多體量子態(tài)基于迭代重排的k可分性判據(jù)

周芳宇,王銀珠

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024)

在量子信息理論中,糾纏態(tài)作為一種重要的物理資源已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于量子通信和量子計(jì)算的諸多領(lǐng)域[1-4]。探測(cè)一個(gè)給定態(tài)的糾纏性仍然是國(guó)內(nèi)外眾多研究者普遍關(guān)注的問(wèn)題。直到今天已有很多有價(jià)值的糾纏判據(jù)[5-11],其中探測(cè)兩體復(fù)合量子系統(tǒng)中量子態(tài)的糾纏性相對(duì)比較容易,但對(duì)于多體復(fù)合量子系統(tǒng)而言,探測(cè)其量子態(tài)的糾纏性極其困難,其涉及到多種類型的可分性概念,例如全可分,k可分[12],強(qiáng)k可分[13],Λ可分[14]等。目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于多體量子態(tài)特別是其相對(duì)于k體分劃的糾纏性識(shí)別問(wèn)題的研究結(jié)果相對(duì)較少[15]。鑒于此,進(jìn)一步深入研究多體復(fù)合量子系統(tǒng)中量子態(tài)相對(duì)于k體分劃的糾纏性無(wú)疑具有重要的理論和實(shí)際意義。

在文獻(xiàn)[16]中,作者利用密度矩陣元素的重排方法給出了兩體量子態(tài)可分的一個(gè)必要條件,之后該判據(jù)也被推廣到了無(wú)限維情形[17]。重排判據(jù)是一種利用密度矩陣元素的置換得到的一種糾纏判據(jù)。在文獻(xiàn)[18]中,推廣了上述重排定義,引入了迭代重排概念。設(shè)矩陣Z=(zij)∈Cm×n,令vec(Z)=(z11,…,zm1,z12,…,zm2,z1n,…,zmn)T,矩陣X的重排定義為:

其中T代表轉(zhuǎn)置,Xi,j∈n×n(i,j=1,2,…,m)表示一個(gè)n×n的分塊矩陣。

M[Am-1,Am]=R(Am-1?Am),

則量子態(tài)ρ的迭代重排矩陣(記為MIRp(ρ))定義:

文獻(xiàn)[18]證明了:如果ρ∈S(H)全可分,則‖MIRp(ρ)‖≤1.

本文將其推廣到了多體量子態(tài)相對(duì)于k體分劃的情形,首先討論了多體量子態(tài)相對(duì)于k體分劃的迭代重排的定義及性質(zhì),然后基于此迭代重排的定義,給出了多體量子態(tài)k可分的一個(gè)必要條件,并通過(guò)例子說(shuō)明該判據(jù)是有效的,其可以探測(cè)多體k不可分糾纏態(tài)。

1 主要結(jié)果

為了得出本文的結(jié)果,首先給出一些基本定義。

定義1[15]設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHj=dj<+∞,其中Hi是第i個(gè)子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的可分復(fù)Hilbert空間,稱A1|A2|…|Ak)為H的一個(gè)k體分劃,如果其滿足以下條件:

(1)對(duì)?i≠j(i,j∈{1,2,…,k}),有Ai∩Aj=?,且A1∪A2∪…∪Ak={1,2,…,m};

Ai={ni1,ni2,…,niki},ni1

其中|φs〉∈Hs對(duì)每一個(gè)s,都是k可分的,{ps}是一個(gè)概率分布,則稱ρ為k可分的。

定義3設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHj=dj<+∞,ρ∈S(H),令:

由文獻(xiàn)[18]得:

接下來(lái),討論迭代重排矩陣跡范數(shù)的性質(zhì)。

證明根據(jù)定義,由于跡范數(shù)在局部酉操作下保持不變,故上述結(jié)論顯然成立。

證明根據(jù)迭代重排運(yùn)算是線性的,以及范數(shù)的三角不等式性,有

||T1‖T2‖…‖Tk‖·‖

其中上述過(guò)程中第一個(gè)不等式是由于:

‖Tj‖=sup{Tr[Tj(ρ(j))]:ρ(j)∈T(HAj),

ρ(j)≥0,Tr(ρ(j))=1}≤1.

接下來(lái),基于迭代重排,給出多體復(fù)合量子系統(tǒng)量子態(tài)相對(duì)于k體分劃的k可分性判據(jù)。

證明首先證明ρ=|φ〉〈φ|成立。

‖ρA1?ρA2?…?ρAp-1?vec(ρAp)?

vec(ρAk)T?…?vec(ρAp+1)T‖=1.

下面舉一個(gè)具體量子態(tài)來(lái)解釋上述定理的有效性。

例1考慮三體量子態(tài)|W〉態(tài)和|GHZ〉態(tài):

2 結(jié)論

本文首先討論了多體量子態(tài)相對(duì)于k體分劃的迭代重排矩陣跡范數(shù)的一些性質(zhì),證明了其滿足凸性,酉不變性和LOCC操作下的不增性。然后基于此迭代重排k可分的定義,給出了多體量子態(tài)k可分的一個(gè)必要條件,得出了多體量子態(tài)k可分性的又一個(gè)判斷方法。