從否認到確認、從表面到本質、從個別到一般
——以“平行四邊形的面積”的教學為例

□江 燕 郜舒竹

本刊上一期刊登的《“平行四邊形的面積”教學中的問題分析》［1］一文指出，有關“平行四邊形的面積”的教學，常常存在以下問題：教師只重視學生對“平行四邊形的面積=底×高”的確認，忽視學生在“長方形面積等于相鄰兩邊長度乘積”圖式影響下形成的“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯誤的否認；教學只強調利用轉化將平行四邊形變?yōu)殚L方形來推導和記憶面積公式，忽視引導學生對圖形面積測量本質的理解、對轉化行為背后原因的探究以及對計算方法實質的認識；教材只針對一個平行四邊形采用一種剪拼方式將其轉化為長方形，根據(jù)“長方形的面積=長×寬”得出“平行四邊形的面積=底×高”的結論，忽視學生構建多種轉化方式的可能性和對結論合理性的質疑。

基于此，學生會形成“只知道是什么，不知道不是什么”的單一思維，“知其表面，不知其本質”的淺層思維，以及“離開公式算不來，沒有數(shù)據(jù)算不出”的固有思維，從而導致對內容的理解模糊不清、對方法的遷移無能為力。因此，與平行四邊形的面積相關的認知活動不應該只是對公式的推導、運用和記憶，更應該注重對圖形本質及其關系的理解和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，是“從否認到確認、從表面到本質、從個別到一般”的認知過程。

一、從否認到確認

人在認識和了解陌生事物時，會無意識地運用已有的經驗。由于個體與生俱來的主觀差異性，不同的個體對同一經驗會形成不同的認識和理解，在經驗的影響下，對陌生事物的認識和理解也會有所不同，既包括積極的正見，也包括消極的誤解。因此，人在承認和確認陌生對象“是什么”的同時，也應對其“不是什么”進行否認和篩選。同理，對“為什么是”的解釋和對“為什么不是”的解讀之間也應存在共生與并存的關系。只有排除了可能性中的“不是”，才能真正相信并確定“是什么”以及“為什么是”。所以，指向學生認知的課程教學，不僅要有“是什么”和“為什么是”的學科邏輯，還要有“如何知道并相信”的認知邏輯，即一種“從否認到確認”的認知過程。這樣的認知過程可以概括為“枚舉—否認—承認—確認”的基本框架（如圖1）。

圖1“從否認到確認”認知框架示意圖

●枚舉：根據(jù)學生已有經驗枚舉“可能是什么”。

●否認：通過對諸多可能性進行比較篩選，得到“不可能或不應當是什么”。

●承認：在篩選的基礎上承認“應當是什么”。

●確認：在承認的基礎上進一步證實并確認“一定是什么”。

這樣的認知過程遵循的思維邏輯是“為知是什么，先知不是什么”，強調否認是承認與確認的前提，對“是”的承認與確認需要經歷對“不是”的否認。［2］

以“平行四邊形的面積”為例，學生已經知道“長方形的面積=長×寬”，基于長與寬之間的垂直關系可能得出“平行四邊形的面積=底×高”的猜想（以下簡稱“可能性1”）。同樣，學生在長和寬是相鄰關系的影響下也會形成“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的猜想（以下簡稱“可能性2”）。對于這兩種可能性，實際教學時教師往往傾向于對可能性1 的承認和確認，忽視對可能性2 的否認。這使得學生在知道平行四邊形的面積是“底和高的乘積”時，仍對“為什么不是相鄰兩邊長度乘積”存有疑問。所以，若想承認并確認“平行四邊形的面積=底×高”，在此之前要先讓學生經歷對“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的否認。那如何引導學生經歷這一否認過程呢？教師可以采用逆向推理的方式：若平行四邊形和長方形的面積都可以用“相鄰兩邊長度乘積”進行計算，那么“對應邊長度相等的長方形和平行四邊形的面積一定相等”。因此，要完成對“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的否認，學生需明確“對應邊長度相等的長方形和平行四邊形的面積不相等”。具體到教學實踐中，可以通過下面的數(shù)學活動來實現(xiàn)。

●數(shù)學活動：給定鄰邊長度，盡可能多地畫出符合要求的長方形和平行四邊形。

在數(shù)學活動中，學生可以通過畫一畫發(fā)現(xiàn)，給定相鄰兩邊長度只能畫出一個長方形，卻可以畫出無數(shù)個平行四邊形，從而認識到：當長方形相鄰兩邊長度確定時，長方形的形狀和面積唯一確定；而當平行四邊形相鄰兩邊長度確定時，平行四邊形的形狀和面積都不能確定（如圖2）。因此，對應邊長度相等的長方形和平行四邊形的面積并不相等。

圖2 長方形旋轉為平行四邊形示意圖

實際上，這里采用了一種“從給定到確定”的推理方式，這種方式建立了一種從原因到結果的因果關系。比如對長方形而言，若只給定長或寬其中之一，長方形的面積是無法確定的；若同時給定長和寬，此時長方形的形狀和面積大小存在且唯一。這表明長方形的面積是因長和寬的同時給定而確定的，即它的面積由長和寬的長度共同決定。［3］而對平行四邊形而言，同時給定相鄰兩邊長度，平行四邊形的形狀和面積存在但并不唯一，也就是說，它的面積不由相鄰兩邊長度共同決定。因此，學生就可以確認“對應邊長度相等的長方形和平行四邊形的面積并不相等”，進而實現(xiàn)對“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的否認，為“平行四邊形的面積=底×高”的承認和確認提供前提。

二、從表面到本質

“從表面到本質”是一種“知道是這樣，還要知道為什么是這樣”的認知過程，在數(shù)學教學中則體現(xiàn)為既要知道知識是什么，還要知道知識的生成過程，即要深入理解知識的本質及其產生的原因，不能停留在表面的認知上。小學階段與面積測量和計算有關的內容，重視公式的推導、記憶和應用，忽視對面積度量本質及意義的理解。然而，度量是數(shù)學的本質，是人們創(chuàng)造出來認識數(shù)學、認識現(xiàn)實世界的工具。［4］面積度量的實質是面積單位的累加，也就是測量圖形包含了多少個面積單位。所以，面積單位的累加才是面積測量的本質，而各類面積計算公式只是對面積測量方法的描述。教學時，教師應從注重計算方法轉向注重度量單位，超越知識表面，直擊知識本質，讓學生“知其然知其所以然”。

“云上交通遨碧空，峻嶺險峰飄彩虹。磅礴烏蒙通天路，沖破關山萬千重?！碑吂?jié)的交通建設，腳踏實地蹄疾步穩(wěn)，一個腳印一支歌。

從“平行四邊形的面積”的教學來看，部分教師摒棄“數(shù)方格”法，直接通過“分、移、補”活動將平行四邊形轉化為長方形，然后根據(jù)原有平行四邊形和轉化后長方形之間的對應關系，結合“長方形的面積=長×寬”推導出“平行四邊形的面積=底×高”。這種“只談是什么，不談為什么”的教學，忽視了對轉化目的及知識本質的探究，使得學生對平行四邊形面積的理解僅僅停留在公式推導上，不能真正理解圖形面積的實質是面積單位的累加，而將平行四邊形轉化為長方形這一行為的目的是實現(xiàn)面積單位的密鋪。事實上，基于面積單位的密鋪，學生可以通過“數(shù)方格”法數(shù)出“行數(shù)”和“列數(shù)”，再根據(jù)“行數(shù)×列數(shù)”的方法直接計算出平行四邊形所含面積單位的個數(shù)，從而認識到“平行四邊形的面積=底×高”的本質是數(shù)面積單位。

因此，“平行四邊形的面積”的教學需要實現(xiàn)以下目標：理解面積度量的本質是面積單位的累加；理解將平行四邊形轉化為長方形是為了實現(xiàn)面積單位的密鋪；明確面積單位密鋪中“列數(shù)”“行數(shù)”與平行四邊形的“底”“高”之間的關系。針對上述教學目標，學生需要經歷以面積單位度量圖形面積的過程，探究平行四邊形的面積不能用“數(shù)方格”法直接數(shù)出的原因，思考解決問題的辦法，構建對象間的聯(lián)系。具體到教學實踐中，可以開展下面兩個數(shù)學活動。

●數(shù)學活動1：結合方格圖，解釋“長方形的面積=長×寬”。

●數(shù)學活動2：在方格紙上數(shù)出給定長方形和平行四邊形的面積。

在數(shù)學活動1 中，學生經歷借助方格（面積單位）解釋長方形面積計算公式的過程，明白可以用“行數(shù)×列數(shù)”的乘法計算面積單位的個數(shù)，即“長×寬”的本質是數(shù)面積單位?；谶@樣的認識，學生對圖形面積的理解不再停留在淺層的“計算方法”層面，而是發(fā)展到深層的“度量本質”層面，即圖形面積的度量就是測量圖形所包含的面積單位的個數(shù)，可以用“行數(shù)×列數(shù)”計算得到。在數(shù)學活動2中，學生通過“數(shù)方格”法，發(fā)現(xiàn)能直接數(shù)出長方形的面積，卻不能直接數(shù)出平行四邊形的面積。由此，學生會產生“為什么長方形的面積可以直接數(shù)出，而平行四邊形的面積不能直接數(shù)出”的認知沖突。在這種認知沖突中，學生能夠認識到長方形所包含的方格都是“整格”，而平行四邊形包含的方格既有“整格”的，也有“不滿一格”的，只有被面積單位密鋪的圖形，才能利用“數(shù)方格”法直接數(shù)出它的面積。那如何實現(xiàn)“圖形被面積單位密鋪”呢？學生會想到用剪拼方式將“不滿一格”的方格拼成“整格”，并發(fā)現(xiàn)所有“湊整”方法中，將“平行四邊形轉化為長方形”這種方法最為簡便。自此，轉化這一方法被自然而然地引入，其實質是“實現(xiàn)面積單位的密鋪”。與此同時，學生將平行四邊形轉化為長方形后，可以借助方格紙，利用“行數(shù)×列數(shù)”計算出平行四邊形所包含的面積單位的個數(shù)，即平行四邊形的面積。接著，通過觀察圖形，建立“行數(shù)”與“高”、“列數(shù)”與“底”之間的聯(lián)系，從本質上解釋平行四邊形的面積為什么是“底×高”。

三、從個別到一般

小學數(shù)學的內容依據(jù)其作用可以分為規(guī)律性知識、規(guī)則性知識和規(guī)定性知識三類。其中，規(guī)律性知識是對數(shù)學中某種客觀規(guī)律的描述。比如“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，它所反映的是三角形的三條邊之間的內在聯(lián)系，是三角形的自然屬性，平面上任意一個三角形都具有這種屬性。這類知識反映的是客觀事實，具有較強的客觀性。正是這樣的客觀性，決定了此類知識對學習者來說具有“確定性”，不以人的意志為轉移。［5］認識規(guī)律性知識的基本活動是“發(fā)現(xiàn)”，強調對具體對象及其關系進行觀察和比較，找到制約這些現(xiàn)象及關系的確定性因素，進而通過歸納和解釋確定具有普遍性的規(guī)律，并對規(guī)律進行推廣和應用。［6］這樣的過程屬于“從個別到一般”的認知過程，是在對多個對象及其關系認知和理解的基礎上獲得適用于同類事物的一般性結論的過程，是一種“注重結論或規(guī)律普適性”的認知方式。這樣的認知過程和方式可以概括為“形成猜想—驗證猜想—得出結論”的基本框架（如圖3）。

圖3 “從個別到一般”認知框架示意圖

●驗證猜想：在經歷多個對象或尋求多種證據(jù)的基礎上證明“假設的合理性”。

●得出結論：在對猜想進行驗證的基礎上得出“一定是什么”的結論。

這一認知過程遵循的思維邏輯是“基于個別對象認為應該是什么，結合多個同類現(xiàn)象或證據(jù)進行合理性證明，得出一定是什么”，強調基于多種對象對猜想的合理性進行證明，以獲得一般性結論。

“平行四邊形的面積”這一內容反映的是平行四邊形的面積大小與其內部關鍵因素（底和高）間的相互依賴與制約的關系，不以人的意志為轉移，是對客觀規(guī)律的描述，屬于規(guī)律性知識。對于這一知識內容的教學，教科書先從一個“形內高”平行四邊形中沿著高分出一個直角三角形，然后把這個直角三角形移動到另一側，補齊成為長方形，最后結合長方形的面積計算方法推導出“平行四邊形的面積=底×高”。這樣的設計沒有讓學生經歷由個別到一般的過程，他們無法真正認同結論的有效性并認識轉化方法的多樣化?；诖?，教學時需要實現(xiàn)以下目標：1.構建多種轉化方式，異中求同，發(fā)現(xiàn)共性；2.證明任意平行四邊形的面積都可以用“底×高”計算。對于目標1，學生需要進行自我構建，即用盡可能多的剪拼轉化方式將平行四邊形變?yōu)殚L方形，并對多種方式進行觀察與比較，發(fā)現(xiàn)其關鍵屬性。針對目標2，學生要在目標1 的基礎上建立對象間的聯(lián)系，即利用轉化后面積相等、對應邊長度相等（長=底、寬=高），結合“長方形的面積=長×寬”推導出“平行四邊形的面積=底×高”，同時經歷借助多種材料或多個對象完成對“平行四邊形的面積=底×高”這一假設的驗證過程。具體到教學實踐中，可以通過下面兩個層次的活動來實現(xiàn)。

數(shù)學活動1：在方格紙上數(shù)出平行四邊形的面積。

數(shù)學活動2：在方格紙上畫出任意三個不同形狀的平行四邊形，利用數(shù)學活動1中得出的規(guī)律計算其面積，并通過數(shù)一數(shù)進行驗證。

在數(shù)學活動1中，學生面對用“數(shù)方格”法不能直接數(shù)出平行四邊形的面積的情況，經歷用剪拼的操作將平行四邊形變?yōu)殚L方形的轉化過程，通過自我構建、全班交流等形式感受轉化方式的多樣化。同時，通過對多種轉化方法的觀察和比較，發(fā)現(xiàn)這些轉化方式的關鍵屬性是沿著平行四邊形的高進行剪拼（如圖4），這樣才可以保證轉化后的圖形為長方形。最終，結合對圖形轉化的觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并猜測計算方法為“平行四邊形的面積=底×高”。

圖4 平行四邊形剪拼成長方形示意圖

在數(shù)學活動2 中，學生利用數(shù)學活動1 得出的計算方法“平行四邊形的面積=底×高”計算三個不同形狀的平行四邊形的面積，同時借助“數(shù)方格”法數(shù)出它們的面積，然后根據(jù)兩種方法所得到的面積數(shù)之間的等價關系來說明計算方法的合理性，進而得出“任意平行四邊形的面積都等于底和高的乘積”的一般性結論。

“從否認到確認、從表面到本質、從個別到一般”作為一種“如何知道、知其本質、重視發(fā)現(xiàn)”的認知過程，強調學生在接觸新知識時要保持懷疑的態(tài)度，在經歷“為什么不”這樣證偽的思維過程后逐漸從否認轉向確認，發(fā)展學生的批判性思維；鼓勵學生超越表面現(xiàn)象，深入挖掘知識內容的本質規(guī)律和基本原理，使學生更好地理解數(shù)學概念的本質和內涵，掌握其應用方法，并在更高層次上運用數(shù)學知識解決問題；重視學生對多個對象及其關系的觀察和對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生的觀察能力和規(guī)律性思維。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》強調：數(shù)學課程要培養(yǎng)學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。因此，數(shù)學課程及教學應融入“從否認到確認、從表面到本質、從個別到一般”的認知過程，讓數(shù)學學習成為在多種可能性中進行比較和篩選的過程，成為“知其然知其所以然”的過程，成為基于知識內容及其關系發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，真正落實對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。