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    重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)*

    2019-09-03 08:57:08陳紹榮劉郁林
    通信技術(shù) 2019年8期
    關(guān)鍵詞:對式頻率特性低通濾波器

    陳紹榮 ,何 為 ,劉郁林 ,王 開

    (1.陸軍工程大學通信士官學校,重慶 400035;2.重慶市經(jīng)信委,重慶 400015)

    0 引 言

    在國內(nèi)外《數(shù)字信號處理》教材及著作[1-2]中,從不同角度介紹了實現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法,歸納起來有三種實現(xiàn)抽樣頻率轉(zhuǎn)換的方法:一是若原模擬信號fa(t)可以再生,或是已經(jīng)記錄下來,那么可以重新抽樣;二是將f(n)通過D/A變換成模擬信號fa(t)后,對fa(t)經(jīng)A/D再抽樣;三是發(fā)展一套算法,對抽樣后的數(shù)字信號f(n)在“數(shù)字域”作抽樣率轉(zhuǎn)換,以得到新的抽樣。方法一有時不能實現(xiàn),方法二要再一次受到D/A和A/D量化誤差的干擾,方法三是最理想的方法。減少抽樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過程稱為序列的重排;增加抽樣率以增加數(shù)據(jù)的過程,稱為序列的插值[3-4]。本文只討論有關(guān)重排濾波器的實現(xiàn)方法。

    1 序列的重排

    以均勻間隔T對連續(xù)時間信號fa(t)抽樣,得到序列f(n)=fa(nT),若希望將抽樣率fs減小M倍,即變成fs/M,則最簡單的方法是對f(n)重排,用符號表示,即:

    式(1)表明,對序列f(n)重排,等價于將連續(xù)時間信號fa(t)的抽樣間隔變成MT,即抽樣率變成fs/M。

    2 重排濾波器

    設(shè)周期為M的周期沖激序列為:

    考慮到式(2),則有:

    考慮到式(3),對式(1)兩邊取DTFT,可得重排序列y(n)的頻譜,即:

    考慮到式(4),則有:

    式(5)表明,重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)仍然是周期為2π的周期函數(shù)。

    由式(4)可知,重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)是序列f(n)的頻譜F(ejω)先作M的擴展,再將ω軸上每隔 2π的頻移F(ej(ω-2πk)/M)疊加除以M。即重排序列y(n)的頻譜Y(ejω),在一周期2π內(nèi)的譜圖是由M個F(ej(ω-2πk)/M)(k=0,1,2,…,M-1)疊加除以M構(gòu)成的,因此Y(ejω)中存在頻譜重疊。

    為使重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)不出現(xiàn)重疊,一種有效的方法是將序列f(n)的頻譜F(ejω)位于主值區(qū)間[-π,π]上的部分限制在子區(qū)間之內(nèi),可以利用前置數(shù)字低通濾波器H2(ejω)來完成這一任務(wù),如圖1所示,其中前置數(shù)字低通濾波器的頻率特性為:

    式中:

    其中,ε(ω)為單位階躍函數(shù)。

    圖1 重排前的濾波

    在圖1所示的重排濾波中,設(shè)頻率特性為H2(ejω)的數(shù)字低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為h2(n),則有:

    由于序列f(n)的頻譜F(ejω)是周期為2π的周期函數(shù)。對式(8)兩邊取DTFT,并注意到式(6),可得前置數(shù)字低通濾波器的輸出序列s(n)的頻譜,即:

    考慮到式(4)及式(9),則重排序列y(n)的頻譜為:

    式中:

    由式(11)可知,Y0(ejω)的最高頻率不超過π,因此,按式(10)對Y0(ejω)作周期2π延拓時,重排序列y(n)的頻譜Y(ejω)將不會出現(xiàn)重疊。

    3 基于減抽樣的等價系統(tǒng)

    基于減抽樣的系統(tǒng)Ⅰ,如圖2所示。

    圖2 基于減抽樣的系統(tǒng)Ⅰ

    在圖2中,有:

    考慮到:

    對式(13)兩邊取DTFT,并注意到式(4),則有:

    將式(12)代入式(14),可得:

    式中:

    由式(16)及式(15),可得其等價系統(tǒng),如圖圖3所示。

    圖3 基于減抽樣的系統(tǒng)Ⅱ

    結(jié)論1:對比圖3和圖2可知,若重排器從后置變?yōu)榍爸?,則系統(tǒng)的頻率特性擴展M倍;反之,若重排器從前置變?yōu)楹笾?,則系統(tǒng)的頻率特性壓縮M倍。這樣才能夠保證在相同輸入序列f(n)作用下,級聯(lián)系統(tǒng)有相同的輸出序列y(n)。

    4 重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    在如圖1所示的重排濾波中,由于已設(shè)數(shù)字低通濾波器H2(ejω)的單位沖激響應(yīng)為h2(n),一般都用FIR數(shù)字低通濾波器來實現(xiàn)該數(shù)字低通濾波器。設(shè)h2(n)的長度為N,即h2(n)=h2(n)RN(n),并且滿足N/L為正整數(shù)。RN(n)=ε(n)-ε(n-N),其中ε(n)為單位階躍序列。

    在實現(xiàn)如圖1所示的重排濾波時,存在下述5種具體實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

    4.1 重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    在如圖1所示的重排濾波器中,有:

    考慮到式(17),則有:

    由式(17)及式(18)可知,如圖1所示的重排濾波器可以用如圖4所示的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

    圖4 重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    若對fa(t)以fs的速率抽樣獲得f(n),則重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)有一個缺點,因為h2(n)工作在高抽樣率(即fs)狀態(tài),序列f(n)的每一位的值都要和FIR數(shù)字低通濾波器h2(n)的系數(shù)相乘,再按式(17)相加得到序列s(n)。由于輸出序列y(n)是將序列s(n)中相距M位的序列值抽取出來依次重新排列的。因此,有較多的乘法浪費。

    4.2 減少乘法次數(shù)的重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    其實,式(18)可寫成:

    式中:

    其中:

    式(21)表明,將輸入序列f(n)延遲i位,得到序列pi(n);式(20)表明,對序列pi(n)作M倍重排,得到序列wi(n);式(19)表明,先將序列wi(n)與h2(i)相乘,再按該式求和,得到輸出序列y(n),如圖5所示。

    圖5 減少乘法次數(shù)的重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    因此,與圖4的重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)相對照,更合理的方法是用圖5的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。在該圖中,先對輸入f(n)作延遲,得到序列pi(n)=f(n-i)(i=0,1,2,…,N-1), 并 對pi(n)分 別 作M倍 重 排,得 到序列wi(n)(i=0,1,2,…,N-1),然后wi(n)與h2(i)(i=0,1,2,…,N-1)對應(yīng)相乘再相加,得到輸出序列y(n)。圖5所需要的乘法數(shù)只是圖4重排濾波器直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的1/M。

    4.3 重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    若定義M倍重排濾波器第j段的單位沖激響應(yīng)為

    式中,j=0,1,2,…,N/M-1,RM(n)為矩形窗,并且RM(n)=ε(n)-ε(n-M)。

    由式(22)可知,利用pj(n)可將FIR數(shù)字低通濾波器h2(n)分成N/M個子FIR數(shù)字濾波器。考慮到式(18),則有:

    式中,yj(n)可以表示為:

    并且:

    由式(23)、式(24)及式(25)可知,可以將圖1的重排濾波器中的FIR數(shù)字低通濾波器h2(n)分成N/M段,其中,每一段是長度為M的子FIR數(shù)字低通濾波器,并且都具有相同結(jié)構(gòu)。

    若FIR數(shù)字低通濾波器h2(n)的長度N=9,取M=3,則三倍重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖6所示。

    圖6 三倍重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    4.4 減少單位延遲器的重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    與重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖6相對照,更合理的方法是利用圖7的結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。在該實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中,單位延遲器的數(shù)目減少了一半。

    圖7 減少單位延遲器的三倍重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    4.5 基于多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    考慮到圖1所示的重排濾波器,則有:

    式中,yi(n)可以表示為:

    并且:

    稱ei(n)為h2(n)的第i個多相分量。

    考慮到式(26)、式(27)及(28),則基于h2(n)多相分解的重排濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖8所示。

    圖8 基于h2(n)多相分解的重排濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    若h2(n)是N點的FIR數(shù)字低通濾波器,并且N=9,取M=3,則將h2(n)分成了M=3個子FIR數(shù)字濾波器,各子FIR數(shù)字濾波器的長度為N/M=3,并且具有相同結(jié)構(gòu)??紤]到式(28)、式(27)及式(26),則基于h2(n)多相分解的重排濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖9所示。圖9左邊的兩個單位延遲z-1如同一個和原抽樣率同步的波段開關(guān)一樣,將輸入序列f(n)分成3組,每一組依次相差一個延遲。各組經(jīng)M=3倍的重排后,再分配給每一個子FIR數(shù)字濾波器。圖9中3個子FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)相同,僅是濾波器的系數(shù)相差了M個延遲,因此稱這些濾波器為多相數(shù)字濾波器。

    圖9 基于h2(n)多相分解的三倍重排濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)

    其實,可以通過下述方式獲得基于h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

    設(shè):

    一般稱ei(n)為h2(n)的第i個多相分量。

    令:

    由于:

    由式(31)和式(32),可得:

    式(33)表明,數(shù)字低通濾波器h2(n)可以分解成多相分量ei(n)=h2(nM+i)(i=0,1,2,…,M-1)的M倍插值hi(n)(i=0,1,2,…,M-1)的延遲之和。

    對式(31)兩邊取ZT,可得:

    對式(33)兩邊取ZT,并注意到式(34),可得:

    考慮到式(35),則可以得到基于h2(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖10及圖11所示。

    圖10 基于h2(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅰ

    考慮到圖10所示的基于h2(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu),則圖1的重排濾波器可用圖12來表示。

    由于和序列s(n)的M倍重排等價于各個序列M倍重排之和,因此,可將圖12畫成圖13。

    圖11 基于h2(n)多相分解的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅱ

    圖12 基于h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅰ

    圖13 基于h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅱ

    由結(jié)論1可知,將圖13中的重排器從后置變?yōu)榍爸茫瑒t子系統(tǒng)的頻率特性擴展M倍,即將子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)Ei(zM)(i=1,2,…,M-1)變成轉(zhuǎn)移函數(shù)Ei(z)(i=1,2,…,M-1)。這樣就得到了與圖8相同的基于數(shù)字低通濾波器h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu),如圖14所示,只不過其中的子系統(tǒng)用z域描述而已。

    圖14 基于h2(n)多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)Ⅲ

    5 結(jié) 語

    本文針對重排濾波器的實現(xiàn)問題,給出了重排濾波器的直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、減少乘法次數(shù)的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)、減少單位延遲器的重排濾波器的分段實現(xiàn)結(jié)構(gòu)及基于多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu),并用一種新的思路和方法,導(dǎo)出了基于多相分解的重排濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。

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