點電荷和介質球殼系統(tǒng)的電勢分布

王樹平 范 虹

(河北建筑工程學院數(shù)理系，河北 張家口 075000)

點電荷和介質球殼系統(tǒng)的電勢分布

王樹平 范 虹

(河北建筑工程學院數(shù)理系，河北 張家口 075000)

通過求解拉普拉斯方程與泊松方程，得到了點電荷和介質球殼系統(tǒng)的電勢分布表達式，并對結果進行討論，得出了若干有意義的結論.

點電荷；介質球殼；電勢；分離變量法

文獻[3]、[4]分別計算了點電荷與介質球、均勻外電場中有介質球殼系統(tǒng)的電勢分布.本文通過對點電荷和介質球殼系統(tǒng)的電勢的計算和討論將闡明：上述兩種情形的電勢分布都可由點電荷和介質球殼系統(tǒng)的電勢分布給出.

1 計 算

設有介電系數(shù)為ε的介質球殼，置于空氣中.介質球殼的內、外半徑分別為a和b,在距離介質球殼的球心為r0處有一點電荷(假設r0>b，見圖1)，其帶電量為q，計算空間的電勢分布[1].

顯然，球殼內(rb)則滿足泊松方程，即

2φ1=0 (r

(1)

(2)

(3)

由于點電荷的作用，介質球殼產(chǎn)生極化，球殼內(rb)的電勢φ3是點電荷所產(chǎn)生電勢φq3和球殼極化電荷所產(chǎn)生電勢φp3的疊加.即球殼內、中、外三區(qū)域的電勢分別為

φ1(r,θ)=φq1+φp1(r,θ) (r

(4)

φ2(r,θ)=φq2+φp2(r,θ) (a≤r≤b)

(5)

φ3(r,θ)=φq3+φp3(r,θ) (r>b)

(6)

邊界條件為

φ1=有限值 (r=0)

(7)

已知點電荷在球殼內、中、外三區(qū)域產(chǎn)生的電勢分別為

(11)

(12)

(13)

應用分離變量法，并結合式(7)、式(8)給出的條件，可設極化電荷在球殼內、中、外產(chǎn)生的電勢分別為

(14)

(15)

(16)

于是得到球殼內、中、外的電勢表達式分別為

(17)

(18)

(19)

(20)

由式(9)、式(10)及式(17)-(20)得到

由式(21)解得

(22)

(23)

(24)

(n=0,1,2,…) (25)

以上三式中

k′=b2n+1[εn+ε0(n+1)][ε0n+ε(n+1)]-a2n+1n(n+1)(ε-ε0)2

k″=n(ε-ε0)a2n+1+[ε0n+ε(n+1)]b2n+1

將式(22)-(25)分別代入式(17)、式(18)、式(19)，得到介質球殼內、中、外的電勢分布分別為

2 討 論

2.1 點電荷與介質球系統(tǒng)的電勢分布

在式(27)中，令a=0，b=R,馬上能得到點電荷和介質球系統(tǒng)的電勢分布

在介質球內的電勢表達式為

(n=0,1,2,…)(r≤R)

(29)

在介質球外的電勢表達式為

(30)

這與文獻[3]的結論完全相同.

2.2 點電荷與導體球殼系統(tǒng)的電勢分布

眾所周知，在ε→∞的條件下，介電系數(shù)為ε的介質相當于導體，利用式(26)-(28)及ε→∞的條件，很容易得到點電荷與導體球殼系統(tǒng)的電勢分布.

導體球殼內的電勢為

φ1=0 (n=0,1,2,…)(r

(31)

導體球中的電勢為

φ2=0 (n=0,1,2,…) (a≤r≤b)

(32)

導體球外的電勢為

(33)

2.3 均勻外電場中介質球殼的電勢分布

若點電荷q(<0)沿z軸正向趨于無窮遠，同時q值也趨于無窮大，但保證q在討論的范圍內所激發(fā)的電場為非零有限場值，則此時q在討論的范圍內所激發(fā)的電場是沿z軸正向的均勻的電場，其大小為：

(34)

式(34)中負號的引入是因為q<0，這里要求場強大小E非零有限.

根據(jù)式(20)，式(26)可改寫為

再由式(34)知,此時式(35)中的求和只有當n=0,1時不為零，其余都為零.另外式(35)中是取無窮遠為電勢零點的，若均勻電場占據(jù)整個空間時，不能再取無窮遠為電勢零點.當電勢零點改變時，電勢的表達式應加一常量U0[2]，則均勻場中有介質球殼情形的殼內的電勢為

(36)

(37)

同理，式(27)可改寫為

由式(34)知,當q(r0)→∞時，式(38)中的求和也只有當n=0,1時不為零，其余都為零.則均勻場中有介質球殼情形的球殼中的電勢為

與上相同，仍取z=0的平面電勢為零，由式(34)、式(39)可得到球殼中的電勢為

(a≤r≤b) (40)

同理，式(28)可改寫為

(n=0,1,2,…) (r>b) (41)

再由式(34)知,式(41)中的求和只有當n=0,1時不為零，其余都為零.則均勻場中有介質球殼情形的殼外的電勢為

(n=0,1,2,…) (r>b) (42)

與上相同，仍取z=0的平面電勢為零，由式(34)、式(42)可得到給出球殼外的電勢為

(43)

式(37)、式(40)、式(43)給出的電勢分布與文獻[4]的結論完全相同.

2.4 均勻外電場中導體球殼的電勢分布

當εr=ε/ε0→∞時，介質球殼可看成導體球殼，由式(37)、式(40)、式(43)知處于均勻外電場中的導體球殼的內、中、外的電勢分別為

φ1=0 (r

(44)

φ2=0 (a≤r≤b)

(45)

(46)

綜上所述，點電荷與介質球、點電荷與導體球殼、均勻外電場中有介質球殼、均勻外電場中有導體球殼系統(tǒng)的電勢分布，都可由點電荷和介質球殼系統(tǒng)的電勢給出.因此對點電荷和介質球殼系統(tǒng)的電勢的計算具有普遍意義.

[1]王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論[M].北京:科學出版社，1965.240

[2]封小超.關于電勢零點選擇的幾個問題[J].大學物理，1986.5(7)：13

[3]李子軍,李根全,白旭芳.點電荷與介質球系統(tǒng)電勢的計算和討論[J].大學物理，2003，9(5)：11

[4]倪忠楚,邱荒逸.均勻外場中介質球殼的場分布[J].大學物理2006,25(4):5

TheElectricPotentialDistributionofPointChargeandDielectricSphereShellSystem

WANGShu-ping，F(xiàn)ANHong

(Hebei Institute of Architecture and Civil Engineering,Zhangjiakou,075000)

The electric potential distribution of point charge and dielectric sphere shell system is calculated by using the separation variable method,and someuseful calculations are presented as well.

point charge;medium shell;electric potential;method of images

2016-12-08

王樹平(1977-)，男，副教授，張家口，075000

10.3969/j.issn.1008-4185.2017.03.028

O441.4

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