基于高端復合人才培養(yǎng)目標探索線性代數(shù)教學改革

李冬果，高 磊，鄭文新，李 林

首都醫(yī)科大學生物醫(yī)學工程學院（北京 100069）

為適應我國社會主義現(xiàn)代化建設和衛(wèi)生事業(yè)發(fā)展需要、滿足社會對拔尖創(chuàng)新醫(yī)學人才的需求，首都醫(yī)科大學自2021 年開始創(chuàng)辦臨床醫(yī)學、口腔醫(yī)學專業(yè)學術學位博士水平的專業(yè)教育（簡稱階平班），旨在培養(yǎng)具有獨立從事科學研究與創(chuàng)新能力、創(chuàng)造性和國際視野、未來具有推動和引領醫(yī)學發(fā)展的臨床醫(yī)學高端復合型人才[1]。其特殊定位要求學生在本科階段獲得扎實的數(shù)理基礎和學習數(shù)理知識的能力，同時基本運算、抽象思維、邏輯推理及解決實際問題的能力也能得到系統(tǒng)的培養(yǎng)，使學生了解數(shù)學方法與數(shù)學建模技術在生物醫(yī)學中的應用，為后續(xù)課程的學習和將來從事的醫(yī)藥臨床或科研工作奠定數(shù)學基礎。

首都醫(yī)科大學階平班的培養(yǎng)模式有別于國內外同樣定位的專業(yè)培養(yǎng)，即高中起點的具備臨床專業(yè)水平、博士科學學位八年制教育。因此探索符合培養(yǎng)目標需求的人才培養(yǎng)體系對于醫(yī)學教育改革至關重要。線性代數(shù)作為大學數(shù)學的主干課程，在課程內容、教學模式與方法等方面的改革面臨全新的挑戰(zhàn)。本研究基于先前的醫(yī)用高等數(shù)學教育與研究[2-4]，依據(jù)階平班的培養(yǎng)目標和計劃，對線性代數(shù)課程教學模式進行初步探索，并對教學理念和教學方法開展相關教學實踐。

1 線性代數(shù)課程在專業(yè)培養(yǎng)目標中的功能定位

階平班臨床醫(yī)學專業(yè)的培養(yǎng)目標定位于“具有獨立從事科學研究工作的能力，創(chuàng)造性地研究和解決本學科中的有關理論和實際問題；在科學或專門技術上做出創(chuàng)造性的成果”“具有為新知識產(chǎn)生、新技能的發(fā)現(xiàn)做出貢獻的意識”[1]?；诖舜_定線性代數(shù)的課程教學目標，分為知識目標、能力目標和素質目標。知識目標中明確了基本概念、基本理論等教學內容的深度和廣度，要求學生理解和掌握線性空間理論、線性空間上的線性映射及線性變換理論，以及矩陣空間的基本理論等。能力目標要求培養(yǎng)學生基本運算、抽象思維、邏輯推理，以及能夠綜合運用所學知識分析和解決實際問題的能力。素質目標要求學生了解數(shù)學思維與數(shù)學方法在生物醫(yī)學中的應用，并通過在教學中融入適當?shù)乃颊?，幫助學生樹立正確的價值觀，提升民族自豪感的同時，使學生認識到要成為對國家、對社會有用之才必須要學好、用好數(shù)學。

2 線性代數(shù)課程教學內容

北京大學丘維聲教授在其編著的《簡明線性代數(shù)》中指出：“線性代數(shù)是研究線性空間與線性映射的理論，它的初等部分是研究線性方程組和矩陣”[5]。國內外許多線性代數(shù)教材就基本內容而言，差異不大，都是以線性方程組為主線，以矩陣和向量為工具，來闡明線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法[5-7]。依托這些教材，線性代數(shù)課程教學直接從行列式或矩陣入手，以線性方程組的消元法為引例，直接給出行列式和矩陣這兩個概念及其運算。那么行列式和矩陣的本質究竟是什么？行列式為什么會有如此“怪異”的計算規(guī)則？矩陣的乘法規(guī)則為什么如此規(guī)定？為什么這樣一種“怪異”的乘法規(guī)則卻能夠在實踐中發(fā)揮如此巨大的功效？行列式與其對應的方陣本質上又是什么關系？特征值和特征向量定義中為什么單一數(shù)λ 的效應等同于一個諾大的矩陣效應？這些問題對于學生而言是晦澀難懂的抽象概念、復雜的公式和難以理解的定理及其證明，學生只是被動地記憶理解，而無法領略線性代數(shù)內涵的美妙、和諧與統(tǒng)一，導致課程教學效果不理想。正如瑞典數(shù)學家Lars Garding 在其名著EncounterwithMathematics中提到：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學習自然科學，現(xiàn)在看來就和文盲差不多”[8]。因此，學生學習中已存在的問題成為線性代數(shù)課程教學內容改革的直接動因。

2.1 以線性空間為主線設置教學內容的必要性與可行性

目前高等學校非數(shù)學類專業(yè)較少接觸現(xiàn)代數(shù)學，而數(shù)學課程的主要內容基本上都是17—18世紀變量數(shù)學時期奠定的[9-10]。在本科階段引入現(xiàn)代數(shù)學是非常好同時又極具挑戰(zhàn)的事情。階平班是一個特殊的群體，肩負著特殊的使命，在其基礎教育階段盡可能地引入現(xiàn)代數(shù)學思想。但在教學內容設置和教學過程中要創(chuàng)造性地解決現(xiàn)有問題也將面臨諸多困難。在面向醫(yī)學生開設的線性代數(shù)課程傳統(tǒng)教學內容中，設置一部分自學內容，同時引入現(xiàn)代數(shù)學思想，即以線性空間為主要內容的系列知識群構建教學內容有必要而且可行。

依據(jù)首都醫(yī)科大學階平班培養(yǎng)目標，在選擇教學內容和實施教學時應注意教學內容對學生而言應該是全新的。線性代數(shù)中的矩陣、線性方程組其實都不滿足這一點。對學生而言，具有對新概念逐步發(fā)展的思路建立在集合論基礎上的線性空間這一核心概念，及基于此概念上建立的新知識，是全新的且高度抽象，頗具現(xiàn)代數(shù)學思想的內容，這契合階平班定位[11]。因此，以線性空間為主線設置教學內容是可行的。在本科階段第一學期設置48 學時線性代數(shù)課程，開展以線性空間系列知識群為主要內容的嘗試，是對線性代數(shù)課程教學與學習的挑戰(zhàn)。概念抽象、計算偏少、邏輯推演較多、習題例題較少是其特點。根據(jù)階平班基礎課教學要求，注重獨立思考及邏輯推理，推行部分基礎內容通過自學習得，減少習題訓練，課上教師只講授重難點、預留師生互動環(huán)節(jié)，加強拓展性問題思考與解答，課下全方位全時段采用線上（微信）和線下面對面方式，針對學生感興趣的問題和疑惑進行討論、答疑互動。因此，以線性空間為主線的教學內容設置和相應的教學方法改革與階平班的教學要求是契合的。

2.2 以線性空間為主線設置教學內容的策略

結合階平班學生的實際狀況，探索一條以線性空間為主線的線性代數(shù)課程體系、并在有限時間內完成教學實踐是一種挑戰(zhàn)。本研究采取的教學內容設置策略主要考慮了以下兩方面：（1）涵蓋目前線性代數(shù)課程的基本內容。根據(jù)教學大綱，按照課程目標將教學內容分為包含重難點的講授內容、包含一般知識點和計算技能的學生自學內容以及課下探索延伸性內容三個層面。例如向量、矩陣代數(shù)運算、線性方程組的求解等為自學內容，線性空間、向量線性關系、基底與坐標、線性變換及其矩陣表示等為講授內容，將矩陣的有關應用作為探索延伸性內容。（2）注重線性空間系列知識群的展開，適當植入重要知識點。首先，注重線性空間概念的發(fā)展及系列概念的內在邏輯[12]。從直觀的三維幾何空間出發(fā)，依據(jù)幾何向量的運算及關系、坐標向量等發(fā)展一般線性空間，由向量的線性關系到線性空間的基底與維數(shù)；由幾何空間中幾何向量的長度、夾角，到內積及歐氏空間；標準正交基構建，由基底與基底的關系以及幾何上點與點之間運動，引出線性映射與線性變換理論；基于線性變換理論，給出矩陣空間理論。其次，為深入理解概念，重視概念與基本結論的幾何意義。線性代數(shù)課程的一個突出特點是定義定理的抽象性，借助定義定理的幾何意義，能夠幫助學生更好地理解定義定理的內涵。如圖1 所示，如何定量描述線性變換對空間給定區(qū)域面積的影響？這便是行列式所能解決的，由此承上啟下自然引出行列式理論。在給出三階行列式的定義時，結合三階行列式的幾何意義如圖2 所示，三維空間中以行向量張成空間中的平行六面體的體積，更好地幫助學生理解三階行列式的定義。

圖1 線性變換對空間給定區(qū)域面積的影響Figure 1. Influence of linear transformation on the area of a given region of space

圖2 三階行列式幾何意義Figure 2. Geometric significance of third-order determinants

3 以線性空間為主線進行教學內容改革的實踐

本研究以首都醫(yī)科大學臨床醫(yī)學及臨床口腔專業(yè)階平班為載體開展教學實踐，采用課堂教師授課和課下學生自學相結合的形式完成了兩輪教學過程。

基于講授的知識點，教師提前給學生提供課前預習提綱和相關問題，使學生帶著問題進入課堂，提高學生自主學習的能力。例如，對矩陣的初等變換知識點，設置“線性變換在一組基下可以用一個矩陣來表示，那么矩陣的初等變換對應于線性變換的什么呢？它要解決的是什么問題？”；對線性方程組的求解這個知識點，設置“線性方程組的常數(shù)項為零是齊次方程組，不為零就不是齊次方程組，如何理解齊次這個概念？”。

為解決概念的高度抽象性問題，在課堂教學過程中注重講解概念的幾何意義，強調具體背景、具體實例引出抽象的概念。例如，在講授特征值理論時，先設置一個拋磚引玉問題：“如果矩陣對某一個向量或某些向量只發(fā)生伸縮變換而不產(chǎn)生旋轉的效果，會是什么情況、有什么意義？”，引導學生從矩陣的可逆性、秩及初等變換的結果等矩陣的代數(shù)性質進行思考，過渡到“矩陣的幾何特性會是什么？”，從而引出特征值與特征向量概念Ax=λx，并結合幾何意義幫助學生更好地理解和掌握該概念，進一步通過圖片壓縮具體實例闡述特征值與特征向量在圖像處理方面的應用。

在教學中提出探索延伸性問題。例如，作為代數(shù)求解特征值和特征向量問題的延伸，提出探索延伸性問題：“Householder 變換原理及其在特征值計算中的應用”。學生利用課后時間，通過文獻學習形成研究性報告，進一步加深對特征值和特征向量的理解。

將課堂教學與課后全時段全方位的討論、答疑互動融合為階平班線性代數(shù)教學新模式。各班建立交流學習群，學生可以隨時就學習中的問題在群里展開討論，老師也可以給出提示由學生解答，在這個過程中學生探索新知識、解決問題的能力可以得到很大提升。

4 課程學習效果評價

對于課程學習效果的評價，強調以學生為中心，重視過程性考核[13]。研究人員在期末對臨床醫(yī)學及臨床口腔專業(yè)階平班2022 級線性代數(shù)教學班的49 名同學進行問卷調查，問卷包括20 個條目，其中12 個條目為單選題，8 個條目為多選題，內容涉及課前預習情況、課后自主學習情況、教學內容設置的難易程度、結構性學習方式的設置比例、課程學習效果及對引入探索性問題形成研究報告的可行性等。

共發(fā)放49 份問卷，回收率100%。調查結果見表1，對于教學內容設置的難易程度，10.20%的同學表示全部能理解，26.53%的同學表示大部分能理解，只有18.37%的同學表示對大部分內容不能理解；53.06%的同學認為引入探索性問題形成研究報告對教學效果非常有幫助，36.74%的同學認為比較有幫助；對于每周課后用于復習和自主學習的時間，超過6 小時的占4.08%，5～6小時的占2.04%，3～4 小時的占48.98%，1～2 小時的占44.90%。

表1 教學效果問卷調查結果（n=49）Table 1. Results of questionnaire survey on teaching effect (n=49)

5 結語

本研究基于高端復合人才培養(yǎng)目標，對線性代數(shù)課程教學模式的改革進行探索，并開展相關教學實踐，從課程定位的確立、教學大綱的制定、教學方案的設計，到具體的教學實踐，積累了一些經(jīng)驗，取得了一定成效，可為構建符合培養(yǎng)目標需求的人才培養(yǎng)體系提供借鑒。

在全面推進“新工科”“新醫(yī)科”建設和課程思政的背景下，在信息技術持續(xù)深入到教學全過程的形勢下，基礎課程教學內容、教學模式與考核方法面臨全新的挑戰(zhàn)。在教學實踐中，強化“引學”“導學”，將課堂由“老師講授”轉變?yōu)椤巴瑢W提問+教師解答的互動”，將課下被動做題轉變?yōu)樽⒅卣{動學生自主獲取知識與技能的能動性、綜合培養(yǎng)學生的創(chuàng)新、思辨和語言能力的自學、師-生與生-生之間的互動，將基本計算能力訓練與相關計算軟件操作技能融合起來，將傳統(tǒng)單一的閉卷考試轉變?yōu)樾问蕉鄻拥目己嗽u價方法，還有許多教學課題亟待持續(xù)研究與實踐。