多層U形波紋管軸向剛度等效厚度模型研究

黃瀚林，周仕明，李道奎，彭少駒

（1.國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410073；3.中國人民解放軍 77680部隊(duì)，西藏 山南 856000）

0 引言

波紋管是用于補(bǔ)償管路或設(shè)備因溫差或溫度波動(dòng)造成的軸向、橫向和角位移的管路元件，在航空航天、水力、電力、石化、船舶、供熱網(wǎng)方面都有廣泛的運(yùn)用[1]。

波紋管主要有U形、V形、S形、Ω形等波形；按其層數(shù)劃分可劃分為單層波紋管（層數(shù)為1）和多層波紋管（層數(shù)不小于2）。波紋管軸向剛度是評(píng)價(jià)波紋管軸向位移補(bǔ)償?shù)闹匾笜?biāo)，由于波紋管軸向剛度理論公式大多來源于力學(xué)模型的簡化，與實(shí)際值存在一定誤差，因此，結(jié)合有限元等數(shù)值方法和試驗(yàn)方法來修正波紋管軸向剛度理論公式，并提升計(jì)算效率，是波紋管軸向剛度研究的重要方向之一。

近年來，不少研究者針對(duì)波紋管軸向剛度有限元分析方面做了較多的研究工作。談卓君等[1]提出了用單層等效厚度來計(jì)算波紋管的軸向剛度的思路，并以2層波紋管軸向剛度為例，驗(yàn)證了方法的可行性，但該文沒有給出2層以上等效厚度的計(jì)算方法；萬宏強(qiáng)等[2]基于U形波紋管軸向剛度經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了低溫環(huán)境下的修正，并結(jié)合有限元和試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證；修筑等[3]根據(jù)曲桿模型推導(dǎo)了基于厚度變化的軸向剛度經(jīng)驗(yàn)公式，并利用有限元和試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證；占豐朝等[4]基于有限元方法和試驗(yàn)對(duì)不等壁厚的U形波紋管軸向剛度進(jìn)行了非線性分析；羅炳亮等[5]基于有限元方法發(fā)現(xiàn)了波紋管膨脹節(jié)強(qiáng)度及軸向剛度隨加強(qiáng)件間隙值變化的規(guī)律；劉達(dá)列等[6]利用ANSYS軟件的Matrix27剛度單元對(duì)金屬波紋管進(jìn)行模擬，通過建立簡化有限元模型分析了金屬波紋管的軸向剛度。這些研究在提升軸向剛度計(jì)算精度方面做了較多工作，但工程適用性存在不足，計(jì)算效率較低。

本文將U形波紋管簡化為曲桿模型，推導(dǎo)了波峰、波谷半徑不相等情況下的軸向剛度經(jīng)驗(yàn)公式。波紋管軸向剛度有限元值經(jīng)驗(yàn)證可與其試驗(yàn)值等價(jià)后，通過經(jīng)驗(yàn)公式法與有限元方法計(jì)算多層波紋管結(jié)構(gòu)的軸向剛度，分析兩者誤差規(guī)律，推導(dǎo)出了一種基于經(jīng)驗(yàn)公式法的多層波紋管等效厚度計(jì)算方法，并在此基礎(chǔ)上提出了一種基于等效厚度單層U形波紋管有限元模型進(jìn)行多層U形波紋管軸向剛度分析的方法。

1 U形波紋管軸向剛度理論計(jì)算方法

1.1 U形波紋管軸向剛度表達(dá)式

波紋管的軸向剛度表達(dá)式為

1.2 基于曲桿模型波峰、波谷半徑不同的單層U形波紋管軸向剛度經(jīng)驗(yàn)公式推導(dǎo)

式中：K為波紋管的整體軸向剛度，N/mm；F為波紋管所受軸向力，N；e為波紋管軸向位移（包括拉伸和壓縮位移），mm。

單層U形波紋管結(jié)構(gòu)參數(shù)（如圖1）有：Dw為波紋管外徑，mm；Db為單層波紋管內(nèi)徑，mm；t為波紋管單層壁厚（成型后），mm；h為波高，mm；q為波距，mm；N為波峰數(shù)；r1為波峰曲率半徑，mm；r2為波谷曲率半徑，mm；Dm為波紋管平均直徑，mm；a為波峰波谷連接直邊長度，mm；E為設(shè)計(jì)溫度下波紋管材料的彈性模量，MPa。

圖1 波紋管參數(shù)對(duì)照?qǐng)D

進(jìn)一步將半個(gè)波峰、半個(gè)波谷和連接直邊簡化為曲桿模型，邊界條件為一端施加軸向力和彎矩，一端固支，如圖2所示。實(shí)際的工程應(yīng)用中大多采用該曲桿模型計(jì)算波紋管的軸向剛度，但對(duì)波峰波谷半徑不同的情況研究較少。國際接受使用的EJMA[7]（美國膨脹節(jié)制造商協(xié)會(huì)標(biāo)準(zhǔn)，我國國標(biāo)部分內(nèi)容以此標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)）的軸向剛度計(jì)算公式，也是基于此模型建立并修正后得出的。

圖2 波紋管半波曲桿模型

圖3 波紋管有限元模型

此處利用截面法、能量法和卡氏第二定理，推導(dǎo)波峰、波谷半徑不同的單層U形波紋管剛度經(jīng)驗(yàn)公式[3]。

確定AB、BC和CD段的彎矩分別為：

系統(tǒng)應(yīng)變能為

式中：M為AB、BC和CD段的彎矩，J為截面慣性矩，歐拉梁忽略剪切應(yīng)變能。

由卡氏第二定理，將式（3）代入，可得位移A點(diǎn)的角位移為

即

聯(lián)立式（6）與式（2）可求得

再次運(yùn)用卡氏第二定理，分別將AB、BC和CD段的彎矩代入，則A點(diǎn)沿F方向位移為

可得

波紋管單個(gè)完整波峰（谷）的位移量為

根據(jù)式（1）定義，聯(lián)立式（9）、式（10）可得波紋管單波軸向剛度為

又因?yàn)榍鷹U平均截面慣性矩為

式中，

則

聯(lián)立式（11）、式（14）可得單波軸向剛度為

從而得到波紋管的整體軸向剛度為

2 多層U形波紋管軸向剛度計(jì)算模型

取一典型U形波紋管結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，其材料為鋼，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，密度為7800 kg/m3。波紋管外徑Dw=31.2 mm，內(nèi)徑Db0=21.5 mm，單層壁厚（成型后）為t=0.2 mm，波高h(yuǎn)=4.85 mm，波距q=4.4 mm。波紋管軸向未受力時(shí)，自由長度為34 mm。本文分析了波數(shù)N=8、層數(shù)n=1～6的U形波紋管軸向剛度。

2.1 多層U形波紋管軸向剛度有限元建模

基于ABAQUS有限元軟件，參考文獻(xiàn)[8]的建模方法，在保證計(jì)算精度的同時(shí)減少計(jì)算量，建模時(shí)采用軸對(duì)稱模型；網(wǎng)格選擇CAX4R單元（4節(jié)點(diǎn)雙線性軸對(duì)稱四邊形縮減積分實(shí)體單元），該單元具有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有2個(gè)自由度，即沿著X、Y方向的平動(dòng)，并且具有模擬塑性、大變形、大應(yīng)變、蠕變和應(yīng)力強(qiáng)化等的能力，網(wǎng)格存在扭曲變形時(shí)，分析精度不會(huì)受到大的影響，在波峰和波谷位置進(jìn)行網(wǎng)格加密；層間關(guān)系設(shè)置為接觸，當(dāng)波紋管層數(shù)為2～6時(shí)，波紋管各層之間接觸設(shè)置為硬接觸和有限滑移；邊界條件為波紋管一端設(shè)置為固支，另一端加載沿軸向4 mm的拉伸位移，通過軸向力-軸向位移曲線獲得不同層數(shù)波紋管的軸向剛度。對(duì)文獻(xiàn)[8]建模方法進(jìn)行復(fù)現(xiàn)，基于該方法進(jìn)行有限元建模得到的軸向剛度與試驗(yàn)結(jié)果的平均誤差僅為1.92%。因此，可以認(rèn)為通過該建模方法所得到的軸向剛度為真實(shí)值，在缺乏可利用的試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)可將其作為修正經(jīng)驗(yàn)公式的依據(jù)。

2.2 多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值與理論數(shù)值對(duì)比分析

通過有限元仿真計(jì)算，得到1～6層U形波紋管的軸向力-軸向位移曲線和軸向剛度數(shù)值分別如圖4和表1所示。

表1 多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值 N/mm

圖4 1至6層U形波紋管軸向力-軸向位移曲線

取t=td，利用式（16）可求得等效厚度td為

將上述U形波紋管結(jié)構(gòu)參數(shù)和表1所得的2～6層U形波紋管軸向剛度數(shù)值代入式（17），經(jīng)四舍五入后可得到2～6層U形波紋管軸向剛度等效厚度分別為結(jié)構(gòu)參數(shù)中單層壁厚的1.3倍、1.5倍、1.7倍、1.8倍和2.0倍；其中，2層U形波紋管軸向剛度計(jì)算模型厚度也和文獻(xiàn)[1]的等效厚度倍數(shù)一致。

2.3 等效厚度單層U形波紋管有限元模型驗(yàn)證

將2.2節(jié)所求的等效厚度代入單層U形波紋管有限元模型中，同時(shí)利用式（16）求解單層U形波紋管的軸向剛度，得到計(jì)算結(jié)果如表2所示。從表2中可看出，單層U形波紋管剛度理論值與有限元值誤差為14.89%；6層時(shí)理論值與有限元值誤差為10.67%，說明等效厚度計(jì)算公式不夠準(zhǔn)確。原因分析如下：一是為了簡化慣性矩的計(jì)算，引入了平均直徑Dm的概念，與實(shí)際截面的慣性矩存在差異。二是在軸向剛度公式推導(dǎo)過程中，忽略了厚度t的的影響。

表2 軸向剛度理論值與有限元數(shù)值對(duì)照表

進(jìn)一步觀察表2也可以發(fā)現(xiàn)，在不同的層數(shù)情況下，有限元值與理論值的比值在1.0～1.3之間波動(dòng)，呈現(xiàn)一定的倍數(shù)關(guān)系。為此本文基于有限元計(jì)算值對(duì)等效厚度進(jìn)行修正，并引入剛度修正系數(shù)λ[9]：

式中：λ1為有限元模擬剛度，λ2為公式計(jì)算剛度。

修正后的單層U形波紋管整體軸向剛度計(jì)算公式為

因此，可以在引入λ的基礎(chǔ)上，引入單層壁厚倍數(shù)因子b（2.2節(jié)所求等效厚度td除以單層壁厚t所得的倍數(shù)）為

對(duì)包括表2數(shù)據(jù)在內(nèi)td為t的0.75～2倍，不等間隔的11組b和λ進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，從而得到：

將2.2節(jié)所求倍數(shù)因子b，代入式（19）～式（21）聯(lián)立求解，可得修正后軸向剛度理論值與有限元值對(duì)照結(jié)果，如表3所示。

表3 修正后軸向剛度理論值與有限元數(shù)值對(duì)照表

通過表3可以看出，與式（16）相比，基于有限元模型修正后的式（19）計(jì)算單層U形波紋管軸向剛度時(shí)，理論值與有限元值的誤差由14.89%減小至0.02%；通過壁厚倍數(shù)關(guān)系求解2層以上U形波紋管軸向剛度時(shí)，理論值與有限元值的平均誤差由13.48%減小至0.60%。

取t=td，式（19）經(jīng)變化可得修正后的軸向剛度等效厚度為

將表1所得多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值和上述U形波紋管結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式（22）中可得，在相同軸向剛度情況下2～6層U形波紋管對(duì)應(yīng)修正后的單層U形波紋管厚度分別為單層壁厚的1.250倍、1.425倍、1.587倍、1.712倍和1.852倍。

3 算例驗(yàn)證

保持主要結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，令多層U形波紋管單層壁厚t為0.18 mm、0.21 mm和0.24 mm，將2.3節(jié)所計(jì)算的倍數(shù)關(guān)系分別代入式（19）和多層U形波紋管有限元模型，結(jié)果如表4～表6所示。

表4 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值對(duì)照表（t=0.18 mm）

表5 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值對(duì)照表（t=0.21 mm）

表6 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數(shù)值對(duì)照表（t=0.24 mm）

通過表4～表6三個(gè)算例的數(shù)據(jù)可以看出，將2.3節(jié)所得單層壁厚倍數(shù)關(guān)系，代入修正后的單層U形波紋管軸向剛度計(jì)算公式（19）中，可以較為精確地計(jì)算1～6層U形波紋管軸向剛度。理論值和有限元值擬合程度較好，如圖5所示。

圖5 算例理論值與有限元值對(duì)比圖

可以認(rèn)為，在主要結(jié)構(gòu)參數(shù)相同情況下，上述壁厚倍數(shù)的單層U形波紋管可分別和2～6層的U形波紋管進(jìn)行軸向剛度的精確等效，工程上可以通過建立軸向剛度-管壁厚度曲線[2]根據(jù)上述倍數(shù)對(duì)應(yīng)的厚度快速獲取多層U形波紋管軸向剛度值。經(jīng)過進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)，多層波紋管單層壁厚為0～0.3 mm時(shí)，理論計(jì)算的結(jié)果與多層U形波紋管軸向剛度的誤差均在10%以內(nèi)，而壁厚大于0.3 mm時(shí)，同樣可以依據(jù)該方法求解不同壁厚多層U形波紋管的等效厚度，但倍數(shù)因子將發(fā)生變化。

4 結(jié)論

1）提出了一種基于單層U波紋管有限元模型計(jì)算多層U形波紋管軸向剛度分析的方法。

2）修正了單層U形波紋管軸向剛度計(jì)算方法，與有限元法結(jié)果的擬合程度較高。

3）計(jì)算了主要結(jié)構(gòu)參數(shù)相同時(shí)，當(dāng)多層U形波紋管單層壁厚為0～0.3 mm時(shí)，2～6層U形波紋管對(duì)應(yīng)的軸向剛度等效厚度分別為多層U形波紋管單層壁厚的1.250倍、1.425倍、1.587倍、1.712倍和1.852倍時(shí)；此時(shí)，單層U形波紋管軸向剛度可以與對(duì)應(yīng)的多層U形波紋管軸向剛度進(jìn)行等效。

4）當(dāng)多層U形波紋管單層壁厚大于0.3 mm時(shí)，同樣可以基于本文方法求解軸向剛度等效厚度，但壁厚倍數(shù)因子將發(fā)生改變。