高考數(shù)學(xué)審題五環(huán)節(jié)

薛晉紅

摘要：審題是解題中至關(guān)重要的一步，也是解題成功與否的關(guān)鍵所在.審題是根據(jù)題目條件，正確閱讀理解，提取有效信息，挖掘隱含信息，提煉關(guān)鍵信息，合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.結(jié)合高考真題，總結(jié)審題“五環(huán)節(jié)”，借助數(shù)學(xué)知識，推理運(yùn)算破解，展示常見審題技巧與解題策略.

關(guān)鍵詞：審題；高考；條件；關(guān)鍵；轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)審題就是正確弄清題目條件與內(nèi)涵，這是解題的基礎(chǔ)，是能否正確、迅速解題的關(guān)鍵.因而要想有效解決數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵就是要把好審題關(guān).如果審題掉以輕心，往往會導(dǎo)致數(shù)學(xué)思維的偏差，致使解題失誤或陷入到繁冗的解題中[1].

1 環(huán)節(jié)一：題設(shè)字斟句酌，全面弄清題意

認(rèn)真細(xì)致審題的重要策略就是逐字逐句地仔細(xì)分析，特別是一些容易看錯(cuò)、理解錯(cuò)、被忽視或被誤解的字、詞、句等，要善于“字斟句酌”，弄清題意與內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，為正確數(shù)學(xué)解題創(chuàng)造條件.

例1 （2022年高考數(shù)學(xué)上海卷·10）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項(xiàng)和，若S5=0，則Si（i=1，2，3，……，100）中不同的數(shù)值有個(gè).

審題：結(jié)合題設(shè)，抓住等差數(shù)列的背景，理解其中的關(guān)鍵語句“S5=0”，合理建立關(guān)系式，確定等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差之間的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的相關(guān)問題，弄清問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，并結(jié)合圖象的對稱性來分析與應(yīng)用.

由d≠0，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

可知Si（i=1，2，3，……，100）中S5=0，S2=S3=-3d，S1=S4=-2d，S6=3d，S7=7d，……，其余各項(xiàng)均不相等.

所以Si（i=1，2，3，……，100）中不同的數(shù)值有100-2=98（個(gè)）.

故填答案：98.

2 環(huán)節(jié)二：抓住問題本質(zhì)，合理切入突破

解題過程中，審題時(shí)要注意題設(shè)條件中的一些關(guān)鍵性字、詞、句等，抓住問題的本質(zhì)，為解題突破口與切入點(diǎn)的尋找提供依據(jù)，也是數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵點(diǎn).

例2 （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·5）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）.

審題：以古典概型的形式設(shè)置問題，抓住題中的關(guān)鍵詞“2個(gè)數(shù)互質(zhì)”，結(jié)合計(jì)數(shù)原理與排列組合、概率等相關(guān)知識來綜合與應(yīng)用.特別，針對關(guān)鍵詞的理解與切入，當(dāng)中隱藏一組特殊的數(shù)（3，6），這里容易遺漏而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

解析：依題知，從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)的不同取法種數(shù)共有C27=21種.

所取的2個(gè)數(shù)不互質(zhì)的不同取法有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7種.

3 環(huán)節(jié)三：善于變形轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)化繁為簡

在具體解題過程中，審題時(shí)要善于對題設(shè)中給出的已知條件或所求的結(jié)論形式進(jìn)行必要的變形與簡化，這是實(shí)現(xiàn)化繁為簡，有效尋找解題方法和途徑的一種基本策略與技巧方法.

4 環(huán)節(jié)四：尋求問題轉(zhuǎn)換，巧妙化生為熟

數(shù)學(xué)審題時(shí)，不能只停留在問題的題設(shè)條件上，要合理轉(zhuǎn)換，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)變成比較熟悉與典型的模型或問題，實(shí)現(xiàn)化生為熟，合理變形與轉(zhuǎn)化.常見的有化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題，化幾何（或代數(shù)）問題為代數(shù)（或幾何）問題，化代數(shù)問題為三角問題，等等.

例4 （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·12）（多選題）對任意x，y，x2+y2-xy=1，則（）.

A.x+y≤1

B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2

D.x2+y2≥1

審題：結(jié)合題設(shè)條件，直接判斷不等式成立問題，涉及較多的不等式性質(zhì)等，對思維與能力的要求較高.而根據(jù)條件中的二元方程加以配方處理，轉(zhuǎn)化為兩代數(shù)式的平方和為1的形式，引入三角參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，化代數(shù)問題為三角問題，化陌生為熟悉，即可順利進(jìn)行分析與判斷.

解析：由x2+y2-xy=1，配方可得

故選擇答案：BC.

5 環(huán)節(jié)五：深入挖掘條件，注意隱含信息

審題時(shí)往往需要對題設(shè)條件進(jìn)行必要的再加工，進(jìn)而深入挖掘條件，特別是其中隱含的一些信息、注意點(diǎn)及其他一些細(xì)節(jié)等，為問題的正確突破與求解掃清障礙.

審題：結(jié)合題設(shè)條件，有一些解題者采用“極端思想”，通過題目中側(cè)棱長的兩個(gè)端點(diǎn)值來快速分析與求解，確定與之對應(yīng)的答案，導(dǎo)致出錯(cuò).解題時(shí)要合理挖掘條件，注意側(cè)棱長l的變化與該正四棱錐體積變化之間的隱含關(guān)系，構(gòu)建關(guān)系式來分析與處理.

解析：如圖1，在正四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的射影為點(diǎn)M，球心O在直線PM上，設(shè)球O的半徑為R.

故選擇答案：C.

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“最糟糕的情況是學(xué)生沒有弄清問題就進(jìn)行演算和作圖.”從這個(gè)意義上講，高考數(shù)學(xué)謀試在“審”，成試在“審”，一點(diǎn)都不過分[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]陳云韜.數(shù)學(xué)多選題的審題策略技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（17）：49-50.

[2]張梅.數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)——審題[J].課程教材教學(xué)研究（中教研究），2022（Z4）：34-35.