抓綱務本 知能并重
——均勻帶電半球殼的場強、電勢問題分析

楊天寶

(揚州大學附屬中學)

人教版教材必修第三冊第14頁中提到“可以證明一個半徑為R的均勻帶電球體(或球殼)在球的外部產生的電場,與一個位于球心、電荷量相等的點電荷在同一點產生的電場相同”,用到的是等效思想,但教材并未給出“球殼內場強處處為零”“球殼內電勢處處相等”的結論。筆者查閱大量的文獻資料發(fā)現(xiàn),絕大多數對此類問題分析多以高等數學知識純理論推導為主,然而這并不適用于一般的高中物理教學,更不能有效促進學生的理解和掌握。均勻帶電半球殼問題可以看作是均勻帶電球殼電場特性的應用,對于一些特殊的位置可以采用填補法、等效法、對稱性分析等方法,利用學生已掌握、能接受、能理解的方法解決均勻帶電半球殼的問題,提高學生此類問題的得分能力,這樣才更具有價值。

1.均勻帶電半球殼的場強與電勢變化特點

【例1】一球面均勻帶有正電荷,球內的電場強度處處為零。如圖1所示,O為球心,A、B為直徑上的兩點,OA=OB,現(xiàn)垂直于AB將球面均分為左右兩部分,C為截面上的一點,移去左半球面,右半球面所帶電荷仍均勻分布,則

圖1

( )

A.O、C兩點電勢相等

B.A點的電場強度大于B點

C.沿直線從A到B電勢先升高后降低

D.沿直線從A到B電場強度逐漸增大

1.1 O、C兩點所在的這個面的場強方向相同,背離半球殼,此截面是等勢面

方法一:先用假設法判斷O、C場強,再確定等勢面。由于球殼內部的場強為零,補全以后可知左右側球殼在C點的合場強為零,因左右球殼的場強具有對稱性,要想合場強為零只能是兩部分球殼在C點的場強都是水平方向,則可以知道右側球殼在C點的合場強水平向左,同理OC上其他點的場強都是水平向左,其實OC所在的這個面的場強方向也全都向左,這個截面是等勢面,故O、C兩點電勢相等。

方法二:先用假設法判斷O、C電勢,再確定場強方向。假設右半球殼在O、C兩點電勢不等,那么根據對稱性可知,左半球殼在O、C兩點電勢與右半球殼相等,則疊加后O、C兩點電勢則不同,這樣就會與“球殼內電勢處處相等”的結論相悖,故右半球殼在O、C兩點的電勢必須相同,所以此半球的橫截面是等勢面。再根據右半球殼在O點場強方向向左且垂直于等勢面,可知此截面上的場強方向均向左。

1.2 軸線BOA直線上關于O點對稱的球殼內兩點場強相同,與位置無關

首先將題中半球殼補成一個完整的球殼,且?guī)щ娋鶆?設左、右半球殼在A點產生的電場強度大小分別為E1和E2;由題知,均勻帶電球殼內部電場強度處處為零,則知E1=E2。根據對稱性,左右半球殼在B點產生的電場強度大小分別為E2和E1,且E1=E2。A點的電場強度大小為E2,方向向左,B點的電場強度大小為E1,方向向左,所以A點的電場強度與B點的電場強度相同。試想沿直線從B到A電場強度那是如何變化呢,請看下面分析。

1.3 沿軸線BOA方向場強先增大后減小,且關于O點對稱

假設將表面均勻帶正電的半球殼,沿線軸分成厚度相等的兩部分,然后將這兩部分移開到很遠的距離,設分開后球表面仍均勻帶電,左半部分在A1點的場強大小為E1,方向向右,右半部分在A2點的場強的大小為E2,方向向左,如圖2所示。

圖2

設想在另一表面均勻分布正電荷的完全相同的半球殼,附在右半球層上構成球缺,球缺在A2點產生的電場強度E3大于E2,如圖3所示。球缺和球冠構成一個完整球,由于均勻帶電球殼內部任一點的電場強度為零,那么E1與E3必然大小相等,方向相反,所以球冠面電荷在點A1產生的場強E1大于球層面電荷在A2產生的場強E2,所以A1點的場強大小為E1-E2,方向向右。

圖3

如果左半部分寬度增加電荷量增多,E1增大,右半部分寬度減小,所帶電荷量減小,E2減小,故使得A1點右移同時場強逐漸增大,過半球形球心后場強再減小。

1.4 沿軸線BOA方向電勢逐漸降低

再結合上述場強大小變化分析時發(fā)現(xiàn)均勻帶電半球殼從B到A場強方向一直向左,故沿BA方向電勢一直降低。

以上分析過程就是利用學生已掌握、能接受、能理解的“填補法、等效法、對稱法”方法分析總結出的均勻帶電半球殼場強電勢變化特點,在教學中實現(xiàn)了“抓綱務本”的同時又能體現(xiàn)“知能并重”教學理念,使得學生的智慧得以活化,創(chuàng)造性得以增強。

2.定性判斷均勻帶電半球殼內的場強與電勢

圖4

( )

A.若左右兩部分的表面積相等,有E1>E2,φ1>φ2

B.若左右兩部分的表面積相等,有E1

C.不論左右兩部分的表面積是否相等,總有E1>E2,E3=E4

D.只有左右兩部分的表面積相等,才有E1>E2,E3=E4

【答案】C

【分析】根據上述例1的分析和結論,結合填補法、對稱性可知,左半球殼在M、N點的電場強度大小都相等,方向相同,即E3=E4。

平面L分割的兩部分球冠在M點場強,根據填補法、對稱性、矢量疊加原理可知,E1方向水平向左,E2方向水平向右,左側部分在M點產生的場強比右側電荷在M點產生的場強大,E1>E2,與左右兩個部分的表面積是否相等無關。

3.定量求解均勻帶電半球殼外的場強大小

【例3】均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處產生的電場。如圖5所示,在半球面AB上均勻分布正電荷,其電荷量為q,球面半徑為R,CD為通過半球頂點與球心O的軸線,在軸線上有M、N兩點,OM=ON=2R。已知M點的場強大小為E,則N點的場強大小為

圖5

( )

【答案】A

4.定量求解均勻帶電半球殼內的電勢大小

圖6

( )

【答案】B

【分析】根據題干條件:均勻帶電球殼內部電場強度處處為零,因此球殼內任意兩點的電勢差為零,所以球殼內電勢處處相等,即A、B兩點的電勢與O點電勢相等。

在半球面的右側填補一個均勻所帶電荷量為+Q、半徑為R的半球面,填補后球心O點的電勢應該等于球殼上若干個點電荷在O點電勢的代數和。

5.反思