徑向熱傳導(dǎo)方程源項的分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber反演方法*

劉桂娟,張 文,?,徐會林,阮周生,黃澤權(quán)

(1.東華理工大學(xué) 理學(xué)院,南昌 330013;2.贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,江西 贛州 341000)

0 引言

考慮徑向熱傳導(dǎo)問題如下:

(1)

(2)

本文所設(shè)置的反問題為:通過終止時刻數(shù)據(jù)u(r,T)=g(r)來反演源項f(r).

針對源項識別的反演問題, 應(yīng)用非常廣泛, 例如在污染源的識別、鍋爐內(nèi)部溫度的探測、雷達(dá)探測等等領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用.時間-分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程可以用于描述超擴(kuò)散和亞擴(kuò)散現(xiàn)象[1-2].由于反問題是不適定的,需要選擇合適的正則化方法才能得出精度較高的近似解,國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行過這方面的研究,并得出了許多有益的研究結(jié)論.例如文獻(xiàn)[3-6]用簡化的Tikhonov方法、譜方法、Landweber方法和擬逆法對α=1時的問題(1)進(jìn)行正則化求解,文獻(xiàn)[7-8]分別用分?jǐn)?shù)階Tikhonov迭代法和平穩(wěn)迭代加權(quán)的Tikhonov正則化方法對0<α<1的問題(1)進(jìn)行正則化求解.而對于大規(guī)模的不適定問題,迭代的正則化方法比經(jīng)典的正則化方法更加受歡迎[9],文獻(xiàn)[10]首次提出了分?jǐn)?shù)階正則化方法,而后文獻(xiàn)[11-14]介紹了分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法和分?jǐn)?shù)階Landweber正則化方法,文獻(xiàn)[15]提出了修正的分?jǐn)?shù)階迭代正則化方法,文獻(xiàn)[9]則采用梯度流將分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法和分?jǐn)?shù)階Landweber正則化方法結(jié)合,提出了分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法,該正則化方法可以避免出現(xiàn)經(jīng)典迭代方法的過平滑問題,且迭代次數(shù)較少.

文章結(jié)構(gòu)如下:引言部分,介紹本文所研究的問題以及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀;第1節(jié)討論正問題解的表達(dá)形式,并進(jìn)一步引出反問題;第2節(jié)分析反問題解的不適定性,分別給出了先驗和后驗誤差估計;第3節(jié)通過列舉兩個數(shù)值算例說明算法的有效性;第4節(jié)總結(jié)了全文所研究內(nèi)容.

1 正問題的解

(3)

(4)

則存在一個線性自伴算子K∶f→g,算子K的奇異值可以表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

2 反問題解的不適定分析

由于反問題是不適定的,擬采用分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代法進(jìn)行求解.首先,回顧分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代法的演變過程.

分?jǐn)?shù)階Landweber迭代法的濾波函數(shù)[13]為:

(9)

其中:0<β<1/‖K‖γ+1,正則化參數(shù)為α=1/m;分?jǐn)?shù)階Tikhonov迭代法的濾波函數(shù)[12]為:

(10)

利用梯度流的方法[9],通過參數(shù)θ將分?jǐn)?shù)階Landweber和分?jǐn)?shù)階Tikhonov迭代法進(jìn)行結(jié)合,便得到了分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代法,即:當(dāng)θ=0時,為分?jǐn)?shù)階Landweber迭代法,當(dāng)θ=1時,便成為分?jǐn)?shù)階Tikhonov迭代法.于是,分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代法的濾波函數(shù)為:

(11)

其中m為迭代次數(shù),β=hm=tm-tm-1為時間步長,θ∈[0,1]表示權(quán)重,0<γ≤1.記{σn,un,vn}是自伴算子K的奇異系統(tǒng).于是帶噪聲的正則化解可以表示為:

(12)

容易得出下列先驗條件下的誤差結(jié)果.

(13)

則正則化解fm,δ為“階最優(yōu)”的.

證明由三角不等式和源項的正則化解(12)有

‖fm,δ-f‖≤‖fm,δ-fm‖+‖fm-f‖,

(14)

(15)

(16)

(17)

即正則化解fm,δ為“階最優(yōu)”的.

下面基于Morozov偏差準(zhǔn)則,推導(dǎo)正則化解的后驗誤差分析.給定的τ>1,求fm,δ,使得最小的正整數(shù)m滿足停止準(zhǔn)則:

‖Kfm,δ-gδ‖≤τδ,

(18)

接下來推導(dǎo)正則化解的后驗收斂率.

(19)

證明令fm∶=ψmg,那么得到

(20)

事實上,

(21)

相應(yīng)地,可以得出

(22)

另一方面

‖Kψm-1g-g‖≥‖Kψm-1gδ-gδ‖-‖(Kψm-1-I)(g-gδ)‖≥τδ-‖Kψm-1-I‖δ≥(τ-1)δ.

(23)

于是有

(24)

此外,根據(jù)(15)有

(25)

結(jié)合(24)和源項條件有:

(26)

(27)

(28)

結(jié)合(18)和(24)有

‖Kψmg-g‖≤‖(I-Kψm)(g-gδ)‖+‖(I-Kψm)gδ‖≤(1+τ)δ,

(29)

進(jìn)一步利用H?lder不等式便可以得出:

(30)

通過結(jié)合(25),(28)和(30)便完成了定理2的證明.

3 數(shù)值算例

算例1考慮f(r)=sin(2r).

算例2考慮f(r)=e-r2.

選取參數(shù)θ=0.8,γ=0.5,p=3,β=0.8,M=100,N=8,τ=1.1,K=3,α=0.7,r0=2π,計算結(jié)果如圖1、圖2所示.

圖1 例1中帶有不同噪聲水平的近似解

圖2 例2中帶有不同噪聲水平的近似解

通過算例1將Tikhonov正則化方法,Landweber迭代正則化方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法進(jìn)行對比,得到表1和表2.

表1 Tikhonov正則化方法,Landweber正則化方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法誤差對比(算例1)

表2 Tikhonov正則化方法,Landweber正則化方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法誤差對比(算例2)

從圖1-2可以看出,在算例1中當(dāng)噪聲ε=0.001時,源項的先驗和后驗效果差別不大,但是隨著噪聲變大,后驗的效果要優(yōu)于先驗;在算例2中的情況則相反.當(dāng)噪聲水平分別選取為ε=0.05,0.01,0.001時,分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代法都是有效的,并且噪聲越小,誤差越小,正則化效果也就更好.從表1-2可以看到,分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法比Tikhonov正則化方法誤差更小,比Landweber迭代正則化方法需要的迭代次數(shù)要少且誤差小。

4 結(jié)論

本文通過分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代正則化方法討論了時間分?jǐn)?shù)階的徑向熱傳導(dǎo)的源項反演問題.針對反問題的解的不適定性進(jìn)行了分析,分別給出了先驗誤差估計和Morozov偏差準(zhǔn)則條件下的后驗誤差估計,最后,數(shù)值算例表明該分?jǐn)?shù)階Tikhonov-Landweber迭代正則化是有效的.