基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)試題命制分析與優(yōu)化
——以某市高一期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第22題為例

肖建平

(廣東省興寧市第一中學(xué),廣東 興寧 514500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[1]提出,數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要包括在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型,確定參數(shù)、計(jì)算求解,檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型.在考試環(huán)節(jié)引入數(shù)學(xué)建模是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的主要途徑之一.引導(dǎo)學(xué)生理解、運(yùn)用數(shù)學(xué)建模,從而解決問(wèn)題,發(fā)展到“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”,將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界建立映射關(guān)系,成長(zhǎng)為思維嚴(yán)謹(jǐn)、勇于創(chuàng)新的新時(shí)代青年.

某市2023年高一期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第22題的命制中依據(jù)現(xiàn)實(shí)情境,建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,以能力立意,核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,從而在考查中落實(shí)“立德樹人”的根本目標(biāo).

1 試卷原題

某中學(xué)新建了學(xué)校食堂,每天有近2 000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐,午餐開放時(shí)間約40分鐘,食堂制作了三類餐食,第一類是選餐,學(xué)生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購(gòu);第二類是套餐,已按配套好菜色盛裝好,可直接取餐;第三類是面食,如煮面、炒粉等.為了更合理地設(shè)置窗口布局,增加學(xué)生的用餐滿意度,學(xué)校學(xué)生會(huì)在用餐的學(xué)生中對(duì)就餐選擇、各類餐食的平均每份取餐時(shí)長(zhǎng)以及可接受等待時(shí)間進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并得到以下統(tǒng)計(jì)圖表(表1和圖1).

圖1 頻率分布直示圖

表1 用餐統(tǒng)計(jì)表

已知飯?zhí)玫氖埏埓翱谝还灿?0個(gè),就餐高峰期時(shí)有200名學(xué)生在等待就餐.

(1)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計(jì),如果設(shè)置12個(gè)選餐窗口,4個(gè)套餐窗口,4個(gè)面食窗口,就餐高峰期時(shí),假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待(即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長(zhǎng)度各自相同),問(wèn):選擇選餐的同學(xué)最長(zhǎng)等待時(shí)間是多少?這能否讓80%的同學(xué)感到滿意(即在接受等待時(shí)長(zhǎng)內(nèi)取到餐)?

(2)根據(jù)以上的調(diào)查統(tǒng)計(jì),從等待時(shí)長(zhǎng)和公平的角度上考慮,如何設(shè)置各類售飯窗口數(shù)更優(yōu)化,并給出你的求解過(guò)程.

2 原題解答

(2)設(shè)設(shè)置m個(gè)選餐窗口,n個(gè)套餐窗口,k個(gè)面食窗口,則各隊(duì)伍的同學(xué)最長(zhǎng)等待時(shí)間如下表2:

表2 等待時(shí)長(zhǎng)表

3 命題優(yōu)化

筆者通過(guò)限時(shí)做題,覺(jué)得這個(gè)題目命題意圖很好,能夠體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,而且非常契合數(shù)學(xué)建模的思想,可以通過(guò)數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.但筆者認(rèn)為原題的解答過(guò)程不夠準(zhǔn)確,題目的設(shè)計(jì)也有待商榷.筆者基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,結(jié)合應(yīng)用題的實(shí)際意義和學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)及儲(chǔ)備知識(shí),對(duì)該題指出以下問(wèn)題,以供參考.

3.1 表述不直接

問(wèn)題的文字表述要合理易懂一些.“假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待(即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長(zhǎng)度各自相同)”,學(xué)生在做題的時(shí)候可能會(huì)忽略括號(hào)內(nèi)的文字,尤其可能忽略掉“各類餐食”,是否可以把文字改寫成“假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇同一類餐食較短的隊(duì)伍等待”更直接易懂.

3.2 解答不精準(zhǔn)

3.3 排隊(duì)不合心理

如果這個(gè)問(wèn)題“假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待(即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長(zhǎng)度各自相同)”刪掉括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容(即各類餐食的窗口前隊(duì)伍長(zhǎng)度各自相同),是否更符合就餐學(xué)生急于吃午飯的心理?那么“假設(shè)大家在排隊(duì)時(shí)自動(dòng)選擇較短的隊(duì)伍等待”的解法就不一樣了,學(xué)生等餐的時(shí)間會(huì)減少.分析:設(shè)每2分鐘完成一輪1×12+4×4+2×4=36人,200=36×5+20,那么需要5輪,余20人,每人一個(gè)窗口,所以選餐的同學(xué)最長(zhǎng)等待時(shí)間是2×5+2=12分鐘.

3.4 窗口設(shè)置比例不合理

3.5 窗口配置優(yōu)化

如果2 000名學(xué)生在學(xué)校食堂用午餐,午餐開放時(shí)間約40分鐘,至少需要設(shè)置多少個(gè)售飯窗口?分析:以取餐時(shí)長(zhǎng)最短0.5分鐘計(jì)算,需要設(shè)置25個(gè)套餐窗口,但是不能滿足學(xué)生的用餐喜好,所以需要增加選餐和面食餐口.那么如何配置選餐、套餐、面食的窗口數(shù)就需要在食堂的成本和滿足學(xué)生的用餐喜好之間做出一個(gè)最優(yōu)的方案,而且需要根據(jù)學(xué)生變化的用餐喜好不斷地調(diào)整窗口配置.

4 題目(2022年高一期末聯(lián)考試題)

某市沙田柚根據(jù)色澤、果面、風(fēng)味等評(píng)分指標(biāo)打分,得分在區(qū)間(0,25],(25,50],(50,75],(75,100]內(nèi)分別評(píng)定為三級(jí)柚、二級(jí)柚、一級(jí)柚和特級(jí)柚.某經(jīng)銷商從我市柚農(nóng)手中收購(gòu)一批沙田柚,共M袋(每袋50 kg),并隨機(jī)抽取20袋分別進(jìn)行檢測(cè)評(píng)級(jí),得分?jǐn)?shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖2所示:

圖2 頻率分布直方圖

(1)求a的值,并用樣本估計(jì)該經(jīng)銷商采購(gòu)的這批沙田柚的平均得分.

(2)該經(jīng)銷商計(jì)劃在下面兩個(gè)方案中選擇一個(gè)作為銷售方案:

方案1:將采購(gòu)的這批沙田柚不經(jīng)檢測(cè),統(tǒng)一按每袋350元直接售出;

方案2:將采購(gòu)的這批沙田柚逐袋檢測(cè)分級(jí),并將每袋沙田柚重新包裝成5小袋(每小袋10 kg),檢測(cè)分級(jí)所需費(fèi)用和人工費(fèi)平均每袋20元,各等級(jí)沙田柚每小袋的售價(jià)和包裝材料成本如表3所示:

表3 沙田柚售價(jià)和成本表

假設(shè)這批沙田柚各級(jí)比例按前面隨機(jī)抽取的20袋的樣本結(jié)果估計(jì),并可以全部銷售出去,那么該經(jīng)銷商采用哪種銷售方案所得利潤(rùn)更大?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．

4.1 存在問(wèn)題

通過(guò)計(jì)算估計(jì)該經(jīng)銷商采購(gòu)的這批沙田柚的平均得分是56.25分,因此區(qū)間設(shè)置不合理,得分75分和100分是同一等級(jí),極差25分,懸殊比較大,不能突出當(dāng)?shù)厣程镨值膬?yōu)質(zhì)性.

4.2 優(yōu)化建議

這道題目的關(guān)鍵是這批沙田柚的平均得分太低,修改數(shù)據(jù)最好的辦法是去市場(chǎng)買一批沙田柚并進(jìn)行評(píng)分,這樣才貼合實(shí)際,然后要論證所得的數(shù)據(jù)是否具有代表性和普遍性.這樣才能在考題中無(wú)形地達(dá)到宣傳當(dāng)?shù)厣程镨值膬?yōu)質(zhì)性,潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地增進(jìn)學(xué)生的家鄉(xiāng)情結(jié)和自豪感.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求教師在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中要滲透數(shù)學(xué)建模思想,培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).李大潛院士指出“數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育”“貫徹素質(zhì)教育最有效、最直接的途徑就是通過(guò)數(shù)學(xué)建模教學(xué)或者舉辦建模競(jìng)賽”[2].因此,要發(fā)揮考試的導(dǎo)向作用,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣,提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.