守正創(chuàng)新·溯本求源·簡中悟道

摘? 要：依托2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)試題，就課程標(biāo)準(zhǔn)要求、命題導(dǎo)向、教材關(guān)聯(lián)、方法特點(diǎn)、能力素養(yǎng)等維度進(jìn)行解讀，給出2024年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題的復(fù)習(xí)備考建議和典型模擬題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；試題特點(diǎn)；復(fù)習(xí)備考建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中指出：函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用. 函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線. 人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）必修第一冊第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的章引言中進(jìn)一步明確：客觀世界中有各種各樣的運(yùn)動變化現(xiàn)象，所有這些都表現(xiàn)為變量間的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系常?？捎煤瘮?shù)模型來描述；函數(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的基本工具；函數(shù)概念及其反映的數(shù)學(xué)思想已滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域；函數(shù)知識有廣泛的實(shí)際應(yīng)用. 由此可見，充分了解高中階段函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的邏輯體系和目標(biāo)要求，確立函數(shù)的觀點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)或解決實(shí)際問題，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù). 綜觀2023年9份高考數(shù)學(xué)試卷，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的考查充分踐行了《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，突出強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)生對學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力，落實(shí)《中國高考評價體系》（以下簡稱《體系》）中“四翼”的考查要求，彰顯了合理控制試題難度、科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)、促進(jìn)考教銜接、避免機(jī)械刷題等命題特色.

一、試題特點(diǎn)分析

2023年高考關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)的考查，題型涉及選擇題（單選題和多選題）、填空題和解答題. 其中，選擇題和填空題均以對函數(shù)的基本概念、函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解和應(yīng)用為命題立意點(diǎn)，如全國新高考Ⅰ卷第4題、第10題和第11題，全國新高考Ⅱ卷第4題、第6題和第11題，全國甲卷（理科）第10題和第13題，全國乙卷（理科）第4題和第16題，天津卷第4題和第15題，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、比較大小等基本概念和基礎(chǔ)知識，數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)的基本方法，抽象函數(shù)的理解與轉(zhuǎn)化及含絕對值和含參問題的轉(zhuǎn)化策略，充分體現(xiàn)了在概念理解、熟練掌握通性通法的基礎(chǔ)上做到靈活遷移和思維創(chuàng)新的能力要求. 解答題部分，除了全國新高考Ⅰ卷中將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題前移至第19題的位置，其他試卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題仍然處于全卷壓軸題或次壓軸題的位置，主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題及求參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究與三角函數(shù)綜合的函數(shù)問題等內(nèi)容，對推理能力和運(yùn)算能力提出了較高要求.

題源分析：人教A版教材對情境創(chuàng)新性問題充分關(guān)注，如選擇性必修第二冊第75頁例2的通貨膨脹問題、第77頁例5的凈化水純度問題、第80頁例7的彈簧振子位移問題. 此外，課后習(xí)題中也涉及豐富的函數(shù)類情境問題，充分體現(xiàn)了函數(shù)源于生活實(shí)際、刻畫變量關(guān)系、指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐的基本數(shù)學(xué)邏輯. 學(xué)生在學(xué)習(xí)各類函數(shù)基本概念時要注重深度理解其發(fā)生發(fā)展過程，熟練掌握研究函數(shù)的基本方法和運(yùn)算規(guī)律，并以教材例題和習(xí)題為研究載體，提升相關(guān)能力和素養(yǎng). 高考對情境化問題的考查已經(jīng)成為常態(tài)，常考常新的情境題要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中注重知識積累和學(xué)科知識融合，充分感悟函數(shù)知識的數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)邏輯，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，養(yǎng)成數(shù)學(xué)地思考問題的習(xí)慣.

類題賞析：自《標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施以來，情境創(chuàng)新性問題是每年高考的必考問題，如2021年全國新高考Ⅱ卷第4題以北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的科學(xué)情境命制，2022年北京卷第7題以國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)實(shí)現(xiàn)綠色冬奧的生活情境命制. 此類情境創(chuàng)新題往往取材于科學(xué)前沿、時事熱點(diǎn)或與學(xué)生生活密切相關(guān)的話題，取材面廣、題干新穎、信息量較大，具有較強(qiáng)的時代感，有利于在考查有關(guān)知識、能力和素養(yǎng)的同時，幫助學(xué)生樹立文化自信. 其對學(xué)生的閱讀理解能力提出了較高要求，但是只要精于提煉關(guān)鍵信息，掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，適當(dāng)注意變量的定義規(guī)則和實(shí)際意義，便不難獲解.

二、優(yōu)秀試題分析

對2023年高考6份全國卷中與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)內(nèi)容有關(guān)的試題進(jìn)行梳理，發(fā)現(xiàn)其在各份試卷中均占有較大比重，是高考考查的重點(diǎn). 試題內(nèi)容緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》、依托教材，難度控制合理，注重對“四基”“四能”的考查，具備相當(dāng)?shù)膮⒖家饬x和研究價值，為教學(xué)和高考復(fù)習(xí)備考提供了方向. 其中不乏立意高遠(yuǎn)、構(gòu)思精巧的精彩試題，現(xiàn)遴選三道進(jìn)行解讀分析.

回顧反思：此題考查函數(shù)的單調(diào)性、含參問題的分類討論和不等式的證明等問題，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)和不等式證明問題中的工具性，是高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的重要命題方向，難度適中，第（1）小題和第（2）小題的設(shè)問關(guān)聯(lián)且遞進(jìn)，不同思維層次的學(xué)生均能找到自己的得分點(diǎn). 若進(jìn)一步研究又有多種可行性方案，能充分體現(xiàn)不同學(xué)生的思維水平和對知識、方法的理解及運(yùn)用程度. 對引領(lǐng)教學(xué)和避免機(jī)械刷題具有導(dǎo)向作用.

例7 （全國乙卷·理21）已知函數(shù)[fx=][1x+a ·][ln1+x].

（1）當(dāng)[a=-1]時，求曲線[y=fx]在點(diǎn)[1，f1]處的切線方程.

（2）是否存在a，b，使得曲線[y=f1x]關(guān)于直線x = b對稱？若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由.

（3）若[fx]在[0，+∞]上存在極值，求 a 的取值范圍.

題意理解：第（1）小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即求曲線的切線方程，較為基礎(chǔ)；第（2）小題考查對函數(shù)圖象對稱性的理解與應(yīng)用，思維量有所提升；第（3）小題考查函數(shù)極值的存在性與方程根的聯(lián)系，思維要求和運(yùn)算難度有較大提升.

思路探求：第（1）小題，先由題意求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可. 第（2）小題，先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)定義域的對稱性可以確定實(shí)數(shù)[b]的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性，利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)[a]的方程，解方程可得實(shí)數(shù)[a]的值，最后檢驗所得的[a，b]是否正確即可. 第（3）小題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)[gx=ax2+x-x+1 ·]

[lnx+1]，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分[a≤0，a≥12]和[0

由零點(diǎn)存在定理，可知[φx]在區(qū)間[0，+∞]上存在唯一零點(diǎn)[x0，] 且[x0∈1-2aa， 16a2-1，] 所以函數(shù)[φx]在區(qū)間[0，+∞]上存在變號零點(diǎn)，符合題意.

回顧反思：此題是2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題部分一道非常出彩的試題，綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)圖象的對稱性和極值存在問題，幾乎涵蓋了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)所涉及的全部數(shù)學(xué)思想與方法，所有處理方法和手段均為通性通法. 學(xué)生的解題訓(xùn)練重在解題質(zhì)量，而不在于數(shù)量，如此題第（2）小題中的對稱性處理策略，第（3）小題中[1-x+lnx<0，lnx≤x2-x，lnx<][12x-1x]等指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)放縮的原理與應(yīng)用價值，或者參變分離、構(gòu)造函數(shù)的處理技巧等，是值得學(xué)生深入探究的. 讓教學(xué)和備考真正回歸本源，在梳理數(shù)學(xué)知識體系和構(gòu)建數(shù)學(xué)邏輯上下功夫，才是遵循規(guī)律的高效教學(xué).

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 守正創(chuàng)新、依標(biāo)據(jù)本，注重教材例題和習(xí)題的多維度價值

《標(biāo)準(zhǔn)》和《體系》為高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考數(shù)學(xué)備考提供了基本指南，通過對上述高考試題的梳理與分析，我們不難發(fā)現(xiàn)教材例題和習(xí)題與高考試題間的高關(guān)聯(lián)性，教材例題和習(xí)題是高考試題命制的重要依據(jù). 以人教A版教材為例，除例題外，其在習(xí)題的設(shè)置上相比之前的版本更加豐富，問題分層設(shè)置得更加合理，練習(xí)更傾向于對當(dāng)節(jié)基本教學(xué)內(nèi)容的檢測. 習(xí)題主要分為三個部分，復(fù)習(xí)鞏固部分是對當(dāng)節(jié)課重點(diǎn)知識的考查；綜合運(yùn)用部分突出對基本技能和基本思想方法的訓(xùn)練；拓廣探索部分側(cè)重提供探究學(xué)習(xí)的素材. 因此，在復(fù)習(xí)備考過程中，充分發(fā)揮教材例題和習(xí)題的導(dǎo)向功能，幫助學(xué)生鞏固概念，開展互動探究性再學(xué)習(xí)，捋順函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中的數(shù)學(xué)邏輯和基本方法顯得尤為重要.

數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)是需要情境的，因為這種能力需要浸潤在特定的日常問題或數(shù)學(xué)問題情境中才能得以生成. 鑒于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容在高考中的核心地位，在復(fù)習(xí)備考過程中，學(xué)生要努力達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)精神、評價體系與教材例題和試題的深度融合，以高考試題的考查意圖為視角夯實(shí)基礎(chǔ)知識，以提升思維能力和形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)完成從解題到解決問題的進(jìn)階.

2. 溯本求源、簡中悟道，關(guān)注高考試題的復(fù)習(xí)引領(lǐng)功能

總體來說，2023年高考數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性試題顯著增加，涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識的試題基本聚焦于對導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本問題的考查，且多以由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算后形成的含參類函數(shù)模型為載體，以分類討論探究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、恒成立（存在性）問題、不等式證明的方式呈現(xiàn)，突出導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的工具性作用，鮮有涉及多變量問題、極值點(diǎn)偏移問題和隱零點(diǎn)問題，基本為對通性通法的考查. 一味地去猜題、押題、機(jī)械刷題，想通過題海戰(zhàn)術(shù)來提高成績的做法，顯然不合時宜.

結(jié)合2023年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題位置的變化，我們可以大膽預(yù)測，今后高考數(shù)學(xué)解答題的呈現(xiàn)順序不再固定，即不存在所謂的套路或題型固化. 位置前移，則難度下降；位置后移，則難度上升. 因此，在復(fù)習(xí)備考過程中要避免思維的固化，更不能存在僥幸心理，扎實(shí)構(gòu)建函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識體系和數(shù)學(xué)邏輯，深刻領(lǐng)悟函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的本質(zhì)與內(nèi)涵，是有效復(fù)習(xí)的重要保障.

3. 勤于總結(jié)、學(xué)會遷移，重視復(fù)習(xí)過程的自我“反芻”效益

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題考查形式多變、思維強(qiáng)度高、運(yùn)算量大、技巧性強(qiáng)，深入理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的內(nèi)在關(guān)系是解題的基本保障. 復(fù)習(xí)備考過程中，要仔細(xì)歸納梳理考過、練過的經(jīng)典題型，認(rèn)真思考并回答“利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)一般要經(jīng)歷哪些運(yùn)算過程”“你對‘導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的基本工具有什么深刻體會”“你認(rèn)為用導(dǎo)數(shù)的方法解決函數(shù)問題時有哪些常見的問題類型”這三個核心問題.

基于對近幾年高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的梳理，筆者認(rèn)為通過求導(dǎo)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、零點(diǎn)（根）等問題仍然是高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分考查的主旋律. 對此，做題時不能不求甚解、以量代質(zhì)，對于重點(diǎn)環(huán)節(jié)或重點(diǎn)題型的復(fù)習(xí)要慢下腳步，讓思維“反芻”成為習(xí)慣. 經(jīng)驗告訴我們，堅持深度學(xué)習(xí)，學(xué)會遷移，堅持反思感悟，構(gòu)建思維體系，對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的復(fù)習(xí)尤其必要.

真正理解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)不同類似試題之間的深層次串聯(lián)，以更高的視角應(yīng)對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題，相信會有不一樣的收獲.

答案：略.

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：過家福（1970— ），男，中小學(xué)正高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

丁強(qiáng)生（1985— ），男，中小學(xué)高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.