統(tǒng)計(jì)場(chǎng)景創(chuàng)設(shè) 概率知識(shí)應(yīng)用

張 恒

(淮安市洪澤湖高級(jí)中學(xué),江蘇 淮安 223100)

統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題,是實(shí)際與應(yīng)用場(chǎng)景的重要載體之一,已經(jīng)成為新高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)．此類綜合問題,以數(shù)據(jù)圖表為場(chǎng)景,融合統(tǒng)計(jì)、概率或兩者知識(shí)交匯中的基礎(chǔ)知識(shí)與思想方法,利用統(tǒng)計(jì)場(chǎng)景加以創(chuàng)設(shè),實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)信息的匯總,情境新穎,結(jié)合概率知識(shí)加以實(shí)際應(yīng)用或判斷決策,充分體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)與概率的工具性和交匯性[1]．

1 概率與頻率分布直方圖的綜合

例1省會(huì)城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行,在緩解交通壓力與改善空間質(zhì)量的同時(shí),也倡導(dǎo)綠色理念,公共交通系統(tǒng)推出與之相關(guān)的一些便民服務(wù)措施．為了更好地了解人們對(duì)出行工具的選擇,交管部門隨機(jī)抽取了1 000人,做出統(tǒng)計(jì)表,詳見表1.

表1 出行方式比例表

表2 出行頻率概率

同時(shí)交管部門對(duì)某線路公交車統(tǒng)計(jì)整理了某一天1 200名乘客的年齡數(shù)據(jù),得到的頻率分布直方圖如下圖所示(圖1):

圖1 頻率分布直方圖

(1)求m的值和這1 200名乘客年齡的中位數(shù);

(2)用樣本估計(jì)總體,將頻率視為概率,從該市所有市民中抽取4人,記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．

所以X的分布列為

點(diǎn)評(píng)涉及頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵就是正確識(shí)別與合理的數(shù)據(jù)讀取.從中觀察、讀取相應(yīng)的數(shù)據(jù)信息并對(duì)一些相關(guān)的數(shù)學(xué)加以合理匯總與應(yīng)用,借此進(jìn)一步綜合概率知識(shí)來分析與計(jì)算,用于實(shí)際應(yīng)用中的分析判斷或信息決策[2]．

2 概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合

例2一種疫苗在正式上市之前要進(jìn)行多次人體臨床試驗(yàn)接種,假設(shè)每次接種互不影響,而且每人每次接種成功的概率相等．某醫(yī)學(xué)研究院研究團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一種疫苗,并率先對(duì)此疫苗開展了Ⅰ期和Ⅱ期臨床試驗(yàn)．Ⅰ期試驗(yàn)為了解疫苗接種劑量與接種成功之間的關(guān)系,選取了兩種劑量接種方案(0.5 mL/次劑量組(低劑量)與1 mL/次劑量組(中劑量)),臨床試驗(yàn)免疫結(jié)果對(duì)比,詳見表3.

表3 人體臨床試驗(yàn)接種對(duì)比表

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)分析說明哪種方案接種效果好,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為該疫苗接種成功與否與兩種劑量接種方案有關(guān);

(2)若以以上表格中的數(shù)據(jù)的頻率為概率,從兩組不同劑量組中分別抽取1名試驗(yàn)者,以X表示這2人中接種成功的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

表4 隨機(jī)變量觀測(cè)值對(duì)照表

由2×2列聯(lián)表得

所以沒有90%的把握認(rèn)為該疫苗接種成功與否與兩種劑量接種方案有關(guān)．

所以X的分布列為

X012P1542910877108

點(diǎn)評(píng)在解決與獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)的概率與統(tǒng)計(jì)問題時(shí),要從統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)信息入手,結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算與數(shù)據(jù)分析來判斷與分析,并結(jié)合相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)、概率等基本知識(shí),合理加以邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析與實(shí)際應(yīng)用．

3 概率與經(jīng)驗(yàn)回歸方程的綜合

例3我國(guó)在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機(jī)和光刻膠,某風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域,若投資光刻機(jī)項(xiàng)目,據(jù)預(yù)期,每年的收益率為30%的概率為p,收益率為-10%的概率為1-p;若投資光刻膠項(xiàng)目,據(jù)預(yù)期,每年的收益率為30%的概率為0.4,收益率為-20%的概率為0.1,收益率為零的概率為0.5．

(1)已知投資以上兩個(gè)項(xiàng)目,獲利的期望是一樣的,請(qǐng)你從風(fēng)險(xiǎn)角度考慮,為該公司選擇一個(gè)較穩(wěn)妥的項(xiàng)目;

(2)若該風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備對(duì)以上你認(rèn)為較穩(wěn)妥的項(xiàng)目進(jìn)行投資,4年累計(jì)投資數(shù)據(jù)如下,詳見表5.

表5 4年累計(jì)投資數(shù)據(jù)

解析(1)若投資光刻機(jī)項(xiàng)目,設(shè)收益率為α1,則α1的分布列為詳見表6.

表6 光刻機(jī)項(xiàng)目收益

所以E(α1)=0.3p+(-0.1)(1-p)=0.4p-0.1;若投資光刻膠項(xiàng)目,設(shè)收益率為α2,則α2的分布列為詳見表7.

表7 光刻膠項(xiàng)目收益

所以E(α2)=0.3×0.4+(-0.2)×0.1+0×0.5=0.1;

因?yàn)橥顿Y以上兩個(gè)項(xiàng)目,獲利的期望是一樣的,則有0.4p-0.1=0.1,解得p=0.5,

因?yàn)镈(α1)=(0.3-0.1)2×0.5+(-0.1-0.1)2×0.5=0.04,

D(α2)=(0.3-0.1)2×0.4+(-0.2-0.1)2×0.1+(0-0.1)2×0.5=0.03,

所以E(α1)=E(α2),D(α1)>D(α2),

由于兩個(gè)項(xiàng)目獲利相等,但光刻膠項(xiàng)目更穩(wěn)妥,則建議該風(fēng)險(xiǎn)投資公司投資光刻膠項(xiàng)目．

設(shè)該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益為Y,則由Y=0.1×(1.4μ+0.5)≥0.75,解得μ≥5,

故到2023年年末,該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元．

巧妙地合理創(chuàng)設(shè)統(tǒng)計(jì)場(chǎng)景,借助概率知識(shí)加以實(shí)際應(yīng)用,成為實(shí)際應(yīng)用中考查的一個(gè)重要場(chǎng)景,有效考查考生的“四基”以及創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用,對(duì)于考生的數(shù)學(xué)能力的考查與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都有很大的指導(dǎo)意義．