利用GeoGebra開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

吳瑋　張姝

摘 要：GeoGebra軟件易操作、高精度、交互性、易分享的特征，使其成為高效開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要工具。借助GeoGebra開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，要具體制作實(shí)驗(yàn)工具，動(dòng)態(tài)演示圖形變化，具象表示抽象符號(hào)，顯化數(shù)學(xué)探究過(guò)程。同時(shí)，要注意平衡工具支持和自主探索的關(guān)系以及模擬實(shí)驗(yàn)與真實(shí)實(shí)驗(yàn)的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；GeoGebra

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度重點(diǎn)課題“智能學(xué)習(xí)環(huán)境下小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究”（編號(hào)：B/2022/03/62）的階段性研究成果。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是指為了獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生運(yùn)用一定的方法和手段、工具和載體，在實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡囊I(lǐng)下，進(jìn)行規(guī)范的實(shí)驗(yàn)操作，并幫助學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)化分析，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培育創(chuàng)新意識(shí)的活動(dòng)。［1］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“教學(xué)建議”中明確提出：“利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)?！保?］在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者常常利用GeoGebra這一數(shù)學(xué)專用軟件開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

一、GeoGebra軟件的特征

GeoGebra是將幾何、代數(shù)、表格、作圖、統(tǒng)計(jì)、微積分等以直觀易用的方式集于一體，進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示的一種交互式數(shù)學(xué)軟件。相較于常規(guī)的實(shí)物學(xué)具以及類似的幾何畫板軟件，GeoGebra軟件的以下特征使其成為高效開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的重要工具。

（一）易操作

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要價(jià)值在于讓學(xué)生在“做中學(xué)”，便于學(xué)生操作的實(shí)驗(yàn)工具是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的基本條件。與其他交互式數(shù)學(xué)軟件相同，GeoGebra可以便捷地使用工具繪制各種圖形，并且繪制的圖形蘊(yùn)含清晰的數(shù)學(xué)關(guān)系。例如，經(jīng)過(guò)合理的設(shè)置，拖動(dòng)線段時(shí)可以只發(fā)生平移、旋轉(zhuǎn)的操作，而不改變線段的長(zhǎng)度（模擬小棒）。此外，通過(guò)設(shè)置，可以控制界面在操作時(shí)是否會(huì)發(fā)生移動(dòng)、縮放，從而避免學(xué)生的誤操作。這些特點(diǎn)使得GeoGebra能夠保障數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中學(xué)生操作的便捷性。

（二）高精度

實(shí)證性是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要價(jià)值，高精度的實(shí)驗(yàn)工具會(huì)讓實(shí)驗(yàn)操作更加規(guī)范。GeoGebra具有高精度的天然優(yōu)勢(shì)，具體體現(xiàn)在操作的高精度、測(cè)量的高精度與運(yùn)算的高精度。例如，利用GeoGebra拖動(dòng)圖形時(shí)，可以設(shè)置平移模式是“自由移動(dòng)”還是“固定網(wǎng)格”，后者可以實(shí)現(xiàn)圖形的精準(zhǔn)對(duì)齊；繪制圖形時(shí)，可以通過(guò)測(cè)量功能直接標(biāo)示有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、面積等，改變圖形時(shí)，也會(huì)實(shí)時(shí)反饋測(cè)量數(shù)據(jù)；在數(shù)據(jù)加工方面，可以直接采用測(cè)量的數(shù)據(jù)通過(guò)編制的公式得到運(yùn)算的結(jié)果，從而避免收集大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)加工時(shí)帶來(lái)的誤差或錯(cuò)誤。

（三）交互性

GeoGebra具備豐富的指令庫(kù)，設(shè)置之后可以點(diǎn)擊按鈕執(zhí)行或自動(dòng)執(zhí)行。例如，可以通過(guò)“滑動(dòng)條”“輸入框”等輸入?yún)?shù)，再點(diǎn)擊按鈕執(zhí)行指令繪制圖形；也可通過(guò)指令實(shí)現(xiàn)分割、合并、比較等操作。合理運(yùn)用指令，能夠拓展實(shí)驗(yàn)工具的交互方式，使得實(shí)驗(yàn)工具可以為學(xué)生點(diǎn)撥實(shí)驗(yàn)過(guò)程中可能存在的問(wèn)題，幫助學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)建立數(shù)學(xué)化的分析。廣泛研究表明，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，交互工具的運(yùn)用有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和實(shí)踐能力方面發(fā)揮著積極的作用。［3］

（四）易分享

相較于幾何畫板，GeoGebra具有免費(fèi)開源、全平臺(tái)的特征，使其無(wú)須下載軟件，可直接通過(guò)網(wǎng)頁(yè)打開。用其制作的具體實(shí)驗(yàn)工具還可以方便地發(fā)布為網(wǎng)頁(yè)格式，通過(guò)鏈接或二維碼等方式方便地推送到學(xué)生的終端，讓每個(gè)學(xué)生都可以獨(dú)立嘗試、互不干擾，極大地簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)之前的準(zhǔn)備工作和之后的整理工作，促進(jìn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的常態(tài)實(shí)施。這一特點(diǎn)也使得GeoGebra不同于幾何畫板多用于教師的課件演示，成為學(xué)生看得見、摸得著、促思考的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具。

二、利用GeoGebra開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐探索

（一）具體制作實(shí)驗(yàn)工具

雖然GeoGebra易操作，但是為了提高數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的效率，教師通常還是要針對(duì)具體實(shí)驗(yàn)的需求，制作相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)工具（特別是對(duì)于那些比較復(fù)雜的操作對(duì)象，應(yīng)該事先完成制作），從而免去學(xué)生不必要的思考與操作，使得學(xué)生可以簡(jiǎn)單地掃碼打開實(shí)驗(yàn)工具（包括一鍵重置初始狀態(tài)），符合直覺地操作實(shí)驗(yàn)工具（包括軟件自動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)、加工數(shù)據(jù)、提示操作規(guī)范性等），更加清晰地觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果（包括局部縮放、三維視角旋轉(zhuǎn)等）。

例如小學(xué)階段常用的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具釘子板，學(xué)生的操作、判斷容易受到皮筋的彈性、粗細(xì)和釘子板的大小等因素的影響。如果使用打印的點(diǎn)陣圖，則所畫的圖形不能調(diào)整，只能重畫，還可能因?yàn)閷W(xué)生作圖能力的差異，影響實(shí)驗(yàn)探究。利用GeoGebra制作的“釘子板”工具很好地解決了上述問(wèn)題。其打開后的界面主體是一個(gè)點(diǎn)陣圖，周邊有一些工具與按鈕。其中，“多邊形”工具（圖標(biāo)為）可以方便地繪制圖形，“拖動(dòng)”工具（圖標(biāo)為）可以調(diào)整圖形的形狀和位置，“面積”工具（圖標(biāo)為）可以快速測(cè)量得到面積，“移動(dòng)視圖”工具（圖標(biāo)為）和“縮放”按鈕（圖標(biāo)為）方便觀察圖形，“刪除”工具（圖標(biāo)為）以及“重置”按鈕（圖標(biāo)為）可以清除圖形。由此，學(xué)生圍出圖形、調(diào)整圖形、計(jì)算面積等的過(guò)程都得到了優(yōu)化。還可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)需要增減工具或添加預(yù)設(shè)圖形，如低年級(jí)學(xué)生使用時(shí)可以隱藏“面積”工具，保證了實(shí)驗(yàn)工具在具有普適性的同時(shí)還具有一定的針對(duì)性。

不僅如此，智能化的“釘子板”工具還創(chuàng)造了更多的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方式。教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《釘子板上的多邊形》一課，利用工具實(shí)時(shí)測(cè)量面積的特點(diǎn)，可以先標(biāo)示圖形的面積，再通過(guò)拖動(dòng)點(diǎn)來(lái)改變圖形的形狀（如圖1所示），從而發(fā)現(xiàn)邊上釘子數(shù)不變，圖形內(nèi)釘子數(shù)每多1，面積就增加1 cm2。

（二）動(dòng)態(tài)演示圖形變化

除了精準(zhǔn)繪制圖形，動(dòng)態(tài)演示圖形的變化是GeoGebra處理幾何對(duì)象的重大優(yōu)勢(shì)（可以達(dá)到實(shí)物操作很難達(dá)到的靈活、精細(xì)效果）。這不是簡(jiǎn)單地播放動(dòng)畫，而是交互下的“動(dòng)靜結(jié)合”。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生自主操作利用GeoGebra制作的實(shí)驗(yàn)工具，調(diào)節(jié)其中圖形的動(dòng)靜狀態(tài)，借助圖形的變化，多角度、全方位地觀察圖形的特征，幫助學(xué)生建立豐富的直觀表象，認(rèn)識(shí)重要的幾何概念，發(fā)展空間觀念。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)、正方體的展開圖》一課，利用GeoGebra制作的實(shí)驗(yàn)工具，讓學(xué)生可以在拖動(dòng)滑動(dòng)條的過(guò)程中觀察正方體六個(gè)面展開的全過(guò)程，也可以隨時(shí)暫停觀察展開過(guò)程中的狀態(tài)，還可以在反復(fù)操作中觀察每個(gè)面的連接關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其在展開圖中的位置（如圖2所示）。

（三）具象表示抽象符號(hào)

相比于空間形式，數(shù)量關(guān)系更具有一般性（空間形式中也有數(shù)量關(guān)系），更體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象，數(shù)是對(duì)數(shù)量的進(jìn)一步抽象。［4］抽象的數(shù)量及數(shù)通常用符號(hào)來(lái)表示，即形式化。這種抽象性與形式化因?yàn)椴豢筛?，給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（特別是兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)）帶來(lái)了很大的困難。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通過(guò)將形式抽象的符號(hào)用直觀具象的

事物表示，使其可感，幫助學(xué)生借助操作與觀察，理解、發(fā)現(xiàn)其表示或蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。而利用GeoGebra可以方便、快捷地將數(shù)用形表示，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的功能。對(duì)此，教師在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中也應(yīng)該多加利用。

例如，教學(xué)“連續(xù)奇數(shù)求和”的問(wèn)題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究。先研究1+3+5+7，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)按一定的方式擺數(shù)，發(fā)現(xiàn)可用“正方形”對(duì)這一算式進(jìn)行表征（如圖3所示），從而形成1+3+5+7=4×4的直觀認(rèn)識(shí)。再依次增加從1開始連續(xù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)，讓GeoGebra按照規(guī)律自動(dòng)擺數(shù)（如圖4所示）。學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、推理的過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)：從1開始連續(xù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)即為該“正方形”的邊長(zhǎng)，從1開始連續(xù)奇數(shù)的和則為該“正方形”的面積。

（四）顯化數(shù)學(xué)探究過(guò)程

理解數(shù)學(xué)知識(shí)不僅要知其然，而且要知其所以然，關(guān)鍵是要經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探究發(fā)現(xiàn)過(guò)程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)探究的重要方式，可以顯化內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生借助直觀感知，通過(guò)分析比較，提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)。而GeoGebra可以更好地顯化數(shù)學(xué)探究過(guò)程：一是操作容易留痕，可以對(duì)比呈現(xiàn)操作前后的變化；二是數(shù)據(jù)容易采集，可以精確分析定量的數(shù)學(xué)結(jié)論；三是案例更為全面、多樣，使得歸納提煉更為容易，所得結(jié)論也更有力。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)《面積的變化》一課，研究將長(zhǎng)方形按比例放大后對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)比與面積比之間的關(guān)系時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究：自主繪制圖形并拖動(dòng)放大，觀察比較放大前后的圖形情況；同時(shí)自動(dòng)呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析放大前后的數(shù)量關(guān)系。然后，可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)正方形、三角形、圓、梯形等一系列圖形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，從而提煉得到面積比是邊長(zhǎng)比的平方的結(jié)論。舍棄了畫圖、測(cè)量、計(jì)算等次要活動(dòng)，凸顯的探究過(guò)程更加清晰、完善，探究結(jié)果也就更容易理解。

三、利用GeoGebra開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的注意事項(xiàng)

第一，平衡工具支持和自主探索的關(guān)系。要避免實(shí)驗(yàn)工具過(guò)于強(qiáng)大而擠占學(xué)生的探索空間或替代學(xué)生的思維過(guò)程。利用GeoGebra開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)時(shí)，不妨分階段加入智能化功能：初始階段提供基礎(chǔ)功能，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過(guò)程；后續(xù)階段加入智能支持，優(yōu)化實(shí)驗(yàn)操作，幫助學(xué)生豐富實(shí)證材料。

第二，平衡模擬實(shí)驗(yàn)與真實(shí)實(shí)驗(yàn)的關(guān)系。要避免模擬實(shí)驗(yàn)濫用而妨礙真實(shí)實(shí)驗(yàn)價(jià)值的發(fā)揮。例如，“可能性”“球的反彈高度”“大樹有多高”等問(wèn)題都需要在真實(shí)環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，才能得到可靠的結(jié)論。此時(shí)，模擬實(shí)驗(yàn)可以作為后續(xù)的補(bǔ)充，在真實(shí)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立理想模型，提高研究?jī)r(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 潘小福，蔣敏杰.常態(tài)化實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的策略［J］.江蘇教育，2022（41）：7-11.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：89.

［3］ 凌秋虹.基于“交互工具”進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的思考與實(shí)踐［J］.中國(guó)電化教育，2011（6）：95-98.

［4］ 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題［M］.北京：高等教育出版社，2013：1-3.