深入幾何本質(zhì)　活用解析方法

吳中林　黎方平　江泓

摘? 要：通過(guò)分析2023年高考平面解析幾何試題，總結(jié)得出其主要特點(diǎn)為以基本圖形的考查凸顯試題的綜合性，以開放設(shè)問(wèn)方式體現(xiàn)試題的創(chuàng)新性. 在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，要深入學(xué)習(xí)過(guò)程、理解平面解析幾何的研究方法，依據(jù)圓錐曲線的定義方式建立知識(shí)體系，深度挖掘教材例題和習(xí)題的價(jià)值，并進(jìn)行多角度聯(lián)系，探索高考試題的命題背景和平面解析幾何的本質(zhì). 在解題思考中，要深入研究幾何結(jié)構(gòu)、認(rèn)識(shí)圖形特征、把握問(wèn)題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)自然思考；以數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，進(jìn)行簡(jiǎn)練思考，優(yōu)化解題策略；嘗試用高觀點(diǎn)審視問(wèn)題，加強(qiáng)綜合聯(lián)系，提升思維的深刻性，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的靈活性．

關(guān)鍵詞：平面解析幾何；解題分析；教材價(jià)值

一、試題特點(diǎn)分析

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷共設(shè)置了15道不同的平面解析幾何試題. 全國(guó)新高考Ⅰ卷和全國(guó)新高考Ⅱ卷均設(shè)置2道選擇題（全國(guó)新高考Ⅰ卷中均為單選題，全國(guó)新高考Ⅱ卷中為單選題和多選題各一道）、1道填空題和1道解答題. 全國(guó)甲卷文、理科各設(shè)置2道選擇題和2道解答題，其中文科第7題是理科第12題的特殊化，其余試題完全相同；全國(guó)乙卷文、理科各設(shè)置1道選擇題、1道填空題和2道解答題，且試題完全相同. 全國(guó)甲卷（文、理科）設(shè)置的選考試題，考查直線的參數(shù)方程中 t 的幾何意義及直線的參數(shù)方程化為普通方程；全國(guó)乙卷（文、理科）設(shè)置的選考試題，考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí). 試題突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握. 每份試卷中的相關(guān)試題都通過(guò)設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，全面考查平面解析幾何中直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí). 例如，全國(guó)新高考Ⅰ卷第5題和全國(guó)新高考Ⅱ卷第21題第（1）小題，都是已知離心率求方程；全國(guó)新高考Ⅰ卷第22題第（1）小題，已知曲線滿足的幾何條件求方程；全國(guó)乙卷（文科）第13題，已知曲線滿足的代數(shù)條件求方程并研究幾何性質(zhì). 這些試題都對(duì)平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法進(jìn)行了考查. 試題深入考查學(xué)生對(duì)學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，全面體現(xiàn)高考對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合考查. 例如，全國(guó)新高考Ⅱ卷第10題，設(shè)置直線與拋物線相交的情境，以多選題的形式考查圓錐曲線的內(nèi)容，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng)；全國(guó)乙卷（理科）第11題，設(shè)置直線與雙曲線相交的情境，考查邏輯推理和直觀想象素養(yǎng). 總之，2023年高考中的平面解析幾何試題，以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向，通過(guò)設(shè)置合理的情境，體現(xiàn)必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值的考查內(nèi)容，反映基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性和應(yīng)用性的考查要求.

1. 立足基本圖形，凸顯試題的綜合性

試題緊密結(jié)合定義，以圓錐曲線的焦點(diǎn)作為基本元素構(gòu)造圖形，既反映基礎(chǔ)性要求，又體現(xiàn)綜合聯(lián)系. 例如，全國(guó)甲卷（理科）第12題（文科第7題）和全國(guó)新高考Ⅰ卷第16題都集中研究由圓錐曲線上的點(diǎn)和焦點(diǎn)確定的三角形，通過(guò)表達(dá)曲線或三角形的相關(guān)量，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

反思總結(jié)：由于直線[AB]和[AD]的斜率分別為[x1+x0]和[x2+x0]，從代數(shù)結(jié)構(gòu)看，方法1和方法2沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別. 該題難在“求形如[fx=mx-a+nx-b]（其中[m>0]，[n>0]）的函數(shù)的最小值”，關(guān)鍵是把握幾何結(jié)構(gòu)的一致性. 如方法1，由于[AB]和[AD]的地位相同，因此，通過(guò)適當(dāng)放縮兩個(gè)絕對(duì)值式子，使其系數(shù)相等，利用[x0-a+x0-b≥b-a]消去[x0]，將[AB+][AD]這個(gè)二元函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于單變量[k]的函數(shù)，且其結(jié)果能進(jìn)一步用于論證嚴(yán)格不等式. 當(dāng)[k=2]，[x0→22]時(shí)，[AB→0]，[AD→332]，[AB+AD→332]. 因此，該題中的矩形周長(zhǎng)的下確界（最大下界）是[33].

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 深入學(xué)習(xí)過(guò)程，把握研究方法

平面解析幾何的本質(zhì)是用坐標(biāo)方法研究幾何問(wèn)題. 基本問(wèn)題有兩類：根據(jù)已知條件求出曲線的方程；通過(guò)曲線的方程研究曲線的性質(zhì). 因此，既要掌握求曲線方程的基本方法，還要理解如何利用曲線的方程來(lái)研究曲線的性質(zhì).

與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)相似，平面解析幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程是從熟悉到陌生，按直線與方程、圓與方程到圓錐曲線與方程的順序來(lái)展開. 具體研究時(shí)，應(yīng)該堅(jiān)持用幾何眼光觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征、用代數(shù)運(yùn)算結(jié)合幾何關(guān)系探究、發(fā)現(xiàn)和證明性質(zhì)，按照確定圖形的幾何要素建立方程、利用方程研究圖形的位置關(guān)系、性質(zhì)及曲線的相關(guān)幾何量.

2. 遵循軌跡定義，建立結(jié)構(gòu)體系

平面解析幾何的基本研究路徑表現(xiàn)為：利用點(diǎn)和方向確定直線、兩點(diǎn)確定直線這兩種方式建立直線方程，進(jìn)而研究直線的位置關(guān)系與度量；由到一個(gè)定點(diǎn)的距離為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，建立圓的方程，并研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系與度量；在此基礎(chǔ)上，按照動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和、差（積、商）為定值，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離的比值為定值，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的斜率的積（和、差、商）為定值三種不同關(guān)系，以教材知識(shí)內(nèi)容、例題和習(xí)題呈現(xiàn)等不同方式揭示圓錐曲線的形成過(guò)程，并結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步研究橢圓、雙曲線和拋物線的基本性質(zhì)，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)該要求學(xué)生獨(dú)立完成上述軌跡方程的求解，熟悉圓錐曲線定義間的整體關(guān)系，理解圓錐曲線的幾何量對(duì)曲線性質(zhì)的刻畫（如離心率與定義的關(guān)系、對(duì)橢圓及雙曲線形態(tài)的定性描述），建立平面解析幾何的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)體系.

3. 挖掘教材價(jià)值，促進(jìn)聯(lián)系拓展

除研究方法、研究路徑和結(jié)構(gòu)體系外，教材中歷經(jīng)多年沉淀下來(lái)的例題和習(xí)題也是復(fù)習(xí)教學(xué)的重要資源，復(fù)習(xí)備考時(shí)應(yīng)該深入挖掘其價(jià)值. 審視人教A版教材第135頁(yè)例4及第136頁(yè)例5，用從特殊到一般、考查逆命題等基本研究方法，可以得出拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦具有的系列基本性質(zhì). 如圖3，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線[C：y2=2px][p>0]的焦點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，[l]為C的準(zhǔn)線，過(guò)M，N作[l]的垂線，垂足分別為[M1]，[N1]. 對(duì)其中的位置關(guān)系、度量關(guān)系進(jìn)行探究，則可以得到以下結(jié)論：在梯形[MM1N1N]中，[MN=][MM1+NN1]；以[MN]為直徑的圓與[l]相切，切點(diǎn)[H]為[M1N1]的中點(diǎn)；HM⊥HN；用解析法探究可得直線[HM]，[HN]均與C相切、[HF⊥MN].

這樣的聯(lián)系和拓展（根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際確定廣度和深度），從教材問(wèn)題出發(fā)，建構(gòu)了拋物線焦點(diǎn)弦的知識(shí)體系，明確了內(nèi)在聯(lián)系，內(nèi)化了研究方法，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

以這樣的思考基礎(chǔ)來(lái)看2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷第10題，選項(xiàng)A是直接考查拋物線的定義；而選項(xiàng)B僅是改變了人教A版教材第135頁(yè)例4的條件中的數(shù)據(jù)；選項(xiàng)C是上述探究的一個(gè)結(jié)果；由人教A版教材第136頁(yè)例5可知[∠MON]為鈍角，[MN]為△OMN的最長(zhǎng)邊，若△OMN是等腰三角形，只能是[OM=ON]，據(jù)拋物線的對(duì)稱性知選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 構(gòu)造逆命題，由[H]，[M]，[N]間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將H在準(zhǔn)線上一般化，由[HM⊥HN]，便得到2018年全國(guó)Ⅲ卷（理科）第16題；由直線[HM]，[HN]與C相切，則[M]，N的連線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，就得到2019年全國(guó)Ⅲ卷（理科）第21題的第（1）小題. 因此，深入挖掘教材題目的價(jià)值，能夠全面、清晰地把握高考試題的命題背景和內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生具有更寬廣的視野進(jìn)行解題思考.

4. 揭示幾何本質(zhì)，優(yōu)化解題策略

平面解析幾何問(wèn)題常常表現(xiàn)為研究圖形與圖形間的關(guān)系，往往可以通過(guò)幾何本質(zhì)的展現(xiàn)更深刻地反映內(nèi)在聯(lián)系，從而促進(jìn)深刻思維、簡(jiǎn)化解答過(guò)程. 例如，例1的分析抓住[△ABF1]的幾何特征就簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

圓是圓錐曲線中的特殊圖形，圓的幾何性質(zhì)在圓錐曲線中通常是可以推廣的. 因此，研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)，可以退到圓中去探索. 例如，2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷第22題第（2）小題，本質(zhì)上是過(guò)橢圓上一點(diǎn)A作相互垂直的弦[AM]，[AN]，則[MN]過(guò)定點(diǎn). 顯然，過(guò)圓上一點(diǎn)[A]作兩條互相垂直的弦[AM]，[AN]，則弦[MN]過(guò)圓心，從而可以類比到橢圓中得出[MN]過(guò)定點(diǎn)的猜想，完成“動(dòng)點(diǎn)在定圓上”向“直線過(guò)定點(diǎn)”的轉(zhuǎn)化，獲得解答思路. 因此，在復(fù)習(xí)備考時(shí)，可以從圓的關(guān)系出發(fā)，利用類比方法獲得圓錐曲線中的性質(zhì)，并利用解析法來(lái)研究.

幾何的研究對(duì)象是位置關(guān)系和度量關(guān)系，平面解析幾何則是結(jié)合代數(shù)方法研究位置關(guān)系、幾何量取值的不變性或者變化規(guī)律，定點(diǎn)（定值）、定線是其中的重要問(wèn)題. 用更高的觀點(diǎn)看，定點(diǎn)和定線問(wèn)題常常與“極點(diǎn)極線”相關(guān)，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以從圓的研究出發(fā)，理解“極點(diǎn)極線”的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)而運(yùn)用到圓錐曲線中. 例如，2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷第21題，點(diǎn)[P]在點(diǎn)[-4，0]關(guān)于雙曲線[x24-y216=1]的極線[x=-1]上. 若進(jìn)一步了解“調(diào)和線束”，就可以認(rèn)識(shí)到2022年高考全國(guó)乙卷（理科）第21題是直接考查調(diào)和點(diǎn)列對(duì)應(yīng)調(diào)和線束，2023年高考全國(guó)乙卷（理科）第20題考查調(diào)和線束的斜率性質(zhì). 需要注意的是，了解背景主要是為了深刻認(rèn)知其幾何本質(zhì)，必須避免過(guò)度的、超越學(xué)生學(xué)習(xí)能力的拓展. 解答時(shí)，應(yīng)該堅(jiān)持采取通性通法進(jìn)行思考，運(yùn)用特殊與一般的思想，先采用幾何直觀猜想獲得結(jié)論，再靈活運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算完成論證. 處理幾何量的變化范圍和最值問(wèn)題，可以首先考察幾何特征以簡(jiǎn)化運(yùn)算，通常還需要以函數(shù)與方程思想為指導(dǎo)，結(jié)合代數(shù)方法（如運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等）解決問(wèn)題（如例3和例4）.

5. 悟透數(shù)學(xué)思想，活用解析方法

平面解析幾何的本質(zhì)是用坐標(biāo)法研究曲線與方程. 從方程出發(fā)研究曲線的性質(zhì)，關(guān)鍵是要把握好數(shù)量與數(shù)量間的關(guān)系；而數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法則是解決問(wèn)題的重要保障. 例如，2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第22題第（1）小題，已知[A]是雙曲線上的定點(diǎn)，動(dòng)弦[AP]，[AQ]的斜率和為0，論證直線[PQ]的斜率為定值. 問(wèn)題中幾何結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，必然反映為相應(yīng)代數(shù)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在一致性，從而在計(jì)算一條直線得出結(jié)果后，類比獲得其他結(jié)果. 又如，2021年全國(guó)甲卷（理科）第20題，三條直線[A1A2]，[A2A3]，[A1A3]的幾何結(jié)構(gòu)具有一致性，可以在表示直線方程、直線與圓相切時(shí)，把握相應(yīng)代數(shù)結(jié)構(gòu)的共性，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的優(yōu)化：寫出一條直線的方程，即可同理得到另外兩條直線的方程；由直線[A1A2]，[A1A3]與圓相切得出兩個(gè)方程，對(duì)代數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)（一是看作一元二次方程，以根與系數(shù)的關(guān)系代入，變形推導(dǎo)得出結(jié)論；二是看作二元一次方程，得到A2，A3兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，從而得出直線[A2A3]的方程，由圓心到直線的距離證明相切）深刻地反映了解析方法的本質(zhì). 上述兩個(gè)例子中，代數(shù)與幾何的結(jié)構(gòu)、關(guān)系的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化是平面解析幾何本質(zhì)的體現(xiàn)；數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用是推動(dòng)問(wèn)題解決的有效指引. 因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要不斷領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，從表現(xiàn)形式、關(guān)系結(jié)構(gòu)上深刻認(rèn)識(shí)問(wèn)題本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；從結(jié)構(gòu)對(duì)比、運(yùn)算對(duì)應(yīng)等角度分析運(yùn)算條件、確定運(yùn)算方向、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；結(jié)合問(wèn)題特征綜合運(yùn)用思想方法，深入平面解析幾何的數(shù)與形的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)有效、簡(jiǎn)練地思考問(wèn)題并活用解析方法解決問(wèn)題.

四、典型模擬題

平面解析幾何試題的命制往往采用以下方式：一是直接研究直線、圓、圓錐曲線中平面圖形的性質(zhì)或相關(guān)幾何量（往往需要先確定相關(guān)曲線的方程）；二是以圓的性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)，用圓錐曲線和圓的內(nèi)在聯(lián)系建構(gòu)新問(wèn)題；三是依據(jù)高觀點(diǎn)建立點(diǎn)、線關(guān)系，探究定點(diǎn)（定線）與定值問(wèn)題，等等. 以下問(wèn)題供參考.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考試中心. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系［M］.? 北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考試中心. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

作者簡(jiǎn)介：吳中林（1965— ），男，正高級(jí)教師，四川省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

黎方平（1976— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

江泓（1982— ），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究．