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    非絕對型Henstock 積分與Riemann-Stieltjes 積分之關(guān)系

    2015-12-09 02:35:28
    關(guān)鍵詞:分劃原函數(shù)變差

    李 偉

    ( 集美大學 理學院,福建 廈門361021)

    繼Riemann 積分[1](簡稱R-積分)之后,1902 年在測度論[2]的基礎上建立了Lebesgue 積分[3](簡稱L-積分),它推廣了R-積分但不是R-積分的全部推廣,比如廣義R-可積不一定是L-可積,從空間完備化觀點看,L-積分不過是C[a,b](連續(xù)函數(shù)類)中函數(shù)R-積分的一種完備化擴張[4].可見L-積分具有一定的局限性.因此,人們一直試圖尋找一種新的積分.直到1957-1958 年,J.kurzweil 和R.Henstock 分別獨立建立了一種完全Riemann 型的積分,稱為Kurzweil-Henstock 積分[5](簡稱KH-積分,也簡稱H-積分).H-積分的本質(zhì)是“非絕對型”的,因此,有時也稱之為非絕對型積分.它既推廣了L-積分,又包括了Newton 積分[6]和反常R-積分.此外,與有界變差函數(shù)類聯(lián)系起來的有一類Riemann-Stieltjes 積分[3](簡稱RS-積分)與H-積分又有什么關(guān)系呢?本文就H-積分與RS-積分之間的關(guān)系進行研究.首先給出δ(x)精細分劃[7]的定義,然后引進區(qū)間[a,b]上的H-積分.利用Henstock 引理,給出Henstock 積分與Riemann-Stieltjes 積分之間的關(guān)系定理,并給予簡捷證明.由此得到一推論,即定理3.

    1 預備知識

    定義1[7]設δ(x)為區(qū)間[a,b]上的正值函數(shù),對區(qū)間[a,b]任作分劃:

    滿足:ξi-δ(ξi)<xi-1≤ξi≤xi<ξi+δ(ξi),i=1,2,…,n;即ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)),i=1,2,…,n.該分劃D稱之為δ(x)精細分劃[6].

    定義2[5]實函數(shù)f(x)稱為在區(qū)間[a,b]上Henstock 可積的,其積分值為A,如果?ε>0,?實函數(shù)δ(x)>0,對區(qū)間[a,b]上任作δ(x)精細分劃D:

    其中[u,v]為分劃D中典型區(qū)間,滿足:ξ-δ(ξ)<u≤ξ≤v<ξ+δ(ξ),

    則稱f(x)在[a,b]上Henstock 可積[4],記其積分為

    定義3[8]設f(x)是[a,b]上的有限函數(shù),在[a,b]上任取一組分點:

    稱之為f(x)對分點組x0,x1,…,xn的變差.

    如果存在常數(shù)M,使,則稱f(x)在[a,b]上的有界變差函數(shù),并記:

    區(qū)間[a,b]上的有界變差函數(shù)全體記為V[a,b],f(x)為[a,b]上有界變差函數(shù),簡記為f(x)∈V[a,b].

    定義4[9]設f(x)、g(x)為[a,b]上兩有限函數(shù),在[a,b]任作分劃:

    具有有限極限I,即:

    則稱f(x)關(guān)于g(x)在[a,b]上是Riemann-Stieltjes 可積的[3](簡稱RS-可積),而RS-積分值為I,記為:

    特別的,當g(x)≡x時,RS-積分就是R-積分了.

    2 定理及其推廣

    引理1(Henstock 引理)[10]若f(x)在[a,b]上Henstock 可積,且有原函數(shù)F(x),即:

    則?ε>0,?δ(x)>0,使得對[a,b]上的任何δ(x)精細子分劃,即:

    且ξi∈[ai,bi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)).(注意:所謂精細子分劃是不要求[a,b]=∪[ai,bi]的精細分劃)有:

    證明 由于f(x)在[a,b]上(H)可積,故?ε>0,在[a,b]上有δ(x)>0,凡δ(x)精細分劃所對應的積分和,有:

    [ai,bi]與ξi已經(jīng)是δ(x)的精細子分劃.再考慮以外的分劃.

    這樣,每個Ji上的δi(x)精細分劃,與ai,bi;ξi(i=1,2,…,n)構(gòu)成[a,b]上的δ(x)精細分劃.從而:

    定理2 設函數(shù)g(x)在[a,b]上為有界變差函數(shù),即g(x)∈V[a,b],而F(x)為[a,b]上Henstock 可積函數(shù)f(x)的原函數(shù),則:

    證明 因為g(x)∈V[a,b],又可知F在[[a,b]上連續(xù),故右邊積分存在.由RS積分定義,?ε>0,?η>0,當ξ∈[u,v]?(ξ-η,ξ+η)時,有:

    又因為f是H可積的,故?δ(ξ)>0,對所有的δ-精細分劃,有:

    由Henstock 引理,從而:

    取0<δ(ξ)≤min{δ(ξ),η},則對所有的δ-精細分劃,有:

    證畢.

    由此可得下述分部積分公式.

    定理3 若F(x)是f(x)在[a,b]上的H-原函數(shù),g(x)是[a,b]上有界變差函數(shù)(即g(x)∈V[a,b]),則:

    [1] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].4 版.北京:高等教育出版社,2010:201-203.

    [2] Donald L Cohn. Measure Theory[M].The world book publishing company,2012:75-78.

    [3] 江澤堅,吳智泉.實變函數(shù)論[M].3 版.北京:高等教育出版社,2010:59-75.

    [4] 李忠寧.關(guān)于R 可積函數(shù)空間的完備化[J].河西學院學報,2010,26(5);14-18.

    [5] Henstock R.Lectures on the theory integration[M].Singapore:World Scientific,1988:15-16.

    [6] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].6 版.北京:高等教育出版社,2012:239-240.

    [7] 丁傳松,李秉彝.廣義黎曼積分[M].北京:科學出版社,1989:5-8.

    [8] 包淑華.基于有界變差函數(shù)的研究[J].廊坊師范學院學報:自然科學版,2011,11(2);16-18.

    [9] 王晟.Riemann-Stieltjes 可積的充要條件[M].北京師范大學學報:自然科學版,2011,47(2):126-128.

    [10] Lee Peng Yee.Lanzhou Lectures on Henstock Integration[M].Singapore:World Scientific,1989:15-28.

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