作業(yè)巧分層 教學(xué)更高效
——以人教版第十九章“一次函數(shù)”為例

高凌潔

(福建省福州第十八中學(xué),福建 福州 350001)

基金項(xiàng)目：本文系福建省福州市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃2022年度立項(xiàng)課題“雙減背景下初中數(shù)學(xué)校本作業(yè)分層設(shè)計(jì)助力數(shù)學(xué)課堂減負(fù)增效的實(shí)踐研究”成果之一(課題編號(hào):FZ2022ZX017)

分層作業(yè)是指優(yōu)化的彈性作業(yè)結(jié)構(gòu),它依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平層次進(jìn)行分類(lèi),一般按照學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、個(gè)性特征、接受能力、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等因素展開(kāi)層次劃分,主要目的是使不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)得到不同程度的提高.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,布置分層作業(yè)不僅符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求,而且還能滿足學(xué)生自身發(fā)展的需求,可有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),且起到“減負(fù)增效”的效果,與“雙減”政策相接軌,最終讓教學(xué)變得更高效[1].

1 設(shè)計(jì)基礎(chǔ)型作業(yè)

(1)下列函數(shù)中,屬于正比例函數(shù)的有____,屬于一次函數(shù)的有____.

A.該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,2)

B.該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限

C.y的值隨著x的增大而增大

D.y的值隨著x的增大而減小

(3)在圖1中,一次函數(shù)y=2x-3的大致圖象是( )

圖1 基礎(chǔ)型作業(yè)(3)題圖

(4)已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,-1),并同直線y=2x-1是平行關(guān)系,那么該一次函數(shù)的解析式是什么?

(5)如果某一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖2所示,那么當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是什么?方程kx+b=0的解是什么?

圖2 基礎(chǔ)型作業(yè)(5)題圖

(6)如圖3所示,直線l是一次函數(shù)y=kx+b的圖像,求:

圖3 基礎(chǔ)型作業(yè)(6)題圖

①該函數(shù)的解析式是什么?

②當(dāng)x=4時(shí),y的值是什么?

設(shè)計(jì)意圖這部分作業(yè)中的題目考查基礎(chǔ)知識(shí),主要面向數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生.在完成一次函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)后,學(xué)生需主動(dòng)梳理一次函數(shù)知識(shí),包括一次函數(shù)的概念、一次函數(shù)圖象和性質(zhì)、簡(jiǎn)單的一次函數(shù)和方程、不等式的關(guān)系以及運(yùn)用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式等,使其掌握一次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),初步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想[2].

2 設(shè)計(jì)中等型作業(yè)

(1)已知函數(shù)y=(k+1)x+k2-1,當(dāng)k為何值時(shí),它是一次函數(shù)?當(dāng)k為何值時(shí),它是一個(gè)正比例函數(shù)?

(2)函數(shù)y=2x+b的圖象上有兩點(diǎn)P1,P2,它們的坐標(biāo)分別是(-1,y1),(3,y2),下列說(shuō)法正確的是( )

A.y1>y2B.y1=y2C.y1

(3)如圖4所示,它是正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象,那么一次函數(shù)y=x+k的圖象是圖5中的( )

圖4 中等型作業(yè)(3)題圖

圖5 中等型作業(yè)(3)題選項(xiàng)圖

圖6 中等型作業(yè)(4)題圖

設(shè)計(jì)意圖這部分作業(yè)中的題目屬于中等型題目,雖然考查的仍然是一次函數(shù)相關(guān)知識(shí),但與基礎(chǔ)型題目相比,難度有所提升,其中第(1)題要求學(xué)生以深刻理解一次函數(shù)的概念為基礎(chǔ)進(jìn)行判斷與運(yùn)算,通過(guò)分類(lèi)討論得出相應(yīng)結(jié)果;第(2)(3)兩題主要從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面深化理解一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用;第(4)題能夠讓學(xué)生深刻體會(huì)一次函數(shù)和方程、方程組、不等式之間的本質(zhì)聯(lián)系,知道彼此之間存在著一定的關(guān)聯(lián)性,感知與理解數(shù)形結(jié)合思想的重要作用[3].

3 設(shè)計(jì)發(fā)展型作業(yè)

(1)已知有A、B兩種規(guī)格客車(chē),2輛A客車(chē)與3輛B客車(chē)一共能坐乘客180人,1輛A客車(chē)和2輛B客車(chē)一共能坐乘客105人.

①A、B兩種客車(chē)能夠分別載客多少人?

②某校初中八年級(jí)共有師生240人,現(xiàn)計(jì)劃全部出行,計(jì)劃租A、B兩種客車(chē)共6輛,一次將所有人送至目的地,假如A客車(chē)租金為400元/輛,B客車(chē)租金是280元/輛,請(qǐng)找出費(fèi)用最低的方案,且求出最低費(fèi)用.

(2)聲音在空氣中傳播的速度y(m/s)(簡(jiǎn)稱音速)是溫度x(°C)的一次函數(shù),表1中給出一組不同溫度時(shí)的音速大小:

表1 不同溫度時(shí)的音速大小

①求音速y(m/s)與溫度x(℃)的函數(shù)關(guān)系;

②當(dāng)氣溫為22 ℃時(shí),一個(gè)人看到煙花燃放5 s后聽(tīng)到響聲,請(qǐng)求他與煙花燃放點(diǎn)之間的距離.

設(shè)計(jì)意圖本層次作業(yè)中的題目均以現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象為情境,從情境中引出數(shù)學(xué)問(wèn)題,屬于發(fā)展型作業(yè).主要目的是從具體到抽象中引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)一次函數(shù),提高學(xué)生分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,使其充分體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活之間的緊密聯(lián)系,以及數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性和價(jià)值[4].

4 設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)型作業(yè)

(1)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是坐標(biāo)的原點(diǎn),四邊形ABCO是菱形,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,4),點(diǎn)C位于x軸的正半軸,直線AC與y軸相交于點(diǎn)M,AB邊與y軸相較于點(diǎn)H,連接BM,解答以下問(wèn)題:

圖7 挑戰(zhàn)型作業(yè)(1)題圖

①求菱形ABCO的邊長(zhǎng);

②求直線AC的解析式;

③現(xiàn)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處先出發(fā),沿著A→B→C的方向以2個(gè)單位/秒的速度往終點(diǎn)C處勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)△PMB的面積是S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,那么S和t之間的函數(shù)關(guān)系式是什么?

(2)如圖8所示,直線y=kx+6與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-8,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-6,0),點(diǎn)P(x,y)是第二象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)解答以下問(wèn)題:

圖8 挑戰(zhàn)型作業(yè)(2)題圖

①求出k的值;

②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,請(qǐng)寫(xiě)出△OPA的面積S和x的函數(shù)關(guān)系式,寫(xiě)出自變量x的取值范圍;

設(shè)計(jì)意圖本層次作業(yè)中的題目都屬于綜合性題目,是挑戰(zhàn)型作業(yè).將一次函數(shù)同幾何圖形結(jié)合起來(lái),這也是初中數(shù)學(xué)解題中的重點(diǎn)與難點(diǎn),通常靈活多變,可以很好地檢測(cè)學(xué)生對(duì)分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想以及幾何圖形的掌握情況,對(duì)其綜合能力要求較高,讓有余力的同學(xué)去選做.

總之,初中數(shù)學(xué)是一門(mén)綜合性較強(qiáng)的學(xué)科,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與邏輯推理等核心素養(yǎng)有著較高要求.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生出現(xiàn)層次性與差異性是不可避免的,初中數(shù)學(xué)教師要做的便是整體考慮教學(xué)對(duì)象,使其數(shù)學(xué)水平均得到不同程度的提升.這就要求教師布置作業(yè)時(shí)堅(jiān)持分層原則,巧妙設(shè)計(jì)一系列分層作業(yè),要求學(xué)生根據(jù)個(gè)人能力范圍自主選擇與完成對(duì)應(yīng)的作業(yè),鼓勵(lì)學(xué)生嘗試向高層次作業(yè)發(fā)起挑戰(zhàn),使其獲得最大限度的提升.