基于APOS-H理念的中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式構(gòu)建與實(shí)施

【摘要】本文嘗試將APOS理論與HPM有機(jī)融合，以APOS理論作為操作形式、以HPM中的數(shù)學(xué)史作為操作內(nèi)容，構(gòu)建APOS-H概念教學(xué)模式，以教學(xué)函數(shù)這一抽象的數(shù)學(xué)概念為例展示該教學(xué)模式在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，旨在幫助基礎(chǔ)薄弱、缺乏優(yōu)良學(xué)習(xí)習(xí)慣的中職生順利理解數(shù)學(xué)概念。

【關(guān)鍵詞】APOS理論 HPM 函數(shù)的概念

中職數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）29-0136-05

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮了基礎(chǔ)性的作用。《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)，要通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的認(rèn)識(shí)。中職生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍薄弱，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)缺乏情感上的認(rèn)同，面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念時(shí)顯得手足無措。近年來，在新教學(xué)理念的影響下，“填鴨式”“滿堂灌”的概念教學(xué)方式已逐漸被教師拋棄，“學(xué)生主體、教師主導(dǎo)”的理念成為主流。然而，在具體的概念教學(xué)實(shí)踐過程中，大多教師只能空守著新理念而無從下手，原因是缺乏具體的操作方式。因此，探索出更加真實(shí)有效、具有可操作性的概念教學(xué)模式，幫助學(xué)生順利地進(jìn)行概念學(xué)習(xí)，成為當(dāng)前亟待解決的問題。一切行之有效的教學(xué)模式都需要以教學(xué)理論作為基礎(chǔ)和引領(lǐng)，因?yàn)橹挥性诶碚摰闹笇?dǎo)下所設(shè)計(jì)出的模式才具有科學(xué)性。有時(shí)單一的教學(xué)理論無法滿足復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)教學(xué)需要，因此，把多種教學(xué)理論進(jìn)行恰當(dāng)融合，發(fā)揮各教學(xué)理論的優(yōu)點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上探索出新的概念教學(xué)模式，就成為教師教學(xué)的一條新途徑。

一、APOS-H理念的內(nèi)涵

（一）APOS理論概述

APOS理論是由美國著名教育學(xué)家杜賓斯基提出的關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論。該理論以皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，將數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)分為四個(gè)階段，即操作（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）、圖示（Scheme）。

操作階段是指學(xué)生通過接受外部刺激，對(duì)感知到的對(duì)象進(jìn)行轉(zhuǎn)換。過程階段是指在多次重復(fù)操作之后，學(xué)生經(jīng)過反思提升，從不同情境中發(fā)現(xiàn)共性，進(jìn)行抽象概括，得到一般的數(shù)學(xué)概念，并將這個(gè)過程形成一種模式。對(duì)象階段是指學(xué)生能夠把概念的抽象過程視為整體，并對(duì)其進(jìn)行更深入的探究，理解概念的要素和其他特性。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)把概念看成普通意義上的數(shù)學(xué)對(duì)象，完成了概念建構(gòu)過程。學(xué)生把在前述三個(gè)階段獲得的知識(shí)與自身已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)融合，從而形成新的認(rèn)知圖式，此時(shí)便達(dá)到圖式階段，這一階段學(xué)生的思維水平和認(rèn)知狀況已經(jīng)達(dá)到一個(gè)更高的層次，形成全新的知識(shí)體系。

（二）HPM研究簡述

HPM主要指國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)成立的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組，隨著時(shí)代發(fā)展，如今HPM也經(jīng)常用來表示數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。該研究主要探討如何把數(shù)學(xué)史恰當(dāng)?shù)厝谶M(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，從而充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)。

華東師范大學(xué)汪曉勤教授長期致力HPM領(lǐng)域的研究。他提出，如果要讓數(shù)學(xué)史真正地走進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，需要滿足融入的自然性、體現(xiàn)價(jià)值的深刻性。比如，可以在教學(xué)中通過適時(shí)地向?qū)W生講授概念、定義、法則中所涉及的數(shù)學(xué)家及他們?cè)谔剿鲾?shù)學(xué)知識(shí)時(shí)發(fā)生的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；在講解定理證明、公式推導(dǎo)的過程中采用古代數(shù)學(xué)家的巧妙方法，展現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思想智慧和思維方式；在概念教學(xué)過程中不要只是將數(shù)學(xué)概念強(qiáng)硬地“灌輸”給學(xué)生，而要把數(shù)學(xué)概念的發(fā)展形成過程再現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生了解知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程；在教學(xué)中根據(jù)簡單、主觀原則改編數(shù)學(xué)史中的部分內(nèi)容，使其更能滿足教學(xué)過程的實(shí)際需要，方便學(xué)生感受其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

（三）融合APOS理論與HPM研究的APOS-H理念

近年來，數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)史的應(yīng)用方式更趨向于在對(duì)相關(guān)歷史材料進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，找出數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)間節(jié)點(diǎn)所產(chǎn)生的困惑及不斷努力后取得的突破，并將這一素材進(jìn)行以學(xué)生為中心的適當(dāng)加工，最終成為學(xué)生在課堂上自主探究的素材。因?yàn)閺谋举|(zhì)上說，學(xué)生認(rèn)識(shí)新知的過程與人類對(duì)自然科學(xué)知識(shí)探索的過程是相似的。這種HPM的應(yīng)用方式能彌補(bǔ)傳統(tǒng)講授式教學(xué)法枯燥無味的缺陷，更重要的是堅(jiān)持以問題為導(dǎo)向，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)造了一個(gè)以學(xué)生為主體的課堂環(huán)境。這就使學(xué)生在追尋數(shù)學(xué)史實(shí)、進(jìn)行問題探究的過程中，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，完成了知識(shí)的自主建構(gòu)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。另外，APOS理論同樣強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過程不應(yīng)是被動(dòng)接受的過程，而應(yīng)該是主動(dòng)建構(gòu)的過程，即學(xué)生需要通過操作、過程、對(duì)象三個(gè)階段的思維活動(dòng)，最終自主形成綜合心理圖式，完成知識(shí)的自主建構(gòu)。在上述過程中，教師只可以發(fā)揮引導(dǎo)者的作用，而不能直接以“灌輸”等方式去替代學(xué)生完成一系列探究活動(dòng)。

從上述分析不難發(fā)現(xiàn)，APOS理論和HPM研究都以強(qiáng)調(diào)動(dòng)態(tài)的建構(gòu)主義為基礎(chǔ)，這使得二者的融合不僅可行，而且是相輔相成的。一方面，APOS理論雖然提供了概念教學(xué)過程中學(xué)生建構(gòu)新知所需的活動(dòng)形式，但教師在具體的實(shí)踐過程中會(huì)面臨“巧婦難為無米之炊”的困境，即只知道引導(dǎo)學(xué)生的方式，卻缺乏相關(guān)素材，而HPM的數(shù)學(xué)史恰好為APOS理論的操作形式填充了具體的操作內(nèi)容。另一方面，數(shù)學(xué)史本身雖然豐富精彩，但教師在運(yùn)用其進(jìn)行教學(xué)時(shí)常常缺乏科學(xué)的融入方式和階段性的操作策略，而APOS理論的四個(gè)階段在這時(shí)便可以發(fā)揮指導(dǎo)與引領(lǐng)的作用，從而充分發(fā)揮HPM的作用。比如，在APOS理論的操作和過程階段，學(xué)生需要對(duì)情境中的問題對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換，然后再進(jìn)一步進(jìn)行抽象概括。此時(shí)，上述情境的最佳構(gòu)造方式莫過于以數(shù)學(xué)史作為主體，讓歷史素材成為APOS理論實(shí)現(xiàn)的依托，學(xué)生在數(shù)學(xué)史中進(jìn)行抽象概括，完成知識(shí)的自主建構(gòu)。這種以幫助學(xué)生更好地進(jìn)行概念學(xué)習(xí)為目標(biāo)，融合APOS理論和HPM研究的理念即為APOS-H理念。

二、基于APOS-H理念的中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式構(gòu)建

基于APOS-H理念的中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的教學(xué)流程如圖1所示。

（一）A-H階段：追尋概念起源，操作感知模型

在APOS理論中，學(xué)生學(xué)習(xí)概念的第一階段是在具體的問題情境中感知數(shù)學(xué)概念的雛形。在融入HPM的APOS-H教學(xué)模式下，中職數(shù)學(xué)教師可以把數(shù)學(xué)史實(shí)作為問題情境的具體內(nèi)容，因?yàn)榇蟛糠值臄?shù)學(xué)概念最初都來自數(shù)學(xué)家對(duì)實(shí)際問題的思考。具體操作中，教師事先充分挖掘數(shù)學(xué)史料，經(jīng)過適當(dāng)加工后呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下追尋概念的起源，像數(shù)學(xué)家一樣，思考這些數(shù)學(xué)家曾經(jīng)面對(duì)的問題，在思考、操作過程中感知問題情境中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型，為下一步的抽象反省過程做好鋪墊。

這樣的教學(xué)方式可以在課堂教學(xué)初期激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題的關(guān)聯(lián)性，且這種關(guān)聯(lián)性是在歷史中真實(shí)存在的，不是教師虛構(gòu)的；讓學(xué)生經(jīng)歷思維的操作過程，在一定程度上培養(yǎng)直觀想象的學(xué)科核心素養(yǎng)。

（二）P-H階段：抽象概括史實(shí)，形成概念定義

初步感知概念模型之后進(jìn)入P-H階段，即以數(shù)學(xué)史為載體的思維操作階段。此時(shí)，中職數(shù)學(xué)教師首先要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)A-H階段中的歷史問題情境進(jìn)行深入探究，并讓學(xué)生代入數(shù)學(xué)家的身份，盡情表達(dá)自己的想法，而后展示歷史上數(shù)學(xué)家解決問題的方式，分析自身思考結(jié)果與真實(shí)的數(shù)學(xué)史實(shí)有什么不同，從而展開一場學(xué)生自我思維與數(shù)學(xué)家思維的交流與碰撞。這種探究方法可以貫穿這一階段始終，因?yàn)閿?shù)學(xué)問題的解決并不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)概念最初的形式也是不完善的，數(shù)學(xué)概念是靠數(shù)學(xué)家在不斷探索、改進(jìn)的歷程中總結(jié)優(yōu)化的，這是一個(gè)曲折前進(jìn)上升的過程。

教師運(yùn)用HPM，將數(shù)學(xué)概念的發(fā)生、發(fā)展過程再現(xiàn)于學(xué)生眼前，有效地將數(shù)學(xué)家“發(fā)現(xiàn)問題—思考問題—解決問題—再發(fā)現(xiàn)問題—再思考問題—再解決問題”這一循環(huán)往復(fù)、檢驗(yàn)修正的真實(shí)經(jīng)歷重構(gòu)為教學(xué)過程。學(xué)生在數(shù)學(xué)史的時(shí)間節(jié)點(diǎn)上，按照APOS理論，對(duì)經(jīng)過教師加工的真實(shí)問題情境進(jìn)行不斷的抽象概括，對(duì)數(shù)學(xué)家解決問題的過程進(jìn)行深入的反思總結(jié)，最終得到數(shù)學(xué)概念的最新形式，同時(shí)了解概念形成與發(fā)展的來龍去脈，增加對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)情感上的認(rèn)同。

（三）O-H階段：深入分析對(duì)象，把握概念要素

數(shù)學(xué)概念往往需要用文字語言、符號(hào)語言和圖象來表示，其中的文字語言是學(xué)生最易接受的，而符號(hào)語言具有較強(qiáng)的抽象性。數(shù)學(xué)概念的簡潔、精確卻離不開數(shù)學(xué)符號(hào)的使用。對(duì)中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)來說，“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”是《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)中職生發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的要求。而在P-H階段，經(jīng)過教師加工處理的數(shù)學(xué)史主要發(fā)揮便于學(xué)生理解概念發(fā)展歷程這個(gè)功能，在這樣的背景下，學(xué)生所習(xí)得的概念僅局限于文字表達(dá)，且是模糊的、不完整的。因此，在O-H階段，教師要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深入分析概念對(duì)象，尤其是概念中抽象符號(hào)的意義。此時(shí)，教師可以采用形象類比的方式，把晦澀深?yuàn)W的數(shù)學(xué)符號(hào)類比為學(xué)生熟悉的事物或已有知識(shí)，再通過一些簡單的正反例幫助學(xué)生完成概念辨析，從而使學(xué)生能夠深刻把握概念中的要素，感悟數(shù)學(xué)符號(hào)的精練簡約之處，形成對(duì)概念的完整認(rèn)知。

（四）S-H階段：建立概念聯(lián)結(jié)，完善知識(shí)體系

在APOS理論中，學(xué)生在經(jīng)歷了思維的操作、過程、對(duì)象三個(gè)階段后，便需要將概念知識(shí)形成綜合心理圖示，該圖示建立的標(biāo)志之一是能夠進(jìn)行概念知識(shí)的遷移和應(yīng)用。例如，當(dāng)學(xué)生將來遇到一個(gè)問題或者對(duì)象時(shí)，能夠判斷這一問題或者對(duì)象是否屬于該綜合心理圖示。另外，《課程標(biāo)準(zhǔn)》所提到的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中也包括數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，與進(jìn)入圖示階段的標(biāo)志之一，即概念的應(yīng)用在結(jié)果上不謀而合。因此，S-H階段的主要任務(wù)是運(yùn)用數(shù)學(xué)史來檢驗(yàn)學(xué)生是否成功形成圖示結(jié)構(gòu)。

APOS-H理念下的概念教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)概念的最初理解來源于操作階段和過程階段對(duì)數(shù)學(xué)史中具體問題情境的感知與抽象，因此最后的圖示檢驗(yàn)應(yīng)落腳于數(shù)學(xué)史或現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用上，從而形成一個(gè)概念從產(chǎn)生到應(yīng)用在時(shí)間上的閉環(huán)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)性與實(shí)用性，進(jìn)一步認(rèn)同數(shù)學(xué)概念的合理性。教師在實(shí)際教學(xué)過程中，可以從數(shù)學(xué)史料中深挖與授課知識(shí)相關(guān)的素材，加工創(chuàng)編為難度適中、便于理解的問題，再讓學(xué)生以合作探究的形式運(yùn)用所學(xué)概念知識(shí)進(jìn)行解答。這里的問題設(shè)置也可以將現(xiàn)代生活中的實(shí)際資料作為主體內(nèi)容。通過分析學(xué)生的解答情況，教師可以確認(rèn)學(xué)生是否形成正確的心理圖示，若出現(xiàn)問題，還可以進(jìn)行及時(shí)的反饋修正。

形成綜合心理圖示的另一重要標(biāo)志為能否將新的概念與已有的知識(shí)體系建立聯(lián)結(jié)，構(gòu)造新的知識(shí)體系。因此，教師還要結(jié)合學(xué)生學(xué)過的相關(guān)知識(shí)設(shè)計(jì)課堂練習(xí)，再輔以構(gòu)造思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，使學(xué)生領(lǐng)悟新知與舊知之間的聯(lián)系和區(qū)別，建立多種知識(shí)之間全方位的聯(lián)結(jié)，在進(jìn)一步理解概念的基礎(chǔ)上完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、基于APOS-H理念的中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式實(shí)施

本文結(jié)合中職數(shù)學(xué)函數(shù)概念教學(xué)，論述基于APOS-H理念的中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的具體應(yīng)用。

（一）教學(xué)分析

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，其本身除具有抽象性外，還包含許多復(fù)雜的下層概念，這使得它成為中職數(shù)學(xué)中教師最難教、學(xué)生最難學(xué)的概念之一。在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，學(xué)生往往不清楚為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)，也不清楚函數(shù)概念的產(chǎn)生過程，導(dǎo)致他們無法理解函數(shù)的本質(zhì)，對(duì)函數(shù)知識(shí)缺乏情感上的認(rèn)同。

為解決上述難題，教師可以在APOS-H理念的指導(dǎo)下，以HPM中函數(shù)概念的歷史發(fā)展作為主線，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的起源開始，經(jīng)歷函數(shù)演變的各種形式，最終形成“集合—對(duì)應(yīng)”觀點(diǎn)下的函數(shù)概念。同時(shí)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，按照APOS理論，先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思維的操作和過程階段，從數(shù)學(xué)史等具體的實(shí)例中逐步抽象出函數(shù)概念，再通過對(duì)象階段引導(dǎo)學(xué)生細(xì)化概念，對(duì)符號(hào)“f（x）”進(jìn)行深入分析，深入探究函數(shù)的要素，最后以應(yīng)用練習(xí)的方式，幫助學(xué)生鞏固概念，完成總結(jié)歸納，具體過程如下。

（二）教學(xué)過程

1.A-H階段

中職數(shù)學(xué)教師先幫助學(xué)生復(fù)習(xí)初中所學(xué)的函數(shù)概念，并展示歷史上對(duì)函數(shù)發(fā)展有積極影響的著名數(shù)學(xué)家，為后續(xù)探究函數(shù)定義的形成鋪墊，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的求知欲。接著，教師以歷史上函數(shù)的起源作為切入點(diǎn)，讓學(xué)生了解函數(shù)產(chǎn)生于16世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)家對(duì)航海過程中運(yùn)動(dòng)軌跡研究的需要，而簡單的運(yùn)動(dòng)軌跡大部分可以用解析式刻畫，因此歐拉提出的函數(shù)最初形式也僅局限于解析式，即函數(shù)的解析式說：函數(shù)是由變量和一些常數(shù)以任意方式組成的量。這恰好是學(xué)生初中階段最熟悉的函數(shù)形式，學(xué)生易于接受。

2.P-H階段

中職數(shù)學(xué)教師分別展示用圖象（如圖2所示）和表格（如表1所示）表示函數(shù)的實(shí)例，并提問學(xué)生：“歐拉所提出的解析式說是否可以表達(dá)這兩個(gè)函數(shù)？”該問題激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生親身感受到函數(shù)解析式定義的局限性。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生深入分析，在抽象概括中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)實(shí)例中的函數(shù)關(guān)系雖然無法用解析式刻畫，但變量之間卻存在著依賴關(guān)系，從而引出歐拉后續(xù)所提出的更加完善的變量依賴定義。

之后，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)追隨數(shù)學(xué)家的腳步，通過常數(shù)函數(shù)的出現(xiàn)揭露變量依賴定義的不足。教師通過展示常數(shù)函數(shù)y=1（x[∈]R）的圖象（如圖3所示），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)中的兩個(gè)變量并不一定有依賴關(guān)系。單純地用變量依賴關(guān)系來刻畫函數(shù)并不完善，需要把“依賴”這個(gè)詞替換為“對(duì)應(yīng)”。教師繼而給出狄利克雷所提出的變量對(duì)應(yīng)定義。選用合適的例子使學(xué)生體會(huì)到了函數(shù)概念逐步合理化、完善化的過程，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)過程不再生硬、枯燥。另外，通過辨析“對(duì)應(yīng)”和“依賴”的區(qū)別，學(xué)生也理解了函數(shù)所刻畫關(guān)系的本質(zhì)。

此時(shí)的函數(shù)定義已經(jīng)十分接近函數(shù)的現(xiàn)代定義。為順利融入集合的思想，教師提問學(xué)生：“函數(shù)的概念能否進(jìn)一步簡化？”接著通過分析一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的文具銷售問題，在回顧集合知識(shí)的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生將兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)進(jìn)一步抽象概括為兩個(gè)集合之間的對(duì)應(yīng)，得到最終的函數(shù)概念。

3.O-H階段

根據(jù)APOS理論，在過程階段之后，學(xué)生需要將概念作為一個(gè)對(duì)象來進(jìn)行進(jìn)一步的細(xì)化分析。因此，在對(duì)象階段，中職數(shù)學(xué)教師可以通過形象類比的方式，將符號(hào)“f ”類比為一臺(tái)機(jī)器，把函數(shù)的對(duì)應(yīng)過程類比為產(chǎn)品的生產(chǎn)加工過程，從而使學(xué)生深入理解抽象符號(hào)的意義，感知函數(shù)的要素，如圖4所示。接著，教師要通過正反例的辨析幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固概念。

4.S-H階段

在這一階段，中職數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生小組交流合作完成兩道習(xí)題。習(xí)題包括兩個(gè)層面：一是嘗試用新的函數(shù)概念描述初中學(xué)習(xí)過的幾種初等函數(shù)，二是運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)概念來判斷數(shù)學(xué)史上的幾個(gè)實(shí)例中的變量關(guān)系是否屬于函數(shù)關(guān)系。由此，可以檢測學(xué)生是否將新的概念形成心理圖式，并把這個(gè)圖式納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。最后，學(xué)生借助思維導(dǎo)圖完成對(duì)函數(shù)這個(gè)概念的總結(jié)歸納。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，部分學(xué)生往往只記住了概念的形式，卻對(duì)概念的本質(zhì)一知半解。中職生因其基礎(chǔ)較為薄弱，長期以來存在著強(qiáng)記硬背的情況。在建構(gòu)主義的基礎(chǔ)上，融合APOS和HPM的APOS-H理念，綜合了兩種理念的優(yōu)點(diǎn)，以APOS理論中的操作、過程、對(duì)象、圖示四個(gè)階段作為操作的形式與步驟，以HPM中的數(shù)學(xué)史作為每個(gè)操作步驟中的具體探究內(nèi)容，不僅便于教師使用，同時(shí)將原本枯燥、抽象的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)化為緊貼歷史發(fā)展實(shí)際、展現(xiàn)數(shù)學(xué)家生動(dòng)奮斗經(jīng)歷、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用實(shí)踐、符合認(rèn)知規(guī)律的知識(shí)內(nèi)化過程。中職數(shù)學(xué)教師還可以在該模式的基礎(chǔ)上進(jìn)行其他概念主題教學(xué)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用，推動(dòng)中職生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

參考文獻(xiàn)

［1］陳一梅.基于APOS理論下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)：以“等差數(shù)列”的概念教學(xué)為例［J］.文理導(dǎo)航（中旬），2018（3）.

［2］王茹.高中函數(shù)概念有效教學(xué)研究［D］.西安：陜西師范大學(xué)，2016.

［3］汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育［M］.北京：科學(xué)出版社，2017.

［4］覃淋.基于HPM視角的中職數(shù)學(xué)教材的編寫［J］.湖北成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2022（2）.

［5］汪曉勤.關(guān)于HPM課堂教學(xué)評(píng)價(jià)的案例分析［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（10）.

［6］孫成成，胡典順.APOS理論視角下數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合：以復(fù)數(shù)的教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)通訊，2017（2）.

［7］章建躍.如何幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（9）.

［8］王康.高一函數(shù)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知障礙研究［J］.貴州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（9）.

［9］劉思璐，沈中宇，汪曉勤.HPM視角下的高中函數(shù)概念教學(xué)對(duì)學(xué)生函數(shù)概念理解的影響［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（2）.

注：本文系廈門市中等職業(yè)學(xué)校2023年度課題“核心素養(yǎng)背景下APOS理論在中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用研究”（202304）的研究成果。

作者簡介：黃斌（1990— ），福建廈門人，本科，理學(xué)學(xué)士，講師，主要研究方向?yàn)橹新殧?shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 劉小瑗）