計(jì)算教學(xué)中的“算理”與“算法”

□鄭 霞 俞正強(qiáng)

近二十年來(lái)，計(jì)算教學(xué)越來(lái)越重視算理的教學(xué)，目的是讓學(xué)生在“知其然”的基礎(chǔ)上“知其所以然”。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師漸漸形成了這樣一種認(rèn)識(shí)：每一種運(yùn)算算法背后都有一種算理。但在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘除法”時(shí)，幾乎所有教師都會(huì)產(chǎn)生這樣的困惑：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理要怎么講呢？分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)呢？對(duì)此，筆者試著從個(gè)人理解及教學(xué)實(shí)踐出發(fā)談一些看法。

一、算理與算法

首先，何為算理？何為算法？為了便于討論，以“同分母分?jǐn)?shù)加減法”為例進(jìn)行說(shuō)明。

接著進(jìn)一步分析算理的基礎(chǔ)。算理的基礎(chǔ)包含數(shù)的意義與運(yùn)算的意義。數(shù)的意義就是與所表示的意義，即“把一個(gè)整體平均分成8份，取其中的1份和2份”，結(jié)果分別是1個(gè)和2個(gè)；而作為加法運(yùn)算，其運(yùn)算的意義是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。據(jù)此形成得的理由，這個(gè)理由就稱之為算理。依據(jù)同分母分?jǐn)?shù)加法的算理，可以解決的計(jì)算問題，得到的正確結(jié)果為

那么算法呢？算法主要是指計(jì)算的法則，是簡(jiǎn)化了復(fù)雜的思維過(guò)程，添加了人為規(guī)定的程式化的操作步驟，解決如何算得方便、準(zhǔn)確的問題。

綜上所述，算理解決為什么這樣算的問題，算法解決如何算得快的問題，計(jì)算教學(xué)的目標(biāo)就是要算得又對(duì)又快。厘清了加法的算理與算法之后，可以用同樣的方法厘清減法、乘法、除法的算理與算法，它們都是相同計(jì)數(shù)單位的合與分。

二、混合運(yùn)算中的算理

在小學(xué)階段，計(jì)算教學(xué)涉及加、減、乘、除四種運(yùn)算，統(tǒng)稱為四則運(yùn)算。一個(gè)式題里，如果含有加、減、乘、除四種運(yùn)算中任意兩種或兩種以上的運(yùn)算，這個(gè)式題就稱為四則混合運(yùn)算式題。那么，四則混合運(yùn)算有沒有自己的算理呢？

計(jì)算：5+7+6。

算理：5個(gè)“一”與7個(gè)“一”合在一起，再與6個(gè)“一”合并，結(jié)果是18個(gè)“一”，就是18。

算法：從左到右依__次__計(jì)__算__。__

這樣看來(lái)，這類運(yùn)算算理的基礎(chǔ)還是數(shù)的意義與運(yùn)算的意義。那么算法呢？

計(jì)算：5+7×6。

算理：5個(gè)“一”與6個(gè)7（42個(gè)“一”）合并，結(jié)果是47個(gè)“一”，就是47。

算法：先乘除___后__加__減__。_

在這個(gè)四則混合運(yùn)算中，包含運(yùn)算的意義之間的一個(gè)“理”，即先特殊后一般。事實(shí)上，四則混合運(yùn)算的四個(gè)運(yùn)算的意義可以分為兩組：加法與乘法為一組，減法與除法為一組。加法是統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的“合”，乘法則可以看作“合”中的一種特殊情況，乘法是一種連續(xù)合并，并且每次合并的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)一樣多，即幾個(gè)幾相加，稱之為“等合”。同理，減法是統(tǒng)一計(jì)數(shù)單位的“分”，除法可以看作“分”中的一種特殊情況，除法按照同樣多的計(jì)數(shù)單位“分”，即多少里面有幾個(gè)幾，稱之為“等分”。

學(xué)生可以通過(guò)對(duì)事理的理解來(lái)理解算理。概言之，如果四則運(yùn)算中只有加減法或者只有乘除法時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)依次進(jìn)行計(jì)算；如果既有加減法又有乘除法時(shí)，則秉持“先特殊后一般”的順序進(jìn)行計(jì)算。那么，如果出現(xiàn)小括號(hào)、中括號(hào)等運(yùn)算符號(hào)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何處理呢？小括號(hào)和中括號(hào)是數(shù)學(xué)家發(fā)明出來(lái)，以解決特殊中出現(xiàn)更加特殊情況的方法。所以，當(dāng)四則運(yùn)算中出現(xiàn)括號(hào)時(shí)，學(xué)生可以依然遵循“先特殊后一般”的道理，先處理括號(hào)中的特殊情況，再依據(jù)先處理乘法或除法，再處理加法或減法的順序依次進(jìn)行計(jì)算。

三、分?jǐn)?shù)乘除法的算理

在討論分?jǐn)?shù)乘除法的算理之前，首先要明確一點(diǎn)：學(xué)生對(duì)算理的理解是基于整數(shù)運(yùn)算的條件形成的。乘法即等合，不斷地按相同的計(jì)數(shù)單位進(jìn)行合并，越合越多，所以乘法的運(yùn)算總是使結(jié)果變大；除法即等分，不斷地按相同的計(jì)數(shù)單位來(lái)分，所以除法的運(yùn)算結(jié)果總是越分越少。

這種關(guān)于乘除法的運(yùn)算觀念，卻在小數(shù)乘除法中第一次遇到挑戰(zhàn)。因?yàn)閷?shí)踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)乘一個(gè)比1小的數(shù)時(shí)，結(jié)果越乘越??；當(dāng)除以一個(gè)比1小的數(shù)時(shí)，結(jié)果卻越除越大。學(xué)生在整數(shù)運(yùn)算中形成的“積總是大，商總是小”的運(yùn)算觀念在小數(shù)運(yùn)算中被顛覆。

因?yàn)樾?shù)的計(jì)數(shù)原則與整數(shù)相同，所以小數(shù)乘除法可以依照整數(shù)乘除法的法則進(jìn)行計(jì)算，不同的是小數(shù)乘除法需要解決小數(shù)點(diǎn)的問題。因此，小數(shù)乘除法的算理并沒有給師生帶來(lái)困惑。然而，由于無(wú)法把分?jǐn)?shù)當(dāng)作整數(shù)，因而關(guān)于等合與等分的運(yùn)算意義給學(xué)生帶來(lái)了極大的困惑。下面結(jié)合分?jǐn)?shù)的一些類型進(jìn)行分析。

至此，關(guān)于分?jǐn)?shù)乘除法的算理受到了挑戰(zhàn)，教師感覺講不清楚，于是帶著學(xué)生畫圖。然而，教材中的畫圖只能說(shuō)明計(jì)算結(jié)果是對(duì)的，并不能改變學(xué)生心中對(duì)乘法與除法的運(yùn)算意義的理解。因此，畫圖不是在理解算理，只是說(shuō)明運(yùn)算結(jié)果對(duì)錯(cuò)的一種方式。

那么，如何講清分?jǐn)?shù)乘除法的算理呢？解決這個(gè)問題的關(guān)鍵在于理解“乘一個(gè)數(shù)等于除以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，或除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”這句話。這句話不是規(guī)律，也不是算法，它是理解運(yùn)算意義的一個(gè)節(jié)點(diǎn)。而對(duì)算理的理解以對(duì)數(shù)的意義與運(yùn)算意義的理解為基礎(chǔ)。

在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的理解有兩個(gè)十分關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)。其中一個(gè)節(jié)點(diǎn)在整數(shù)運(yùn)算中，也就是乘是相同計(jì)數(shù)單位的合，即所謂的等合；除是相同計(jì)數(shù)單位的分，即所謂的等分。在這個(gè)階段，乘是乘，除是除，是兩種不同的運(yùn)算。另一個(gè)節(jié)點(diǎn)便是在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中。在這個(gè)節(jié)點(diǎn)中，分?jǐn)?shù)本身是等分的結(jié)果，乘與除由此融合在了一起，即乘與除表達(dá)了同一個(gè)意思（如乘可以看作除以3，除以可以看作乘3）。因此，乘即除，除即乘；乘即等分，除即等合。

理解分?jǐn)?shù)乘除法的運(yùn)算的教學(xué)，不是每一種算法都講一個(gè)算理，分?jǐn)?shù)乘除法的算理始終是同一個(gè)，即等分與等合。因此，理解分?jǐn)?shù)乘除法的算理的教學(xué)，關(guān)鍵不是通過(guò)畫圖來(lái)理解分?jǐn)?shù)乘法或分?jǐn)?shù)除法，而是讓學(xué)生理解乘即除、除即乘的運(yùn)算意義，從而理解分?jǐn)?shù)乘除法的完整的運(yùn)算意義。

對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中經(jīng)常會(huì)編排初步認(rèn)識(shí)與再認(rèn)識(shí)兩個(gè)內(nèi)容（根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律，教材采用螺旋式的編排方式），如分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)與分?jǐn)?shù)的意義。事實(shí)上，乘除法的運(yùn)算意義也分為初步認(rèn)識(shí)和再認(rèn)識(shí)。即在整數(shù)運(yùn)算中有乘除運(yùn)算意義的初步認(rèn)識(shí)，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中有乘除運(yùn)算意義的再認(rèn)識(shí)。那么，如何進(jìn)行乘除運(yùn)算意義的再認(rèn)識(shí)呢？

對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法的運(yùn)算意義的再認(rèn)識(shí)需要從分?jǐn)?shù)的意義入手，具體教學(xué)過(guò)程如下。

呈現(xiàn)材料：把1平均分成兩份，每份是多少？

列式1：1÷2。

認(rèn)識(shí)：除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

進(jìn)一步認(rèn)識(shí)：在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，乘也可以表示等分，除也可以表示等合。

將這個(gè)分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算中的認(rèn)識(shí)，與整數(shù)乘除法運(yùn)算中的運(yùn)算意義疊加在一起，就形成了新的認(rèn)識(shí)：在整數(shù)乘除法運(yùn)算中，乘是等合，除是等分；在分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算中，乘也是等分，除也是等合。

有了這樣一個(gè)新的認(rèn)識(shí)之后，學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的算理便會(huì)簡(jiǎn)單得多。如可以看作把平均分成5份可以看作5個(gè)是多少。這樣，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算算理的理解便沒有任何障礙了，教師也不會(huì)困于算理模糊之中。

四、算理的“一”與算法的“萬(wàn)”

關(guān)于“理”與“法”有一句俗語(yǔ)，即“一理萬(wàn)法”，“理”與“理”之間莫不相通，終歸于一，而“法”則可以因時(shí)因地而制宜。比如在整數(shù)加法、小數(shù)加法和分?jǐn)?shù)加法中，就存在著算理的一致性和算法的多樣性的情況（如圖1）。

圖1

從圖1 中可以看出，整數(shù)加法、小數(shù)加法和分?jǐn)?shù)加法的算理始終不變，一直是相同計(jì)數(shù)單位的合并，而算法卻一直在變，由于數(shù)的不同而形成不同的算法。

從一年級(jí)學(xué)習(xí)整數(shù)運(yùn)算，到三年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)運(yùn)算，最后到五年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運(yùn)算，學(xué)生學(xué)習(xí)了很多不同運(yùn)算的計(jì)算方法。透過(guò)這些不同運(yùn)算的計(jì)算方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：原來(lái)這些運(yùn)算都遵循“相同計(jì)數(shù)單位相加”這個(gè)“理”。由此，學(xué)生產(chǎn)生豁然貫通之感。

同理，學(xué)生在學(xué)完分?jǐn)?shù)乘除法之后，會(huì)形成如下認(rèn)識(shí)：

形成這個(gè)認(rèn)識(shí)之后，學(xué)生同樣會(huì)產(chǎn)生豁然貫通之感。

當(dāng)學(xué)生在六年的數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)中有這樣兩次豁然貫通的感覺，就會(huì)深深地體會(huì)到一“理”與萬(wàn)“法”的關(guān)系和萬(wàn)變不離其宗的道理，這就是數(shù)學(xué)課程育人過(guò)程中非常深刻之處。