光學(xué)視角下的線段和最值問題解決策略研究

葛小東 丁永愿 馮潤(rùn)華

課題信息：本文系安徽省合肥市教育科學(xué)研究一般課題“初中數(shù)學(xué)幾何思維可視化教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：HJG22055）的研究成果之一.

摘要：線段和的最值問題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，為降低難度，許多師生按動(dòng)點(diǎn)軌跡、式子類型等將該問題分為不同種類，這樣使得問題的研究變得零散，運(yùn)用物理中的費(fèi)馬原理和折射定律可使得該類型問題的解決具有統(tǒng)一性.

關(guān)鍵詞：物理光學(xué);最值問題;跨學(xué)科

1 問題提出

線段和的最值問題可以分為以下幾類：將軍飲馬系列，胡不歸系列，阿氏圓系列，費(fèi)馬點(diǎn)系列等.這些問題主要考查三角函數(shù)、相似三角形、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí)，滲透了對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移等圖形變化，是初中幾何問題中的難點(diǎn).這幾類問題的解答帶有一定的特殊性，當(dāng)問題推廣到更一般的情況時(shí)又該如何解決呢？

問題? 如圖1，求mPA+nPB的最小值，其中m≠n，且m與n均為正常數(shù).

2 問題解析

該問題可看作加權(quán)將軍飲馬問題，以學(xué)生目前掌握的最值模型是無法解決的.要解決這類問題，我們先了解光的兩大原理.

費(fèi)馬原理：光在介質(zhì)中傳播總是選擇耗時(shí)最少的路徑.該原理也被稱為“最小時(shí)間原理”.

折射定律：如圖2，當(dāng)光線從介質(zhì)1中的點(diǎn)M照射到介質(zhì)Ⅱ中的點(diǎn)N時(shí)，sin isin r=V1V2（i，r分別指入射角和折射角，V1，V2分別為光在入射介質(zhì)與折射介質(zhì)中的速度）.

根據(jù)費(fèi)馬原理和折射定律，可得當(dāng)sin isin r=V1V2時(shí)，t=OMV1+ONV2有最小值.

如圖3，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，mPA+nPB=mPA+nPB′=PA1m+PB′1n，根據(jù)上述光學(xué)知識(shí)，在直線l上確定點(diǎn)P，使得sin αsin β=1m1n=nm，即當(dāng)msin α=nsin β時(shí)，mPA+nPB有最小值.

結(jié)論1：如圖3，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在直線外有兩定點(diǎn)A，B，過點(diǎn)P作直線l的垂線，當(dāng)msin α=nsin β時(shí)，mPA+nPB有最小值.

特別指出，當(dāng)α=β時(shí)，圖3就是將軍飲馬模型；當(dāng)α=90°時(shí)，圖3就是胡不歸模型.

3 推廣論證

下面將結(jié)論1進(jìn)行推廣，將動(dòng)點(diǎn)P的軌跡從直線推廣至圓.

結(jié)論2：如圖4，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在圓外有兩定點(diǎn)A，B，作射線OP，可得當(dāng)msin α=nsin β時(shí)，mPA+nPB有最小值.

下面將該結(jié)論繼續(xù)推廣至加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問題：

在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使得mPA+nPB+kPC最小.（這里m，n，k均為正常數(shù).）

該問題可以通過旋轉(zhuǎn)、相似來解決，這里方法不再展示.下面主要介紹運(yùn)用結(jié)論2解決該問題的方法.

由于mPA+nPB+kPC=mPA+nmPB+km＼5PC，[JP3]因此該問題可看作PA的長(zhǎng)度固定，研究nmPB+kmPC的最小值.如圖5，以A為圓心，PA為半徑作弧，則根據(jù)結(jié)論2可得，當(dāng)nk=sin ∠CPDsin ∠BPD時(shí)，nmPB+kmPC有最小值.

同理，mPA+nPB+kPC=nmnPA+PB+knPC，可看作PB的長(zhǎng)度固定，研究mnPA+knPC的最小值，如圖6，根據(jù)結(jié)論2可得，當(dāng)mk=sin ∠EPCsin ∠APE時(shí)，mnPA+knPC有最小值，即當(dāng)sin ∠EPC∶sin ∠CPD∶sin ∠BPD=m∶n∶k時(shí)，mPA+nPB+kPC有最小值.

結(jié)論3：[JP3]如圖7，在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P使得sin ∠BPC∶sin ∠APC∶sin ∠APB=m∶n∶k，則mPA+nPB+kPC有最小值.（其中m，n，k均為正常數(shù).）

至此，初中常見的線段和的最值問題均運(yùn)用光學(xué)定律完成證明.

4 結(jié)論的應(yīng)用

例1? 求y=2（x－1）2+4+（x－8）2+9的最小值.

解析：設(shè)P（x，0），A（1，－2），B（8，3），則y=2（x－1）2+4+（x－8）2+9=2PA

+PB=PA0.5+PB1，如圖8.由結(jié)論1可得，當(dāng)sin αsin β=0.51，即sin β=2sin α，亦即PNPB=2PMPN時(shí)，2PA+PB有最小值.

由8－x（8－x）2+9=2（x－1）（x－1）2+4，解得x=2，即當(dāng)x=2時(shí)，2PA+PB的最小值為55.

故所求的最小值為55.

例2? 已知A（4，0），B（0，4），點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，求AP+PB的最小值.

解析：該問題是典型的古堡朝圣問題，如圖9，作射線OP.由結(jié)論2可知，當(dāng)∠BPM=∠APM時(shí)，PA+PB有最小值，此時(shí)∠POB=∠POA=45°，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為

P（1，1），則PA+PB=210.因此AP+PB的最小值為210.

例3? P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，已知△ABC的邊長(zhǎng)為4，求PA+2PB+PC的最小值.

解析：根據(jù)結(jié)論3可得，當(dāng)sin ∠BPC∶sin ∠APC∶sin ∠APB=1∶2∶1時(shí)，PA+2PB+PC有最小值.如圖10，由∠BPC=

∠APB=135°，且∠APC=90°，易得AP=CP=22，PB=23－2.

故PA+2PB+PC的最小值為26+22.

5 結(jié)語

5.1 跨學(xué)科提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解

本文中提到的折射定律嚴(yán)格意義上來說是以費(fèi)馬原理為依據(jù)，運(yùn)用求導(dǎo)等數(shù)學(xué)方法論證得來的，但對(duì)于初中生來說，求導(dǎo)論證顯然是超綱且困難的，但是將物理結(jié)論運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中，使得學(xué)生對(duì)線段和最值的系列問題有了整體的認(rèn)識(shí).從數(shù)學(xué)和物理學(xué)的角度來說，物理離開了數(shù)學(xué)幾乎寸步難行，而有時(shí)候?qū)?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為物理情景賦予物理意義可輕松解決［1］. 線段和的最值問題也可以運(yùn)用位能最小原理解決，線段比值問題可以運(yùn)用杠桿原理解決，等等.跨學(xué)科促使學(xué)生建立學(xué)科間的聯(lián)系，幫助學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，形成對(duì)知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性的認(rèn)知.提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和綜合能力.

5.2 跨學(xué)科促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展

在新課標(biāo)的理念下，教師不能僅僅專注于數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)和研究，也要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科交叉處綜合性較強(qiáng)的知識(shí)的理解.跨學(xué)科教學(xué)可以促進(jìn)教師不斷去學(xué)習(xí)新的知識(shí)和新的教學(xué)技能，且能促進(jìn)學(xué)科之間的交流和碰撞，拓展教師的教學(xué)視野，促進(jìn)教師自身的專業(yè)發(fā)展和綜合素質(zhì)的不斷提高.

參考文獻(xiàn)：

［1］鄒生書.一個(gè)幾何最值的物理證法及應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010（3）：35-37.