逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王安林

【摘要】逆向思維是一種相對(duì)于正向思維而說(shuō)的思維方式.在初中數(shù)學(xué)解題中，利用逆向思維，有效運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，可以達(dá)到意想不到的解題效果.作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)重視逆向思維的利用，采取多樣化的教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，掌握逆向思維的應(yīng)用方式，有效解答數(shù)學(xué)問(wèn)題.本文旨在分析逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題；逆向思維

在新課程改革背景下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，逆向思維是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的體現(xiàn).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)對(duì)學(xué)生的解題情況進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生缺少逆向思維，只是單純地套用公式，缺少靈活解題技巧，不能夠靈活利用逆向思維，使得解題效率較低.因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解逆向思維，并且將其運(yùn)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題過(guò)程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 利用逆向思維，解答方程類問(wèn)題

例1 已知實(shí)數(shù)a、b、c使得a=b+2，2ab+22c2+1=0成立，那么a+b+c的值是（）

（A）-1.（B）0.（C）1.（D）2.

分析 通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)題目中的信息不多，問(wèn)題看似比較簡(jiǎn)單，其實(shí)解題難度較大，需要對(duì)題目條件進(jìn)行變形，還需要利用逆向思維，借助韋達(dá)定理的逆定理進(jìn)行推導(dǎo)，完成解題.

解 因?yàn)閍=b+2，所以a－b=2，

根據(jù)2ab+22c2+1=0得出－ab=2c2+12，

根據(jù)韋達(dá)定理可以得出a、－b是方程x2-2x+2c2+12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以Δ=（-2）2－4（2c2+12）=－42c2≥0，當(dāng)c=0時(shí)滿足條件，此時(shí)Δ=0，a=－b，所以a+b+c=0，所以正確答案是（B）.

2 利用逆向思維，解答不等式問(wèn)題

例2 已知關(guān)于x的不等式組

x－43－x＜－4x－m＞0，

其解集是x＞4，且整數(shù)m能夠使得關(guān)于x、y的二元一次方程組mx+y=83x+y=1的解為整數(shù)，下列選項(xiàng)中不符合條件的m的值是（）

（A）-4.（B）2.（C）4.（D）10.

分析 在題目中通過(guò)一個(gè)不等式組的解集，要求學(xué)生求解某個(gè)參數(shù)的取值范圍，利用逆向思維可以快速解題，提高解題效率.

解 因?yàn)殛P(guān)于x的不等式組

x－43－x＜－4x－m＞0，

所以x＞4，x＞m，

因?yàn)椴坏仁浇M的解集是x＞4，所以m≤4，

根據(jù)關(guān)于x、y的二元一次方程組

mx+y=83x+y=1，

得出x=7m－3，

因?yàn)榉匠探M的解是整數(shù)，所以m－3=1，m－3=－1，或者m－3=7，m－3=－7，

所以得出m=4或m=2或m=10或m=－4，因?yàn)閙≤4，所以m=10不符合題意，舍去.正確答案是（D）.

3 利用逆向思維，解答三角形問(wèn)題

例3 如圖1所示，△ABC中，AB=AC，D是三角形外的點(diǎn)，且AB⊥AD，BC與AD的交點(diǎn)是E，BC⊥DC于點(diǎn)C，AD與DC的交點(diǎn)是D.證明：AC2=AD×AE.

分析 對(duì)于此題目解答時(shí)，根據(jù)題目條件難以形成清晰的證明思路，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)結(jié)論進(jìn)行逆向思維思考，想要證明AC2=AD×AE，可以對(duì)其進(jìn)行變形，即ACAD=AEAC，想要得到此結(jié)論，需要證明△ADC∽△ACE，通過(guò)對(duì)圖1進(jìn)行分析，兩個(gè)三角形存在一個(gè)公共角，根據(jù)三角形相似判斷方法，需要再找到一組角相等，即可證明三角形相似.

證明 因?yàn)锳B⊥AD，BC⊥DC，

所以∠ECD=∠EAB，

因?yàn)椤螩ED=∠BEA，所以∠D=∠B，

因?yàn)锳B=AC，

所以∠BCA=∠D=∠B，

所以在△ADC與△ACE中，∠D=∠BCA、∠CAD=∠EAC，

所以△ADC∽△ACE，

所以AC2=AD×AE.

4 利用逆向思維，解答四邊形問(wèn)題

例4 如圖2，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，CD．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若直徑AB＝6，當(dāng)AD＝時(shí)，四邊形ACDO是菱形.

分析 （1）略.

（2）“直難想逆”，正著思考有難度的，可從結(jié)果出發(fā)，反推AD的長(zhǎng)度.根據(jù)四邊形ACDO是菱形，可得OD＝CD＝BD＝OB，得∠DBA＝60°，進(jìn)而可求AD的長(zhǎng)；

解 （1）證明略.

（2）當(dāng)AD=33時(shí)，四邊形ACDO是菱形，理由如下：

四邊形ACDO是菱形時(shí)，OD＝CD＝BD＝OB，

所以∠DBA＝60°，

因?yàn)锳B是⊙O的直徑，

所以∠ADB＝90°，

所以AD＝AB·sin∠DBA＝6×sin60°＝33．

所以當(dāng)AD=33時(shí)，四邊形ACDO是菱形．

5 利用逆向思維，反證法證明幾何問(wèn)題

例5 求證：在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角.

分析 本題可以利用反證法進(jìn)行證明，具體步驟為：

（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立（假設(shè)在一個(gè)三角形中，有兩個(gè)角是鈍角）；

（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾（與三角形內(nèi)角和為180°矛盾）；

（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確（在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角）.

證明 如圖3，在△ABC中，假設(shè)∠A和∠B為鈍角，

那么：∠A+∠B>180°，

則∠A+∠B+∠C>180°，

與三角形內(nèi)角和為180°矛盾.

所以在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角.

6 結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)解題中，逆向思維被廣泛使用，教師需要結(jié)合教學(xué)實(shí)際，考慮學(xué)生實(shí)際情況，靈活利用逆向思維，突破學(xué)生解題障礙，尋找解題切入點(diǎn)，通過(guò)解題幫助學(xué)生掌握逆向思維應(yīng)用技巧，提高學(xué)生的解題能力與水平.

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