平和之中有乾坤　變化之處見功力

金克勤　陳群星

摘? 要：通過對2023年高考數(shù)列試題特點(diǎn)的分析，并與往年高考數(shù)列試題作比較，從解題角度探析高考數(shù)列試題在“價(jià)值引領(lǐng)，素養(yǎng)導(dǎo)向，能力為重，知識為基”方面的具體表現(xiàn)，并以此為依據(jù)，給出教學(xué)啟示和2024年高考數(shù)列部分的復(fù)習(xí)建議，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考復(fù)習(xí)備考提供參考．

關(guān)鍵詞：2023年高考；數(shù)列；解題分析；復(fù)習(xí)備考建議

2023年高考數(shù)列試題能夠準(zhǔn)確體現(xiàn)高考內(nèi)容改革的要求，遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的教學(xué)內(nèi)容、學(xué)業(yè)要求和質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，突出基礎(chǔ)性，彰顯綜合性，聚焦核心素養(yǎng)，體現(xiàn)關(guān)鍵能力的考查.

數(shù)列試題情境豐富，試題表達(dá)簡單，考查內(nèi)容全面，平和之中有乾坤，變化之處見功力. 以等差數(shù)列和等比數(shù)列為考查的重點(diǎn)內(nèi)容，以數(shù)列的通項(xiàng)和前[n]項(xiàng)和的關(guān)系進(jìn)行設(shè)問，以學(xué)生熟悉的方式呈現(xiàn)，題面簡潔準(zhǔn)確，方便學(xué)生理解題意. 試題內(nèi)涵深刻，滲透數(shù)學(xué)文化，涵蓋高中數(shù)列的主要內(nèi)容和思想方法. 解題途徑多樣，充分體現(xiàn)對能力和素養(yǎng)的考查. 試題分值與課程內(nèi)容相適應(yīng)，全國卷中基本上都設(shè)置一道主觀題和一道客觀題，分值的中位數(shù)在17分左右，約占全卷總分值的11%.

數(shù)列試題以基礎(chǔ)性試題為主，文科試題較理科相對容易一些，考試的得分率比較高. 試題以數(shù)學(xué)情境為主，適度體現(xiàn)科學(xué)情境和現(xiàn)實(shí)情境. 突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力. 由于數(shù)列試題難度的彈性較大，全國卷很好地控制了數(shù)列試題的難度，突出考查對數(shù)列基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解，重點(diǎn)考查對數(shù)列知識和方法的靈活運(yùn)用.

數(shù)列試題在注重基礎(chǔ)知識考查的同時(shí)，注重綜合性的要求，在全國新高考Ⅰ卷中將數(shù)列與概率結(jié)合，通過全概率公式構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系；在上海卷中將數(shù)列與函數(shù)結(jié)合，通過曲線的切線構(gòu)造數(shù)列的迭代關(guān)系；在天津卷中利用不等式所確定的范圍研究等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前[n]項(xiàng)和. 建立數(shù)列遞推關(guān)系是數(shù)列的應(yīng)用和與其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合的重要方法，也是數(shù)列試題重要的命題方向.

一、試題特點(diǎn)分析

1. 突出基礎(chǔ)性

數(shù)列基礎(chǔ)性問題的考查主要圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前[n]項(xiàng)和公式進(jìn)行設(shè)問，通過直接運(yùn)用公式或利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化來解決問題，考查對等差數(shù)列和等比數(shù)列概念的理解及基本性質(zhì)的掌握程度，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

（1）數(shù)列的概念.

例1 （全國新高考Ⅰ卷?7）記[Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，設(shè)甲：[an]為等差數(shù)列；乙：[Snn]為等差數(shù)列，則（? ? ）.

（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

目標(biāo)解析：該題的考查目標(biāo)是理解等差數(shù)列的概念，體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系. 通過對命題的充分條件與必要條件關(guān)系的探求，考查邏輯思維能力.

解法分析：若數(shù)列[an]是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則[Sn=na1+nn-12d， Snn=a1+n-12d，] 故[Snn-Sn-1n-1=d2，]所以[Snn]是等差數(shù)列. 如果[Snn]是等差數(shù)列，一般地，可以設(shè)[Snn=kn+b，] 若[k≠0，] 則[Sn=kn2+bn]，即[Sn]是關(guān)于[n]的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，因此[an]是等差數(shù)列；若[k=0]，則[Snn]是常數(shù)列，因此[an]也是常數(shù)列，所以[an]是等差數(shù)列. 即甲是乙的充要條件.

【點(diǎn)評】解題的關(guān)鍵是對等差數(shù)列概念的理解：若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)具有形式[an=kn+b]（[k，b]為常數(shù)），則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；若一個(gè)數(shù)列的前[n]項(xiàng)和具有形式[Sn=kn2+bn]（[k，b]為常數(shù)），則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.

題源分析：該題的來源是等差數(shù)列的概念，與人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）習(xí)題4.2（已知[Sn]是數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和.（1）證明[Snn]為等差數(shù)列；（2）設(shè)[Tn]為數(shù)列[Snn]的前[n]項(xiàng)和，若[S4=12]，[S8=40]，求[Tn]）類似. 試題以等差數(shù)列的基本概念為情境，以等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前[n]項(xiàng)和的關(guān)系為切入點(diǎn)，通過等差數(shù)列的判定、前[n]項(xiàng)和的計(jì)算，重點(diǎn)考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，如[Sn+1n+1-Snn=d2]. 學(xué)生常常由于對等差數(shù)列的概念理解不清、掌握不牢及運(yùn)算能力弱而造成失分.

類題賞析：（2022年全國甲卷·文18）記[Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和. 已知[2Snn+n=2an+1].

（1）證明：[an]是等差數(shù)列；

（2）若[a4]，[a7]，[a9]成等比數(shù)列，求[Sn]的最小值.

該題與例1類似，以等差數(shù)列為情境，通過[Sn]與[an]的關(guān)系[2Snn+n=2an+1]，利用[n≥2]時(shí)[an=Sn-Sn-1]，推導(dǎo)出[an-an-1=1]，從而證明[an]是等差數(shù)列. 若[a4]，[a7]，[a9]成等比數(shù)列，則[a4a9=a27]. 由[a1+3a1+8=]

[a1+62]，解得[a1=-12]. 所以[an=n-13]. 因此，當(dāng)[n=12]或[n=13]時(shí)，[Sn]取最小值-78.

在求[Sn]的最小值時(shí)，可以有兩種不同的解決方法，其一是利用[Sn]是關(guān)于[n]的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最小值；其二是利用等差數(shù)列的單調(diào)性和[Sn]的結(jié)構(gòu)特征求最小值. 這類試題都反映出對數(shù)列基礎(chǔ)知識的考查.

（2）數(shù)列的通項(xiàng).

例2 （全國乙卷?理15）已知[an]為等比數(shù)列，[a2a4a5=a3a6]，[a9a10=-8]，則[a7]的值為______.

目標(biāo)解析：通過等比數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系，計(jì)算等比數(shù)列的項(xiàng)，考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列通項(xiàng)等基礎(chǔ)知識.

三、復(fù)習(xí)備考建議

分析2023年全國高考數(shù)列試題，以及近3年高考全國卷中數(shù)列試題的變化，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列試題呈現(xiàn)考查方式穩(wěn)定、考查要求基礎(chǔ)、考查內(nèi)容全面等特點(diǎn)，突出思想方法的考查，加強(qiáng)關(guān)鍵能力的考查，著力創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，科學(xué)調(diào)控試題難度，體現(xiàn)課程改革和高考改革的要求. 預(yù)測2024年高考數(shù)列試題會保持2023年數(shù)列試題的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn)，難度穩(wěn)定，試題的情境、設(shè)問的方式、解決的問題不會有太大的變化. 同時(shí)，會更加體現(xiàn)高考選拔人才和引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的功能. 為此提出以下幾點(diǎn)復(fù)習(xí)備考建議.

1. 重視教材，打好基礎(chǔ)

教材是教和學(xué)的依據(jù)，也是《標(biāo)準(zhǔn)》的具體體現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容都體現(xiàn)在教材之中. 在復(fù)習(xí)備考中，要認(rèn)真研讀教材，理解教材中關(guān)于數(shù)列的每一個(gè)概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前[n]項(xiàng)和公式，通過研讀教材可以再次回顧相關(guān)數(shù)學(xué)知識. 由于教材是高考命題的基礎(chǔ)，高考試題大多數(shù)能在教材中找到類似的題目，因此建議將教材中的習(xí)題重新做一遍，一定會有驚喜的收獲，復(fù)習(xí)的效果一定好于做教輔資料. 熟練掌握教材是高考復(fù)習(xí)備考的基礎(chǔ)，要打好基礎(chǔ)必須依靠教材. 這是事半功倍的學(xué)習(xí)方法.

2. 梳理知識，歸納方法

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，以此建立數(shù)列的概念；數(shù)列的遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種重要的表示方法，等差數(shù)列和等比數(shù)列是數(shù)列學(xué)習(xí)中兩種重要數(shù)列模型，它們既是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是數(shù)列考查的重點(diǎn)，數(shù)列的通項(xiàng)、性質(zhì)與前[n]項(xiàng)和是數(shù)列研究的重要內(nèi)容，這些形成數(shù)列的知識體系. 因此，需要依據(jù)概念、定義、表示、性質(zhì)、應(yīng)用建立數(shù)列知識的邏輯關(guān)系，以等差數(shù)列、等比數(shù)列為問題情境，以遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式、項(xiàng)的特征和關(guān)系、前[n]項(xiàng)和、[Sn]與[an]的關(guān)系為目標(biāo)，歸納解決問題的方法，尤其重視基本量、整體代換、函數(shù)、無限化有限、組合與分解等方法，系統(tǒng)、全面地掌握數(shù)列的知識及解決問題的方法.

3. 掌握性質(zhì)，加強(qiáng)聯(lián)系

很多高考數(shù)列試題以數(shù)列的性質(zhì)作為命題的依據(jù)，利用性質(zhì)解題是重要的方法. 因此，熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)也是高考備考的關(guān)鍵. 例如，關(guān)于項(xiàng)的性質(zhì)：若[an]是等差數(shù)列，則[an=am+n-md]；若[an]是等比數(shù)列，則[an=amqn-m]. 關(guān)于和的性質(zhì)：設(shè)[p+q=m+n]，若[an]是等差數(shù)列，則[ap+aq=am+an]；若[an]是等比數(shù)列，則[apaq=aman]. 還可以將這個(gè)性質(zhì)推廣到三項(xiàng)及以上. 還有等差數(shù)列中[Snn]也是等差數(shù)列；等比數(shù)列中，若公比[q≠-1，] 則[Sm]，[S2m-Sm]，[S3m-S2m]，…也是等比數(shù)列；等等. 這些重要性質(zhì)的學(xué)習(xí)，不僅可以加深對數(shù)列知識的理解和掌握，還是有效解決數(shù)列問題的方法. 在學(xué)習(xí)數(shù)列性質(zhì)時(shí)，尤其要加強(qiáng)知識和方法之間的聯(lián)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系及數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，只有廣泛地聯(lián)系，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑，形成解題的思想.

4. 積累經(jīng)驗(yàn)，提煉思想

高考數(shù)列試題的變化，體現(xiàn)了高考命題以《標(biāo)準(zhǔn)》為基本遵循，強(qiáng)調(diào)依標(biāo)教學(xué)、深化基礎(chǔ)性、突出思維性的顯著特點(diǎn)，出現(xiàn)高考試題服務(wù)“雙減”工作的鮮明信號，所以高考復(fù)習(xí)不能靠大量“機(jī)械刷題”，而是要在有限的復(fù)習(xí)時(shí)間中不斷地積累經(jīng)驗(yàn). 具體而言，可以根據(jù)自己的理解和水平，將數(shù)列的重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法以筆記的形式記錄下來，并對解題過程中做錯(cuò)的題目進(jìn)行反思，分析出錯(cuò)的原因，進(jìn)行總結(jié)、分析、歸納，形成自己的經(jīng)驗(yàn). 對典型的問題、例題和習(xí)題要了解其背景，掌握解題的規(guī)律和方法，提煉數(shù)學(xué)思想方法以指導(dǎo)解決新的問題.

四、典型模擬題

1. 南宋數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”. 在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻甍垛、芻童垛等的公式. 例如，如圖8，三角垛指的是頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第4層放10個(gè)，…，第[n]層放[an]個(gè)物體的堆垛，則[1a1+1a2+ … + 1a10]的值為? ? ? ? .

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］教育部考試中心. 中國高考評價(jià)體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］教育部考試中心. 中國高考評價(jià)體系說明［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］教育部教育考試院. 高考試題分析及解題精選·數(shù)學(xué)（2024年版）［M］. 北京：語文出版社，2023.

作者簡介：金克勤（1962— ），男，中學(xué)高級教師，浙江省特級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和研究；

陳群星（1972— ），女，中學(xué)高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和研究.