基于高中數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的“全景式”數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)研究

蘇同安 李曉玲

摘要：本文中分析了所研究問(wèn)題的緣由，給出了所建構(gòu)的全景問(wèn)題的研究設(shè)計(jì)模式，用具體案例闡述了如何針對(duì)高中數(shù)學(xué)各章節(jié)內(nèi)容，設(shè)計(jì)出可體現(xiàn)“知識(shí)性質(zhì)、問(wèn)題類型、思想方法、思維過(guò)程”之全景的“全景式數(shù)學(xué)問(wèn)題”．旨在用“全景問(wèn)題”解決“題海戰(zhàn)術(shù)”帶來(lái)的弊端，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)效率效果，減輕師生負(fù)擔(dān)，促進(jìn)各層面學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，推動(dòng)教師專業(yè)成長(zhǎng)．

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；全景問(wèn)題；研究設(shè)計(jì)

基于高中數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的“全景式”數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)的研究，是針對(duì)高中數(shù)學(xué)各章節(jié)內(nèi)容，研究設(shè)計(jì)出體現(xiàn)知識(shí)性質(zhì)、思想方法、思維過(guò)程之全景的“全景式數(shù)學(xué)問(wèn)題”（簡(jiǎn)稱“一題釋全景”）．旨在用“全景問(wèn)題”解決“題海戰(zhàn)術(shù)”帶來(lái)的弊端，減輕師生負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和教學(xué)效率效果，從而全面有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)各層面學(xué)生核心素養(yǎng)的提升和全面成長(zhǎng)；同時(shí)，也為相關(guān)的教育教學(xué)理論落實(shí)運(yùn)用提供“載體”支持．

1 全景式數(shù)學(xué)問(wèn)題的概念

（1）全景

全景是指所涉及內(nèi)容的基本知識(shí)性質(zhì)、基本問(wèn)題類型、基本思想方法、動(dòng)態(tài)思維過(guò)程的全部或問(wèn)題由易到難、層層遞進(jìn)的結(jié)構(gòu)全貌．

（2）全景式數(shù)學(xué)問(wèn)題

全景式問(wèn)題是針對(duì)某階段（本研究是高中階段）的數(shù)學(xué)各章節(jié)內(nèi)容，能體現(xiàn)“知識(shí)問(wèn)題、思想方法、思維過(guò)程”的全景且由易到難、層層遞進(jìn)的“一道題”或“一個(gè)系列問(wèn)題”，簡(jiǎn)稱“一題釋全景”．

有的全景問(wèn)題主要體現(xiàn)該章節(jié)的知識(shí)性質(zhì)或問(wèn)題類型的全景，有的主要體現(xiàn)思想方法或思維過(guò)程的全景，有的則兼而有之．教學(xué)中應(yīng)根據(jù)各章節(jié)內(nèi)容特點(diǎn)及關(guān)系研究設(shè)計(jì)全景問(wèn)題，考慮是需要一個(gè)全景問(wèn)題，還是需要多個(gè)或一系列全景問(wèn)題來(lái)逐步體現(xiàn)各類全景．

2 全景式數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)的意義

全景式數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)的意義如下：

（1）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（2）優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，突破數(shù)學(xué)思維障礙.

（3）研創(chuàng)理論運(yùn)用載體，支持相關(guān)方略落實(shí).

（4）破解數(shù)學(xué)題海戰(zhàn)術(shù)，減輕師生教學(xué)負(fù)擔(dān).

（5）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率.

（6）滿足各層學(xué)生需求，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果.

（7）提高教師研創(chuàng)能力，助推教師專業(yè)成長(zhǎng).

3 全景式數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)的原則

（1）科學(xué)性

全景問(wèn)題的設(shè)計(jì)，要遵循教育教學(xué)的科學(xué)規(guī)律，以相應(yīng)的教育理論為指導(dǎo)，以高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，運(yùn)用科學(xué)合理的思想和方法；要充分體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本理念和內(nèi)容目標(biāo)，注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；要符合高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有利于學(xué)生的成長(zhǎng)和發(fā)展．

（2）全面性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的基本理念中要求：高中數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[1]．

全景問(wèn)題設(shè)計(jì)的“全面性”包括三個(gè)方面：一是針對(duì)所有學(xué)生，促進(jìn)各層面學(xué)生全面成長(zhǎng)；二是問(wèn)題要全面，各章節(jié)都要設(shè)計(jì)出全景問(wèn)題；三是問(wèn)題要體現(xiàn)以上所述的全景．

（3）層次性

全景問(wèn)題設(shè)計(jì)的“層次性”體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是適合各層面學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究，體現(xiàn)“最近發(fā)展區(qū)”等相關(guān)理論的有效落實(shí)運(yùn)用；二是問(wèn)題難易的層層遞進(jìn)；三是數(shù)學(xué)思維的層層遞進(jìn).全景問(wèn)題既可展現(xiàn)知識(shí)性質(zhì)、思想方法的逐步生成和逐層聯(lián)系，體現(xiàn)知識(shí)性質(zhì)、思想方法之全景，又可基于當(dāng)前問(wèn)題，進(jìn)行追根求源、縱橫拓展的全面學(xué)習(xí)和逐步思悟，體現(xiàn)思維過(guò)程之全景．

（4）多元性

人們的數(shù)學(xué)思維方式和智能都是“多元”的，而且數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn).比如，“抽象概括思維能力”可體現(xiàn)“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)；“邏輯思維能力”可體現(xiàn)“邏輯推理”核心素養(yǎng)；“形象思維能力”及“空間想象能力”可體現(xiàn)“直觀想象”核心素養(yǎng)；“數(shù)學(xué)運(yùn)算能力”可體現(xiàn)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)；等等.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維能力的提升和多元智能的全面發(fā)展是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，全景問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)滿足這個(gè)整體的提升和發(fā)展．

（5）探究性

“數(shù)學(xué)問(wèn)題”是培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)與能力的重要“載體”.利用數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行學(xué)習(xí)思考的本質(zhì)就是一種重要的、有意義的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．探究活動(dòng)的質(zhì)量不在于“題量”的多少，關(guān)鍵在于激發(fā)學(xué)生的探究愿望以及“思維量”的大小，所以設(shè)計(jì)的全景問(wèn)題，要能充分體現(xiàn)激發(fā)學(xué)生“思維量”的探究性過(guò)程．

（6）創(chuàng)新性

全景問(wèn)題設(shè)計(jì)要在體現(xiàn)教材的基本內(nèi)容、要求的基礎(chǔ)上，滲透“大單元教學(xué)理念”，體現(xiàn)問(wèn)題模式的創(chuàng)新．同時(shí)為相關(guān)教育理論方略的落實(shí)提供全面的課程資源支持，在理論方面體現(xiàn)出創(chuàng)新性．

實(shí)踐方面的創(chuàng)新性．可解決“題海戰(zhàn)術(shù)”帶來(lái)的弊端，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和效率，減輕師生負(fù)擔(dān)，全面有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[2]．

4 全景式數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)的策略

（1）設(shè)計(jì)“知識(shí)問(wèn)題”方面的全景問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維全面性的培養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的基本理念中，特別強(qiáng)調(diào)了提升、發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的重要性．

數(shù)學(xué)思維能力是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)所包含的六個(gè)維度要求的具體體現(xiàn)，并形成一個(gè)有機(jī)整體，教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思維能力的全面培養(yǎng)，不能追求片面．

設(shè)計(jì)“知識(shí)問(wèn)題”方面的全景問(wèn)題，融入數(shù)學(xué)思維這個(gè)有機(jī)整體，全面體現(xiàn)出對(duì)邏輯推理能力、抽象概括能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，助推學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的全面提升．

（2）設(shè)計(jì)“思想方法”方面的全景問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維靈活性的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維的靈活性是指能根據(jù)客觀條件或事物的發(fā)展變化，善于多方位思考，及時(shí)恰當(dāng)轉(zhuǎn)變思維方向、擺脫思維定式，提出解決問(wèn)題的新方略或?qū)ふ倚碌慕忸}途徑．體現(xiàn)出從不同角度、方面，用多種方法來(lái)分析、解決問(wèn)題的能力[3]．

數(shù)學(xué)思維的靈活性占據(jù)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要位置，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)和靈活運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的情況，對(duì)其培養(yǎng)非常重要．

設(shè)計(jì)“思想方法”方面的全景問(wèn)題，可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)思維靈活性的品質(zhì)．

（3）設(shè)計(jì)“思維過(guò)程”方面的全景問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維深刻性的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維的深刻性是指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動(dòng)的廣度、深度和難度．體現(xiàn)把握問(wèn)題本質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行追根求源、縱橫拓展的思維能力，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行探索創(chuàng)新的能力．

數(shù)學(xué)思維的深刻性占據(jù)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的核心位置，體現(xiàn)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)及舉一反三、觸類旁通的思維水平．對(duì)數(shù)學(xué)思維深刻性進(jìn)行培養(yǎng)非常重要．

設(shè)計(jì)“思維過(guò)程”方面的全景問(wèn)題，可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)思維深刻性的品質(zhì)．

說(shuō)明：由于數(shù)學(xué)思維的各種品質(zhì)是一個(gè)有機(jī)的整體，因此設(shè)計(jì)全景問(wèn)題，對(duì)思維的靈活性、深刻性進(jìn)行培養(yǎng)，定會(huì)同步提升其他的思維品質(zhì)，如思維的發(fā)散性、敏捷性、創(chuàng)新性及批判性．上文只是以思維的靈活性、深刻性為重點(diǎn)進(jìn)行分析說(shuō)明．

5 高中數(shù)學(xué)全景問(wèn)題設(shè)計(jì)舉例及設(shè)計(jì)說(shuō)明

針對(duì)高中數(shù)學(xué)各章節(jié)內(nèi)容，依據(jù)全景問(wèn)題設(shè)計(jì)模式，設(shè)計(jì)出對(duì)應(yīng)的全景式問(wèn)題.下面以立體幾何為例，設(shè)計(jì)一個(gè)立體幾何全景問(wèn)題，并給出設(shè)計(jì)說(shuō)明.

5.1 全景式問(wèn)題案例

如圖1，四邊形ABCD是直角梯形，CD⊥BC，且AD∥BC，BC=2AD；四邊形BCEG是梯形，且BG∥CE，CE=2BG；四邊形DCEF是平行四邊形．

（1）求證：AG∥平面BDE．

（2）[JP3]若BE=4BG，且∠EBG=60°，求證：平面DCEF⊥平面ABCD．

（3）在（2）的條件下，F(xiàn)B⊥DE，∠FDC=60°．

求AG與平面BEF所成角的正弦值和二面角B-EF-D的余弦值．

（4）在（3）的條件下，線段AG上是否存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面EFG？若存在，確定M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（6）在（5）的條件下，且BG=1．若N是線段BE上一點(diǎn)，且二面角N-AC-B的大小為30°，試確定點(diǎn)N的位置，并求點(diǎn)N到平面FCB的距離及三棱錐N-FCB的體積．

（7）在（6）的條件下，若P是直線EF上的點(diǎn)，求EA與平面PBC所成角正切值的最大值；若P是以DC，DA，DF分別為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體棱上的一點(diǎn)，且滿足|PD|+|PE|=m（m>0）的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4，求m的取值范圍．

（9）在（6）的條件下，取BC中點(diǎn)Q，動(dòng)點(diǎn)W在以CD為底面半徑的圓錐BC的底面內(nèi)（包括圓周），若DQ⊥WQ，求點(diǎn)W形成的軌跡長(zhǎng)度；取BD中點(diǎn)S，求四面體EBCS外接球的體積及該球被幾何體的面ABCD，CDFE所截得的圓弧長(zhǎng)之比；取CE中點(diǎn)T，若四面體TBCS內(nèi)切球的內(nèi)接圓錐（其高過(guò)球心）與內(nèi)接正三棱柱的底面在同一平面內(nèi)，求該圓錐的側(cè)面積與該正三棱柱的體積之比的最小值．

5.2 案例設(shè)計(jì)說(shuō)明

該全景問(wèn)題，以一個(gè)可變的“組合體”為載體，以兩條互融的“知識(shí)線”為導(dǎo)向，自然融合了點(diǎn)、線、面、體等的知識(shí)性質(zhì)，動(dòng)態(tài)展現(xiàn)了它們之間的各種關(guān)系及演變，形成知識(shí)性質(zhì)全景，并層層遞進(jìn)演變出問(wèn)題類型全景，進(jìn)而詮釋出思想方法、思維過(guò)程全景．

主線之一是重要的“平面圖形”與“點(diǎn)、線、面”的融合及關(guān)系演變．問(wèn)題中的“四邊形EFDC”隨著問(wèn)題的層層推進(jìn)逐步演變?yōu)槠叫兴倪呅?、菱形、矩形、正方形等各種四邊形；另一重要圖形“梯形ABCD”也相伴同行；直線CE與平面ABCD、平面EFDC與平面ABCD的關(guān)系也隨之形成“從不垂直到垂直的演變”.各要素演變與線線、線面、面面關(guān)系及演變密切相連．

主線之二是重要的“幾何體”與“點(diǎn)、線、面”的融合及關(guān)系演變．在重要的平面圖形與點(diǎn)線面關(guān)系的支持下，逐步演變出棱錐、棱柱、圓錐、球等重要幾何體及相關(guān)幾何體的“接切”關(guān)系，相關(guān)的重要元素如體積、面積、圓弧、側(cè)棱也相伴相隨.對(duì)這些重要元素的研究與求解，與點(diǎn)、線、面關(guān)系中的“距離”“角度”等重要量又緊密相連、不可分割．

（1）建構(gòu)知識(shí)問(wèn)題全景，體現(xiàn)思維全面性的培養(yǎng)

問(wèn)題類型全景與知識(shí)性質(zhì)全景同行，既有判斷、論證各種關(guān)系的基本問(wèn)題，又有利用各種關(guān)系進(jìn)行綜合性推理論證的問(wèn)題；既有關(guān)于距離、角、面積、體積等重要量的運(yùn)算求解問(wèn)題，又有關(guān)于距離、角、面積、體積等要素的范圍最值的探究性問(wèn)題；既有“正向型”典型問(wèn)題，又有“逆向型”開(kāi)放問(wèn)題.這些問(wèn)題不僅包含立體幾何各要素，還與代數(shù)要素產(chǎn)生密切聯(lián)系．

問(wèn)題（1）與（2），是關(guān)于“平行垂直”的正向推理論證的基本問(wèn)題，問(wèn)題（3）～（5）是關(guān)于“平行垂直”的逆向推理運(yùn)用與“異面角”“線面角”“二面角”的運(yùn)算求解相融合的問(wèn)題，證中有算，算中有證，充分體現(xiàn)出對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、空間想象等能力的全面培養(yǎng)；綜合問(wèn)題（6）～（9），逐步融入多面體與旋轉(zhuǎn)體，加入關(guān)于距離、長(zhǎng)度、面積、體積等元素的分析計(jì)算和相關(guān)量最值范圍的推演探究，在培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、空間想象等能力的基礎(chǔ)上，體現(xiàn)對(duì)抽象概括能力、數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)，助推數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的全面提升．

（2）融入思想方法全景，體現(xiàn)思維靈活性的培養(yǎng)

該全景問(wèn)題，以全面豐富、包容開(kāi)放的背景和設(shè)問(wèn)，融入了數(shù)學(xué)思想方法的全景，體現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的對(duì)比選擇和全面思悟．

問(wèn)題（1）的論證，線線平行法、面面平行法、向量法均可體現(xiàn)，各方法中還有不同思路的選擇；問(wèn)題（2）中的垂直論證，可融入“算”的方法；問(wèn)題（3）～（5）的解決，則是“幾何推演”與“向量運(yùn)算”兩種主要思想方法的碰撞與融合；問(wèn)題（6）～（9）中關(guān)于最值范圍的問(wèn)題，更是與函數(shù)、三角、不等式，甚至是圓錐曲線等數(shù)學(xué)核心知識(shí)相結(jié)合，廣泛體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)主要思想方法的運(yùn)用及本質(zhì)聯(lián)系．

此全景問(wèn)題，可體現(xiàn)從不同角度用多種方法或選擇恰當(dāng)方法分析解決問(wèn)題的能力，助力突破思維定式障礙，提升數(shù)學(xué)思維靈活性的品質(zhì)．

（3）生成思維過(guò)程全景，體現(xiàn)思維深刻性的培養(yǎng)

“思維量”比“題量”更重要，由可變組合體和兩條互融的知識(shí)線及問(wèn)題與方法的全景，可體悟到全景問(wèn)題設(shè)計(jì)注重?cái)?shù)學(xué)思維的生成過(guò)程，關(guān)注數(shù)學(xué)思維的邏輯性、連續(xù)性和遞進(jìn)性．

問(wèn)題（7）中求m的范圍問(wèn)題，既可看作從三維空間到二維平面的追根求源，又可縱橫拓展將問(wèn)題一般化、抽象化，總結(jié)規(guī)律方法，還可與代數(shù)、三角產(chǎn)生聯(lián)系，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛聯(lián)系和本質(zhì)內(nèi)涵，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維及思想方法的廣泛性、靈活性和深刻性．

該全景問(wèn)題，能夠讓學(xué)習(xí)者對(duì)立體幾何、空間向量及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)、思想方法，有一個(gè)全景式思悟和全面深刻的理解把握，進(jìn)而做到舉一反三、熟練靈活運(yùn)用，推動(dòng)數(shù)學(xué)思維走向廣泛和深刻．

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018．

[2]徐子淳．全景式教學(xué)模式在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．教育觀察，2020（11）： 47-48．

[3]葉鋆純，王向東． 全景思維在解題中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（8）：131-132．