建構一個整體的知識體系。

通過仔細研讀教材，可以發(fā)現(xiàn)這三種植樹問題模型的共同點。教師可以以這些共同點為主線，引導學生整體理解線段植樹問題的三種類型，并深入探究與路長、間隔長、間隔數(shù)、樹的數(shù)量等四個概念相關的規(guī)律，尤其是棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關系。

2.挖掘學生“明白”，突出困惑

俞正強老師指出，教學要在學生原有生活經(jīng)驗或者知識基礎上進行，離開了學生的“活”就教“死”了。教師應該去琢磨學生對每個內(nèi)容的“已有明白”，這些“已有明白”是教學的起點，是教師教學活動賴以開展的“內(nèi)因”，只有正確把握了“內(nèi)因”，才能使學生的學習落在支撐點上，課堂才能真正體現(xiàn)“以生為本”“以學定教”的課改理念。

植樹問題屬于綜合實踐板塊，這樣的新授課與前后知識的聯(lián)系較弱，學生已有經(jīng)驗和知識究竟如何，學習新知的原點在哪？筆者為了在教學之前充分了解學生的認知狀況，對學生進行了測評調(diào)研。

問題1：你聽說過植樹問題嗎？請寫一寫、畫一畫。

學生答題的正確率超過90%，說明學生已經(jīng)知道路的兩邊或一邊植樹的三種情況。如圖1-1 所示，對于道路兩邊或一邊兩端都種樹的線段型植樹問題，學生的正確率高達92.5%。答題錯誤的如圖1-2 所示，學生畫出了現(xiàn)實情境中的一棵樹，并在樹的周圍種了一圈小花和小草，可以看出這位學生沒有線段型植樹的現(xiàn)實經(jīng)驗或概念。

圖1-1

圖1-2

問題2：在全長20米的小路一邊栽樹苗，每隔5米栽一棵。一共需要栽多少棵樹苗？（請先畫一畫，再寫一寫算式）

對于在道路一邊兩端都種樹的線段型植樹問題，學生的正確率為82.6%，只種一端的正確率為6.2%，兩端都不種的正確率為2.2%。錯誤的原因在于學生不明白間隔、間隔數(shù)的概念及棵數(shù)和間隔數(shù)的關系。

二、找準生長點，讀懂學生需知的

教師應該從學生的成長角度出發(fā)，關注并理解學生的學習需求，注意學生已有知識的固著點與新知識的潛在聯(lián)系，合理設定學生的最近發(fā)展區(qū)。

1.運用“明白”經(jīng)驗，感悟規(guī)律

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：“通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念、性質(zhì)、法則和方法的能力?！敝矘鋯栴}比較抽象，需要借助直觀載體進行理解。結合前測問題，筆者從學生的原有認知入手，利用數(shù)形結合展開新課教學。

針對例1“在全長為20 米的小路一邊植樹，每隔5 米種一棵。一共需要多少棵樹？（想一想、畫一畫、寫一寫、說一說）”，分別提出“每隔5 米是什么意思？”“相鄰兩棵樹之間的距離叫間隔。這些間隔的長度之間有什么關系？”“20 米的小路一邊有幾棵樹？有幾個間隔？”等問題。

這一教學成功找準了教學的生長點，充分考慮了學生的能力層次。首先，學生能夠準確抓住“每隔5 米”這一關鍵信息，從而明確了“間隔”和“間隔數(shù)”的概念。其次，通過繪制“在全長為20 米的小路一邊植樹”的三種示意圖（兩端都種、只種一端、兩端都不種），教師有效地呈現(xiàn)了線段型植樹問題的不同情況。尤其是只種一端和兩端都不種的情形，這些可能是學生現(xiàn)實經(jīng)驗較少的部分，因此示意圖在教學中扮演了關鍵的支撐角色，為學生提供了有力的學習框架，并準確地滿足了學生的實際需求，有利于教師將教學定位在學生的最近發(fā)展區(qū)域。最后，通過示意圖，學生能夠準確列出相應的算式，同時，能夠清晰地解釋間隔數(shù)與樹的數(shù)量之間的關系，初步理解了樹的數(shù)量和間隔數(shù)之間的規(guī)律，在解決問題的過程中提升了能力。

2.改造“明白”經(jīng)驗，建立模型

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：“能夠探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實情境所蘊含的數(shù)學規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學‘再發(fā)現(xiàn)’的過程?！痹谔骄窟^程中積累和改造基本活動經(jīng)驗，有助于學生更好地理解三種植樹問題模型。

教師把例1的小路全長改變成25米，要求在小路一邊植樹，每隔5 米種一棵。通過“做一做”活動，學生計算出需要多少棵樹，從而積累了解決植樹問題的實際經(jīng)驗，深入了解了植樹問題三種類型的基本特征。

教師再把例1的小路全長分別改為30米、1000米，要求在小路一邊植樹，每隔5 米種一棵。通過“想一想”活動，學生再次計算出需要多少棵樹，并利用線段圖動態(tài)模擬植樹的過程。這進一步提高了學生解決植樹問題的能力，使他們更加清晰地理解了三種植樹問題模型的基本特征，即“（兩端都種）棵數(shù)=間隔數(shù)+1”“（兩端都不種）棵數(shù)=間隔數(shù)-1”“（只種一端）間隔數(shù)=棵數(shù)”。

通過對比三種植樹問題模型，學生發(fā)現(xiàn)了這三種關系在不同路長情況下都是不變的。這有助于學生從整體的視角理解三種類型之間的關系，加深了他們對這些概念的理解。這一過程的核心是教師啟發(fā)學生表達他們的“明白”經(jīng)驗，因為充分表達有助于學生更好地掌握新知識。通過設計任務和活動，學生不斷提升他們的“明白”經(jīng)驗，建立解決問題的模型，思維得到深度發(fā)展。這樣的教學方法有助于培養(yǎng)學生的自主學習能力和問題解決能力。

三、培養(yǎng)生態(tài)點，讀懂學生未知的

課堂氛圍在一定程度上決定了學生的學習效率。教師應該大膽放手，為學生提供充足的時間和空間，讓學生應用所學知識解決問題，感受植樹問題模型的實際應用價值，識別尚不明確的知識點。學生可通過自主交流、討論和協(xié)作等學習方式，構建知識之間的聯(lián)系，建立關聯(lián)性的理解，從而提高數(shù)學思維能力。

1.轉化“明白”經(jīng)驗，豐富模型

教師先給出問題“生活中有很多植樹問題，除了樹，還有其他的嗎？”，再出示生活中的植樹模型（路燈圖、公交站圖、隊列圖、樓層圖、斑馬線圖、插旗圖、繩結圖等），讓學生說出對應的是植樹問題的哪種模型，理由是什么。這一環(huán)節(jié)活躍了課堂氛圍，激發(fā)了學生興趣，激活了學生思維，溝通了知識之間的聯(lián)系，豐富了植樹問題模型。

2.活用“明白”經(jīng)驗，內(nèi)化模型

生活中有不同形式的植樹問題，教師可給出不同情境下的問題：

（1）相鄰2 人之間相隔2 米，隊伍有192 米長，排隊的一共有多少人？

（2）如果有一條線長160 厘米，每20 厘米穿一只千紙鶴，一共需要多少只千紙鶴？

（3）鋸一根9米的木棍，每90厘米一段，一共要鋸幾次？

這三題有著不同的特定生活情境，學生在解決問題的過程中能夠明白植樹問題的形式具有變通性，規(guī)律具有可塑性，模型具有發(fā)散性，從而培養(yǎng)了學生的深度思考能力和理性思維。

四、搭建拓展點，讀懂學生“能知的”

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：“設計教學活動，參考學生的個人經(jīng)驗和已有知識積累，從解決問題實際出發(fā)，明確所學的知識與技能，提出相應的學習任務，確定活動形式，明確學習成果的形式和要求等?！睘榇?，教學在完成基本目標的前提下，要有一定的彈性，搭建起學生學習的拓展點，讀懂學生“能知的”，促進學生深度思考。

1.提升“明白”經(jīng)驗，深化模型

深度學習非常重視學生的自主性，學生利用已有的知識和經(jīng)驗主動學習，能使思路更加清晰，理解更加深入。

教師可出示題目“要在寬度為6米，長度為104米的一塊菜園的四周種果樹，每隔2米種1棵，一共要種多少棵果樹？”讓學生說理，以此鍛煉學生應用知識的能力以及解決問題的能力。通過對比分析，學生明白“把曲線型植樹問題轉化成線段型植樹問題”就好理解了。至此，學生在用心學習和思考的過程中對所學的數(shù)學知識形成了深刻認識，提升了“明白”經(jīng)驗，深化了植樹問題模型。

2.拓展“明白”經(jīng)驗，升華模型

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出：“在教學過程中，不僅要注重具體內(nèi)容與核心素養(yǎng)之間的關聯(lián)，還要注重內(nèi)容主線與核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關聯(lián)?！币虼?，教師要拓展植樹問題的外延，升華植樹問題的三種模型。

教師可提出問題“觀察16+20+24+…+80+84+88，這個算式共有多少個數(shù)？”學生利用推算的方法演算，感到非常困難。于是，教師引導學生思考算式中哪些相當于植樹問題模型的間隔、間隔數(shù)、棵數(shù)、路長。學生通過觀察、討論、演算等，溝通了算式和植樹問題模型之間的聯(lián)系，明白了這是“兩端都種樹的植樹問題模型”，“算式中的每個數(shù)、相鄰兩數(shù)的差‘4’、‘88-16’的差‘72’、共有多少個數(shù)，分別對應著植樹問題中的樹、間隔、路長、棵數(shù)。通過拓展練習把等差數(shù)列和植樹問題進行整合，學生通過溝通梳理，解決了類似的植樹問題。這樣就拓展了植樹問題的外延，擴大了植樹問題的應用范圍，幫助學生積累了植樹問題的普適性經(jīng)驗。

總而言之，深度學習是新授課教學的關鍵。教師應該從學生已有的基礎出發(fā)，引導他們表達出“明白”的經(jīng)驗，以促進他們的思考。同時，要找準教學的生長點，了解學生需要了解的內(nèi)容，利用他們的“明白”經(jīng)驗來培養(yǎng)他們的思維能力。此外，培養(yǎng)生態(tài)點，探索學生尚未知曉的領域，運用他們的“明白”經(jīng)驗，推動他們進行理性思考。最后，建立拓展點，幫助學生更深入地理解已知的知識，提高他們的“明白”經(jīng)驗，實現(xiàn)深度學習。