例談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“圖”的使用

周琳

摘 要：兒童以具體形象思維為主，因此，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開“圖”（圖形、圖像等）的幫助。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意利用貼近生活的情境圖、表示事物的示意圖、表征數(shù)量的幾何意義圖、表征空間形式的幾何圖、梳理內(nèi)容關(guān)系的思維導(dǎo)圖等“圖”來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；情境圖；示意圖；幾何意義圖；幾何圖

兒童以具體形象思維為主，因此，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開“圖”（圖形、圖像等）的幫助。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分利用“圖”來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。具體來說，要注意以下幾類“圖”的使用。

一、貼近生活的情境圖的使用

這里的情境，包括有“物（人）”有“事”的復(fù)雜情境與有“物（人）”無“事”的簡單情境。情境圖貼近生活，貼近數(shù)學(xué)的源頭，可以把抽象枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得生動有趣，幫助學(xué)生形成用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識?，F(xiàn)行各版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，都在新授例題和鞏固練習(xí)中加入了大量的情境圖。教學(xué)中，教師可以直接出示情境圖（包括但不限于教材中的圖），引導(dǎo)學(xué)生提取生活經(jīng)驗(yàn)或開展實(shí)踐活動，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題。

例如，對于“滿10進(jìn)1”“退1作10”的算理，可以通過小棒圖和計(jì)數(shù)器圖（如圖1所示）這樣的簡單情境圖來幫助學(xué)生理解，并從中抽象出數(shù)位，發(fā)展出相同數(shù)位對齊的豎式計(jì)算方法。

再如，在圖形概念的教學(xué)中，可以出示學(xué)生熟悉的實(shí)物的圖片，引導(dǎo)學(xué)生抽象出長方形、平行四邊形、三角形、圓等平面圖形，以及長方體、圓柱、球等立體圖形。

二、表示事物的示意圖的使用

示意圖是情境圖的簡化?，F(xiàn)實(shí)情境中的事物可以用示意圖表征，如用一個(gè)點(diǎn)（或圓圈、方框、三角等）代表一個(gè)事物，用兩點(diǎn)之間的連線代表兩個(gè)事物之間的關(guān)系。由此，可以方便地發(fā)現(xiàn)事物的數(shù)量屬性及其關(guān)系。［1］教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)非圖形語言表述的事物畫出示意圖，從而理解數(shù)學(xué)意義，解決數(shù)學(xué)問題。

比如，教學(xué)一年級的“比多少”內(nèi)容時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)語言描述畫出表征實(shí)物的示意圖（如圖2所示），從而方便地看出誰比誰多幾或誰比誰少幾。如果學(xué)生一下子看不出，還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生連一連表征實(shí)物的示意圖（使其一一對應(yīng)），標(biāo)注同樣多的部分以及多的部分或少的部分（如圖3所示）。

當(dāng)然，其逆向問題“已知誰比誰多幾或誰比誰少幾，以及一方有多少，求另一方有多少”，也可以畫出示意圖來解決（如圖4所示）。再發(fā)散一下，還可以解決“一方給另一方多少后兩方一樣多”的問題（如圖5所示）。

再如，對于常見的“8行8列的方陣最外圈有多少人”的問題，學(xué)生如果不畫圖，而憑直覺或想象，很有可能得出“8×4=32（人）”的答案。對此，教師可以讓學(xué)生畫示意圖，并思考“是不是一定要把8行8列的人全畫出來”。學(xué)生能想到可以用一個(gè)圓圈代表一個(gè)人，且只要畫出“方陣最外圈的人”（他們排列在一個(gè)正方形的四條邊上）。在畫示意圖（如圖6所示）的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只有第一條邊要畫8個(gè)點(diǎn)，與其相鄰的兩條邊只要再畫7個(gè)點(diǎn)（否則就不是正方形），而最后一條邊只要再畫6個(gè)點(diǎn)。由此，得出最外圈有28人。

這時(shí)，教師可以追問：為什么比最初的32人少了4人？引導(dǎo)學(xué)生在畫出的示意圖上圈出每邊的8人（如圖7所示），并發(fā)現(xiàn)原因：四個(gè)角上的人都被算了2次，要把多算的一次去掉，所以是32-4=28（人）。由此，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了解決該問題的關(guān)鍵，對該問題中數(shù)量關(guān)系的理解更加深入。

此外，對于沒有現(xiàn)實(shí)情境的純數(shù)量關(guān)系（計(jì)算）問題，如“從1開始的連續(xù)奇數(shù)求和”問題，也可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫示意圖來解決。

三、表征數(shù)量的幾何意義圖的使用

幾何意義圖是示意圖的進(jìn)一步抽象（數(shù)學(xué)化）?，F(xiàn)實(shí)情境中事物的數(shù)量屬性、抽象之后數(shù)學(xué)情境中的數(shù)，可以用幾何意義，如線段的長度、平面圖形的面積或立體圖形的體積等（即相應(yīng)幾何量計(jì)量單位的個(gè)數(shù)），直線、平面或空間中的點(diǎn)（即基于某一“標(biāo)準(zhǔn)”的幾何位置，與“標(biāo)準(zhǔn)”構(gòu)成一定的幾何量關(guān)系）來表征。由此，很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系以及運(yùn)算結(jié)果。［2］

這類圖形中最常見的是通過線段的長度表征數(shù)量的線段圖。通常來說，比較小的整數(shù)（離散）數(shù)量，既可用示意圖表征，又可用線段圖表征。比如，上述“一方給另一方多少后兩方一樣多”的問題，也可用線段圖來表示（如圖8所示）。再如，上述“8行8列的方陣最外圈有多少人”的問題，也可用線段圖來表示（如圖9所示）。

對于比較大的或非整數(shù)（連續(xù)）數(shù)量，常常只能用線段圖表征。特別是對于一些數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的問題（如相遇問題、追及問題），還要用線段圖清晰地表示出數(shù)量變化（數(shù)量關(guān)系形成）的過程。比如“兩次相遇問題”：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，他們分別到達(dá)B、A兩地后都立即返回，已知第一次相遇處離A地680米，第二次相遇處離B地340米，則A、B兩地相距多少米？這類問題沒有給出速度和時(shí)間，常讓學(xué)生不知所措，完全沒有思路。對此，可以引導(dǎo)學(xué)生耐心地閱讀題題目條件，仔細(xì)地利用線段圖畫出甲、乙兩人的行走路徑，得到圖10（為了表意清晰，用虛線、實(shí)線來區(qū)別甲、乙兩人的行走路徑；由于一開始不能確定誰走得快、誰走得慢，可以先作假設(shè)，再根據(jù)畫出的圖來調(diào)整）。從圖中不難看出：第一次相遇時(shí)，甲、乙合走了一個(gè)全程，甲走了680米；第二次相遇時(shí)，甲、乙合走了三個(gè)全程（這是“兩次相遇問題”的普遍規(guī)律），甲走了一個(gè)全程加340米。進(jìn)一步分析數(shù)量關(guān)系可知，因?yàn)樗俣群愣?，所以甲、乙合走三個(gè)全程的時(shí)間是合走一個(gè)全程的時(shí)間的3倍，所以第二次相遇時(shí)甲走的路程是第一次相遇時(shí)甲走的路程的3倍，即680×3=2040（米）——這里抓住了時(shí)間這個(gè)聯(lián)系甲、乙的共同量。由此，便豁然開朗：AB的距離就是甲走的路程減去340米，即2040-340=1800（米）。

此外，通過圖形的面積表征數(shù)量的方形圖、圓形圖等，也比較常見，尤其是在表征分?jǐn)?shù)時(shí)（如圖11所示）。

四、表征空間形式的幾何圖的使用

現(xiàn)實(shí)情境中事物的空間形式可以直接抽象為幾何圖。由此，更容易研究其中的數(shù)量關(guān)系。［3］這里的幾何圖是一種特殊的情境圖，即由情境圖抽象得到的圖；也是一種特殊的幾何意義圖，即不是數(shù)量中有幾何意義，而是幾何中有數(shù)量意義。對幾何圖，主要是研究其中的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)中，教師特別要引導(dǎo)學(xué)生注意這類圖的割補(bǔ)變化。這是教學(xué)的難點(diǎn)所在。

比如求不規(guī)則圖形面積的問題：求圖12所示圖形的面積。對此，可以引導(dǎo)學(xué)生通過分割轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來求面積（如圖13、圖14所示），或者通過拼補(bǔ)轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來求面積（如圖15所示）。

再如平面圖形變化的問題：把邊長為5米的正方形的每條邊都延長2米，求增加部分的面積。對此，學(xué)生容易畫出如圖16所示的錯誤圖形。教師可以引導(dǎo)學(xué)生回看題目條件，檢查所畫圖形，發(fā)現(xiàn)這樣畫把邊長為5米的正方形每條邊都向兩個(gè)方向各延長了2米，一共延長了4米。由此，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)正確的畫法：向一個(gè)方向各延長2米（如圖17所示）或向兩個(gè)方向各延長1米（如圖18所示）。

五、梳理內(nèi)容關(guān)系的思維導(dǎo)圖的使用

思維導(dǎo)圖（樹型圖），是圍繞一個(gè)中心內(nèi)容向外發(fā)散，運(yùn)用圖文并重的方式，把零碎、散亂的內(nèi)容有層次、有條理地聯(lián)結(jié)在一起形成的富有個(gè)性的網(wǎng)絡(luò)圖，是一種基于事物之間聯(lián)系進(jìn)行的“再創(chuàng)造”。小學(xué)生對事物（尤其是知識）聯(lián)系的認(rèn)識還不夠，繪制思維導(dǎo)圖時(shí)需要教師的示范和引導(dǎo)。

在小學(xué)低年段，思維導(dǎo)圖更多地應(yīng)用于抽象數(shù)學(xué)知識的生動理解，可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)展開聯(lián)想和想象。在小學(xué)中高年段，思維導(dǎo)圖較多地應(yīng)用于單元數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)整理（如圖19所示），可以引導(dǎo)學(xué)生抓住知識關(guān)系展開聯(lián)想和分析。

需要說明的是，本文重點(diǎn)梳理了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的幾類圖，從現(xiàn)實(shí)與抽象、數(shù)量與空間、知識點(diǎn)與知識體系等多個(gè)角度考慮，并不是同一維度的圖形分類。

參考文獻(xiàn)：

［1］［2］［3］ 程茂山.也談幾何直觀的培養(yǎng)［J］.教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2022（9）：70，70，71.