C*代數值b-度量空間上的一個不動點定理

麻振華 冀 凱 孫志田 趙麗娟 謝 聰

(河北建筑工程學院數理系，河北 張家口 075000)

C*代數值b-度量空間上的一個不動點定理

麻振華 冀 凱 孫志田 趙麗娟 謝 聰

(河北建筑工程學院數理系，河北 張家口 075000)

在C*代數值度量空間基礎上給出了C*代數值b-度量空間上的一個不動點定理.此定理推廣了一般b-度量空間中的相關定理.

C*代數值b-度量空間；壓縮映射；不動點定理

1 引言與基本概念

2014年麻振華等人推廣了一般度量空間和b-度量空間，分別稱之為C*代數值度量空間[1]和C*代數值b-度量空間[2]，并在這兩類度量空間中分別給出了一些不動點定理.本文在文獻[1]和[2]的基礎上給出了C*代數值b-度量空間中的一個不動點定理，此定理推廣了一般b-度量空間的相關定理.

我們先回顧與本文有關的概念.

本文中，我們始終用A表示具有單位元I的單位C*代數.令Ah={x∈A∶x*=x}.我們稱x∈A為正元(記為x≥θ)，如果x∈Ah且σ(x)?R+=[0,∞)，其中σ(x)為x的譜.正元自然具有偏序關系“≤”如下：x≤y當且僅當θ≤y-x，其中θ為A中的零元.分別記A+{x∈A∶x≥θ}，|x|2=x*x，A′={a∈A∶ab=ba}.有關算子代數知識可見文獻[5,6].

定義1[2]設X是非空集合，B為C*代數A中滿足B≥I且屬于A′的元素.若映射d∶X×X→A滿足以下三個條件：

(1)d(x,y)為正算子，即d(x,y)≥θ(?x,y∈X)且d(x,y)=θ?x=y；

(2)d(x,y)=d(y,x)(?x,y∈X)；

(3)d(x,y)≤B[d(x,z)+d(z,y)](?x,y,x∈X).

則稱d是X上的C*代數值b-度量，稱(X,A,d)是C*代數值b-度量空間.

定義2[7]設(X,A,d)為C*代數值b-度量空間,{xn}?X及x∈X.

3)稱(x,A,d)為完備的C*代數值b-度量空間，如果任何柯西列均收斂.

2 主要結果

證明：任取x0∈X，作迭代序列xn+1=Txn=…=Tn+1x0,(n=0,1,2,…).注意到在C*代數A中,若a,b∈A+且a≤b，則對任意x∈A都有x*ax和x*bx都是正算子且x*ax≤x*bx[6]，為方便起見，本文中記B0=d(x1,x0).因此

從而對?m,p≥1，

又由于φ的連續(xù)性，當n→∞時

所以x*∈X為不動點.

下證不動點的唯一性.如果y*∈X也為T的不動點，即Ty*=y*.則由定理條件可得

θ≤d(x*,y*)=d(Tnx*,Tny*)≤φn(d(x*,y*))→θ

所以，d(x*,y*)=θ，故x*=y*，即不動點唯一.

[1]Ma,ZH,Jiang,LN,Sun,HK.C*-Algebras-valued metric spaces and related fixed point theorems.Fixed Point Theory and Applications.2014,206(2014)

[2]Ma,ZH,Jiang,LN.C*-Algebras-valued b-metric spaces and related fixed point theorems.Fixed Point Theory and Applications.2015,222.

[3]DOUGLAS R G.Banach Algebra Techniques in Operator Theory[M].New York:Springer,1998：80～83

[4]Murphy,GJ.C*-Algebras and Operator Theory.Academic Press,London(1990)

[5]許全華，吐爾德別克，陳澤乾.算子代數與非交換Lp空間引論[M].北京：科學出版社，2010：1～22

[6]GERARD J M.C*-algebra and operator theory[M].American:Academic press,inc,1973：77～87

AFixedPointTheoremofC*algebra-Valuedb-MetricSpace

MAZhen-hua,JIKai，SUNZhi-tian,ZHAOLi-juan，XIECong

(School of Mathematics and Physics,Hebei University of Architecture,Zhangjiakou 075000,China)

Based on the concept of C* algebra-valued metric spaces,a fixed point theorem of C* algebra valued b-metric space is given in this paper.This theorem generalizes the related theorems in general b-metric spaces.

C*-algebra-valued b-metric spaces;contraction map;expansive map

2017-03-20

河北省教育廳青年基金項目(QN2016191),河北建筑工程學院青年基金項目(QN201411)

麻振華(1981-)，男，副教授.

10.3969/j.issn.1008-4185.2017.03.029

O177.92

A