“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)的基本信念

課題信息：本文系中山市教育科研2020年度重點立項課題“‘至簡數(shù)學(xué)的理論與實踐研究”（課題編號：A2020019），廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃2019年度教育科研一般項目“初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評研究”（課題批準號：2019YQJK349）的研究成果.

摘要：“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)的基本信念是把被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生拉入門內(nèi)，讓對數(shù)學(xué)能知其然的學(xué)生知其所以然，促學(xué)數(shù)學(xué)樂在其中的學(xué)生站在其上．

關(guān)鍵詞：至簡數(shù)學(xué);基本信念;立德樹人

“至簡數(shù)學(xué)”課堂有何特點？實際教學(xué)如何落實立德樹人根本任務(wù)？筆者聚焦“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)的基本信念，結(jié)合具體實例闡述如下．

1 把被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生拉入門內(nèi)

初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)長期存在一個非常棘手的問題：為數(shù)不少的被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生學(xué)習(xí)狀況得不到關(guān)注或改善．因為這部分學(xué)生沒有或者很少參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能難以充分實現(xiàn)．“至簡數(shù)學(xué)”直面這個難題，直白提出通過“讓學(xué)生學(xué)簡單的數(shù)學(xué)”改善學(xué)、“讓學(xué)生簡單地學(xué)數(shù)學(xué)”改善教、“讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得不簡單”改善評[1]等措施著力“把被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生拉入門內(nèi)”，這是“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)的首要信念，也是“至簡數(shù)學(xué)”落實立德樹人根本任務(wù)的勇毅擔(dān)當．

“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)如何落實這一信念？

1.1 讓數(shù)學(xué)教師走近學(xué)生，讓學(xué)習(xí)意愿發(fā)生

如果數(shù)學(xué)教師認為學(xué)生學(xué)不學(xué)是學(xué)生自己的事情，那么被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生就難以改變了，因為他們也認為學(xué)不學(xué)是自己的事情，愿意繼續(xù)選擇放棄學(xué)習(xí)，不稀罕也不需要老師管．其結(jié)果就是不學(xué)的繼續(xù)不學(xué)，學(xué)不好的繼續(xù)學(xué)不好．因此“至簡數(shù)學(xué)”主張教師提高站位，改變觀念，放下身段主動走近學(xué)生，主動跟學(xué)生建立友好關(guān)系，用真心和熱情去溫暖和感化他們那顆“被數(shù)學(xué)傷透了的心”．俗話說：“冰凍三尺，非一日之寒．”那些因為聽不懂、學(xué)不會而被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生對數(shù)學(xué)多年的畏懼、厭惡和絕望很難靠他們自己治愈，需要教師給他們溫暖、希望、信心，引導(dǎo)他們重新產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)愿望．隨著師生不斷深入了解，師生關(guān)系越來越密切，情感溝通越來越順暢，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中慢慢獲得成就感，逐步會產(chǎn)生主動學(xué)習(xí)的愿望．只有這樣，才有可能把被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生拉入門內(nèi)．

1.2 讓數(shù)學(xué)知識走進學(xué)生，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有困難，這是客觀事實．但是在被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生面前，必須讓數(shù)學(xué)放棄自身的“高冷”，這需要數(shù)學(xué)教師通過直觀、形象、具身等方式讓其變得“平易近人”．“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)倡導(dǎo)讓數(shù)學(xué)主動走進學(xué)生．“至簡數(shù)學(xué)”主張數(shù)學(xué)教師通過研究，讓數(shù)學(xué)內(nèi)容變得簡易，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得簡明，讓數(shù)學(xué)現(xiàn)象走進學(xué)生視野，讓數(shù)學(xué)知識走進學(xué)生意識，讓數(shù)學(xué)思想走進學(xué)生大腦，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生．學(xué)生學(xué)習(xí)了“有理數(shù)的乘法運算”后要學(xué)習(xí)“乘方”，而“乘方”對學(xué)生來說是一個全新的抽象概念，為了能讓班里每個學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生，筆者曾經(jīng)這樣展開教學(xué)．

請同學(xué)們計算下列各題：

（1）2+2+2+2+2+2+2+2；

（2）3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3+3；

（3）10+10+10+……+10+10+10（共有1 000個10相加）．

設(shè)計意圖：這組題計算簡單，能激起畏懼數(shù)學(xué)的學(xué)生的學(xué)習(xí)意愿．預(yù)設(shè)計算過程中有學(xué)生發(fā)現(xiàn)這三道題具有“相同加數(shù)”累加的特征，可以將“相同加數(shù)的加法”轉(zhuǎn)化為乘法，即（1）可轉(zhuǎn)化為2×8，（2）可轉(zhuǎn)化為3×12，（3）可轉(zhuǎn)化為10×1 000．

教師順勢表揚學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，然后簡單介紹“乘法”的產(chǎn)生過程．接著請同學(xué)們完成另一組題：

（1）2×2×2×2×2×2×2×2；

（2）3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3；

（3）10×10×10×……×10×10×10（共有1 000個10相乘）．

設(shè)計意圖：這組題是將上一組題中的加法運算變?yōu)槌朔ㄟ\算.預(yù)設(shè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些算式是“相同因數(shù)的乘法”，以為可以類比“相同加數(shù)加法”變乘法而將“相同因數(shù)乘法”轉(zhuǎn)化為其他運算，然而學(xué)生此前不知道有此運算，迫使學(xué)生基于已有經(jīng)驗向未知領(lǐng)域探索．

上述教學(xué)片段采用了“零起點教學(xué)”，讓數(shù)學(xué)走進學(xué)生．類似地，對于其他數(shù)學(xué)新知的教學(xué)，都可以通過離身知識具身化，抽象知識直觀化，讓學(xué)生看得見、摸得著、信得過、想得明，讓數(shù)學(xué)走進學(xué)生，讓每個學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生．

當然，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)特別薄弱的學(xué)生，僅僅通過零起點教學(xué)還不夠，畢竟他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“欠賬”太多，很多基礎(chǔ)知識還需要教師有針對性、個別化地課前或課后輔導(dǎo)．這是“讓數(shù)學(xué)走進學(xué)生”的補充方式．

1.3 讓學(xué)生走進數(shù)學(xué)活動，讓數(shù)學(xué)思考發(fā)生

數(shù)學(xué)活動承載著由具身到離身、由直觀到抽象，由特殊到一般等探究數(shù)學(xué)新知的教學(xué)任務(wù)，學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中往往經(jīng)歷操作、觀察、實驗、計算、數(shù)據(jù)分析、猜測、直觀想象、抽象、討論、推理、驗證、歸納[2]等過程．教師在設(shè)計和組織教學(xué)活動時要循循善誘，關(guān)注并引導(dǎo)全體學(xué)生參與，促使他們的數(shù)學(xué)思考發(fā)生．實踐證明，基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生剛開始是不自信、不專注的，但只要他們獲得成功體驗，就可能成為改變他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀念的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折，因為他們可能由此而獲得對自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的認可．

接著上述教學(xué)片段，引導(dǎo)學(xué)生開展下列數(shù)學(xué)活動．

師：“相同乘數(shù)相乘”可以轉(zhuǎn)化為什么運算？如果你是數(shù)學(xué)家，能不能創(chuàng)新提出一種新的運算？

設(shè)計意圖：對學(xué)生來說，乘方運算是此前聞所未聞（提前預(yù)習(xí)者除外）的運算，設(shè)計這個活動能引導(dǎo)學(xué)生展開原創(chuàng)式數(shù)學(xué)思考．此時，無論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好不好，他們都處于同一思考起點．

實際教學(xué)中學(xué)生能夠提出各種千奇百怪、難以想像的觀點．教師對學(xué)生的創(chuàng)新思考作出簡單點評后，通過給學(xué)生講“乘方”運算的歷史對乘方運算進行定義，并完成相應(yīng)的例題教學(xué)．

1.4 讓學(xué)生走近數(shù)學(xué)精神，讓數(shù)學(xué)育人發(fā)生

被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生因為沒有參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅難以獲得必備的數(shù)學(xué)知識，不能發(fā)展基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體驗不到數(shù)學(xué)思考的幸福，感受不到數(shù)學(xué)文化的熏陶，而且無法獲得數(shù)學(xué)精神的滋養(yǎng)．反之，學(xué)生只有獲得了數(shù)學(xué)精神的滋養(yǎng)才算真正進入數(shù)學(xué)的門內(nèi)，也才表明數(shù)學(xué)教學(xué)真正落實了立德樹人．

仍以上述教學(xué)片段為例，如果學(xué)生因為覺得自己不會或者認為問題很難就放棄探究，甚至拒絕思考，教師就要及時鼓勵他們勇敢嘗試，勇敢堅持.學(xué)生只有通過勇敢的數(shù)學(xué)思考和問題探究，才能獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進步，提高學(xué)習(xí)興趣，建立學(xué)習(xí)信心，養(yǎng)成良好習(xí)慣.如此才能讓數(shù)學(xué)育人發(fā)生，才能幫助學(xué)生形成質(zhì)疑問難、理性思考、自我反思和勇于探索的數(shù)學(xué)精神．

實踐發(fā)現(xiàn)，為數(shù)不少的被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能，每個班級每年有不少于5%的40分以下成績的學(xué)生經(jīng)過一年的努力能達到優(yōu)良水平，特別突出的學(xué)生中考時能接近滿分．

2 讓對數(shù)學(xué)能知其然的學(xué)生知其所以然

為什么班級里部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)總是不慍不火、動作總是不緊不慢、水平總是不高不低？原因有多方面，可能學(xué)生態(tài)度不積極、基礎(chǔ)不扎實、能力不強、習(xí)慣不好，也可能教師對學(xué)生鼓勵不夠，但均可歸因到一點，就是這部分學(xué)生對數(shù)學(xué)只知其然而不知其所以然．如果學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、思想、方法等知其然且知其所以然，就會增強學(xué)習(xí)興趣、信心、動力，就能有獲得感和幸福感，狀態(tài)就能更好，水平就能更高．為此，竭力“讓對數(shù)學(xué)能知其然的學(xué)生知其所以然”是“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)的核心信念，也是“至簡數(shù)學(xué)”落實立德樹人的立論之本．

“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)如何落實這一信念？

2.1 釋“為何學(xué)”之疑，回歸數(shù)學(xué)歷史

為了把被數(shù)學(xué)拒之門外的學(xué)生拉入門內(nèi)，零起點教學(xué)成了常態(tài)．雖然擔(dān)心因此會耽誤數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的學(xué)生的學(xué)習(xí)，然而調(diào)查發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生喜歡零起點教學(xué)這種方式，他們認為有助于厘清知識的來龍去脈，感覺更有趣味感和安全感，而且對學(xué)校組織的期末考試成績橫向和縱向分析，表明零起點教學(xué)對不同程度學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)均有益．零起點教學(xué)大多需回歸知識的原點，通過分析知識的發(fā)生和發(fā)展為學(xué)生解釋“為何產(chǎn)生此知識”“為何學(xué)習(xí)此知識”等疑問．同時，經(jīng)歷這個過程的學(xué)生能夠習(xí)得回歸知識原點的思維．仍以上述“乘方”教學(xué)為例，引入新課的兩組問題就是“乘方”產(chǎn)生的原點，學(xué)生通過類比可知“乘方”是“相同因數(shù)乘法”運算的簡化形式．有此原點思維，學(xué)生不僅容易理解“乘方”的概念和意義，而且在后續(xù)遇到問題時還能回到原點用最“原始”的思維思考并解決問題．

2.2 解“是什么”之惑，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

只知其然不知其所以然的學(xué)生普遍存在的問題是“淺層學(xué)習(xí)”．對數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理等究竟“是什么”一知半解．只了解字面意思，不理解其深刻內(nèi)涵；只了解表面現(xiàn)象，不理解其抽象本質(zhì)；只了解片面用法，不理解其豐富思想．事實上，從直觀、形象、具身的現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理等對很多學(xué)生來說很難一蹴而就，往往需要通過具體實例反復(fù)操練，需要通過深度思考反復(fù)推敲，需要重復(fù)演繹反復(fù)抽象，學(xué)生才能真正理解，把握本質(zhì)．還以上述“乘方”教學(xué)為例，學(xué)生了解“求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方”這句話就行了嗎？不行！學(xué)生要知道為何學(xué)乘方以及乘方概念的由來，要通過具體實例抽象出乘方的定義及其形式的規(guī)定，還要深刻理解底數(shù)和指數(shù)代表的意義，要能熟練說出任何乘方或冪的實際涵義，如說出-23和（-2）3以及23+2和23+2的區(qū)別，只有這樣才能知其然且知其所以然．

2.3 答“有何用”之問，掌握數(shù)學(xué)思想

為什么有些學(xué)生常常問老師同一個問題，他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中認真過、努力過、堅持過，可是為何依然不得要領(lǐng)、學(xué)不得法？成績依然徘徊不前？究竟哪里出了問題？實際上，這部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通常是“淺嘗輒止”，潛意識里學(xué)任何內(nèi)容都要質(zhì)疑學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有何用.他們學(xué)習(xí)處于被動狀態(tài)：被動聽課，老師教什么就學(xué)什么，不過多追究；被動作業(yè)，老師布置什么就做什么，不額外追練；被動總結(jié)，老師總結(jié)什么就記什么，不深入追問．如果反過來，對沒聽明白的問題深入追究，對掌握不牢的問題積極追練，對知識和思想方法不斷追問，對例題或其他感興趣的問題進行拓展，就能深刻掌握數(shù)學(xué)思想方法．例如學(xué)習(xí)“乘方”這節(jié)內(nèi)容時，有學(xué)生提出如下問題：

既然研究“相同加數(shù)”的加法和“相同因數(shù)”的乘法，為何不研究“相同減數(shù)”的減法和“相同除數(shù)”的除法？比如：（1）2-2-2-2-2-2-2-2-2-2可轉(zhuǎn)化為什么運算？（2）2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2可轉(zhuǎn)化為什么運算？

一石激起千層浪.全班學(xué)生圍繞這兩個問題展開討論，發(fā)現(xiàn)“相同減數(shù)”的減法可轉(zhuǎn)化為“相同加數(shù)”的加法，進而轉(zhuǎn)化為乘法，2-2-2-2-2-2-2-2-2-2=2+（-2）×9；“相同除數(shù)”的除法可以轉(zhuǎn)化為“相同因數(shù)”的乘法，進而轉(zhuǎn)化為乘方，2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2=2×1 29．

經(jīng)歷上述討論，學(xué)生對乘方的意義及其應(yīng)用就會有更深刻的理解，相應(yīng)地，也熟練掌握了乘方運算蘊含的數(shù)學(xué)思想．

實踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，如果既知其然又積極探索其所以然，往往能使探究興趣更強，數(shù)學(xué)素養(yǎng)更高．

3 促學(xué)數(shù)學(xué)樂在其中的學(xué)生站在其上

同一個班級里的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差異很大，有人可能完全不會，有人可能全部都會.對于學(xué)有余力樂在其中的學(xué)生，要引導(dǎo)他們不滿足于較強的解題能力或者優(yōu)異的考試成績，通過設(shè)計“分層提問”“分層作業(yè)”“分層指導(dǎo)”激發(fā)他們數(shù)學(xué)探究的興趣，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)解決學(xué)習(xí)與生活難題的膽識和戰(zhàn)勝困難的意志和毅力，讓他們常常能體會到數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的艱辛，品嘗數(shù)學(xué)探究的樂趣，提煉數(shù)學(xué)耕耘的成果，收獲數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．因此，通過教師的引領(lǐng)“促學(xué)數(shù)學(xué)樂在其中的學(xué)生站在其上”是“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)的特別信念，也是“至簡數(shù)學(xué)”落實立德樹人的關(guān)鍵作為．

“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)如何落實這一信念？

3.1 賞識學(xué)生自主學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生站在教材之上

優(yōu)秀的學(xué)生都有自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，反之，有自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的學(xué)生都優(yōu)秀．教師賞識學(xué)生自主學(xué)習(xí)，不僅是對他們自主學(xué)習(xí)寶貴品質(zhì)的肯定，也是對他們進一步提高自主學(xué)習(xí)能力的鞭策．同時，還要指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的方法，比如引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會通過文獻閱讀深刻理解教材中的數(shù)學(xué)知識與思想，能夠站在教材之上理解數(shù)學(xué)．

3.2 鼓勵學(xué)生攻堅克難，引導(dǎo)學(xué)生站在題目之上

對于學(xué)有余力樂在其中的學(xué)生來說，解決課程標準規(guī)定難度的常規(guī)問題綽綽有余，因此這些學(xué)生需要學(xué)會課外自主尋找并攻克有意義的難題，培養(yǎng)自己攻堅克難的意志和毅力．除了解題，學(xué)生還要學(xué)會通過分析問題的背景、條件、結(jié)論、圖形等進一步分析問題包含的數(shù)學(xué)知識和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法等；對于一些函數(shù)或圖形問題，可以借助幾何畫板等數(shù)學(xué)工具或其他現(xiàn)代信息輔助技術(shù)，如遇技術(shù)難題，可以請老師提供技術(shù)幫助．同時，學(xué)生還可以嘗試自己命題，比如通過模仿、改編甚至原創(chuàng)一些題目，通過教師的引導(dǎo)學(xué)會站在題目之上解決數(shù)學(xué)問題．

3.3 激發(fā)學(xué)生應(yīng)用創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)之上

有意識地激發(fā)學(xué)數(shù)學(xué)樂在其中的學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識是必要的．如果希望學(xué)生能在數(shù)學(xué)上有所建樹，必須盡早有意識地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用創(chuàng)新．引導(dǎo)學(xué)生開展跨學(xué)科項目式學(xué)習(xí)，在應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的過程中解決新問題，發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，提出新思路，得到新結(jié)論．通過引導(dǎo)學(xué)生在綜合實踐活動中的應(yīng)用創(chuàng)新，學(xué)生能夠站在數(shù)學(xué)之上理解數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，甚至發(fā)展數(shù)學(xué)．

實踐證明，對于學(xué)數(shù)學(xué)樂在其中的學(xué)生，只要引導(dǎo)得法，他們往往能有驚人的表現(xiàn).比如學(xué)習(xí)“乘方”這節(jié)課后，有學(xué)生根據(jù)加法和乘法都有逆運算提出乘方也應(yīng)該有逆運算，于是通過自主學(xué)習(xí)了解了開方運算，經(jīng)教師提示開方只是乘方逆運算的一種，過一段時間他們又了解了對數(shù)的運算．這表明他們學(xué)數(shù)學(xué)已經(jīng)能“站在其上”了.

總之，“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)兼顧不同程度的學(xué)生，通過“零起點教學(xué)”帶領(lǐng)全班學(xué)生從同一起點出發(fā)，利用釋疑、解惑、答問讓多數(shù)學(xué)生掌握核心內(nèi)容，結(jié)合“分層提問”“分層作業(yè)”“分層指導(dǎo)”讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展．只要教師讓數(shù)學(xué)好學(xué)，學(xué)生就能好學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué).

參考文獻：

［1］鄧凱.“至簡數(shù)學(xué)”教學(xué)設(shè)計的基本框架[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（6）：7-9.

［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：2-3.