人教A版新舊教材關(guān)于“空間向量與立體幾何”的比較研究

王梁靜 楊紅萍

摘 要：本文通過(guò)對(duì)新舊課標(biāo)“空間向量與立體幾何”內(nèi)容要求比較分析，發(fā)現(xiàn)新課標(biāo)的內(nèi)容劃分及內(nèi)容要求都更為具體.在此基礎(chǔ)上對(duì)新舊教材“空間向量與立體幾何”的章節(jié)編排、知識(shí)點(diǎn)增減、例習(xí)題配置三個(gè)方面比較分析，發(fā)現(xiàn)新教材更注重知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性，更注重思想方法及核心素養(yǎng)的滲透，且新教材知識(shí)點(diǎn)和例習(xí)題數(shù)量均多于舊教材，新教材例習(xí)題難度高于舊教材.最后提出關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、加強(qiáng)立體幾何中向量方法的教學(xué)等教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：新舊教材；空間向量與立體幾何；比較研究

1 研究背景

2023年5月29日，習(xí)近平總書記在中共中央政治局第五次集體學(xué)習(xí)時(shí)指出，我們建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)的目的，就是培養(yǎng)一代又一代德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人，培養(yǎng)一代又一代在社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)中可堪大用、能擔(dān)重任的棟梁之材，確保黨的事業(yè)和社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)建設(shè)后繼有人.在學(xué)校教育中，教材具有非常重要的地位.從學(xué)生學(xué)的角度看，教材具有興趣激發(fā)和活動(dòng)指導(dǎo)、學(xué)科展示和內(nèi)外銜接等功能；從教師教的角度看，教材具有教學(xué)依據(jù)、資源提供等功能^［1］.

“空間向量和立體幾何”是數(shù)學(xué)教材中的一個(gè)重要部分，在數(shù)學(xué)學(xué)科中具有重要的地位.它為學(xué)生提供了一種解決幾何問(wèn)題的方法和工具，可培養(yǎng)學(xué)生思維能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和創(chuàng)造力等.此外，“空間向量和立體幾何”在生活中有著廣泛的應(yīng)用，涉及到導(dǎo)航、交通規(guī)劃、航空航天等領(lǐng)域，對(duì)整個(gè)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展起著重要的促進(jìn)作用.

本文選取人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1》（2007年2月）（以下簡(jiǎn)稱“舊教材”）和《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》（2020年5月）（以下簡(jiǎn)稱“新教材”）中的“空間向量與立體幾何”進(jìn)行比較.兩版教材編寫所依據(jù)的課程標(biāo)準(zhǔn)分別是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱“舊課標(biāo)”）和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）（注：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中這部分內(nèi)容沒有變化，故本文采用《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）.下面對(duì)新舊課標(biāo)“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容要求比較分析，對(duì)新舊教材“空間向量與立體幾何”的章節(jié)編排、知識(shí)點(diǎn)增減及例習(xí)題配置等比較分析，揭示兩版教材之間的差異，并給出相關(guān)教學(xué)建議.

2 新舊課標(biāo)“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容要求比較

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、教師進(jìn)行教學(xué)的直接依據(jù).相較于舊課標(biāo)，新課標(biāo)在每個(gè)主題“內(nèi)容要求”基礎(chǔ)上增加了“教學(xué)提示”和“學(xué)業(yè)要求”，而“內(nèi)容要求”表明了“學(xué)什么”.下面以新課標(biāo)為基準(zhǔn)，對(duì)比分析新舊課標(biāo)“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容要求.

2.1 新課標(biāo)內(nèi)容劃分更具體

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，舊課標(biāo)“空間向量與立體幾何”中包括兩個(gè)內(nèi)容，分別是“空間向量及其運(yùn)算”及“空間向量的應(yīng)用”.而新課標(biāo)中包括四個(gè)內(nèi)容，分別是“空間直角坐標(biāo)系”“空間向量及其運(yùn)算”“向量基本定理及坐標(biāo)表示”及“空間向量的應(yīng)用”.

內(nèi)容模塊主要有兩個(gè)方面的變化：第一，新課標(biāo)將“空間直角坐標(biāo)系”納入“空間向量與立體幾何”，而舊課標(biāo)“空間直角坐標(biāo)系”位于“平面解析幾何初步”.第二，新課標(biāo)將舊課標(biāo)中“空間向量及其運(yùn)算”這一內(nèi)容拆分為“空間向量及其運(yùn)算”和“向量基本定理及坐標(biāo)表示”兩個(gè)內(nèi)容.這些變化使知識(shí)銜接更加合理，增強(qiáng)了前后知識(shí)的聯(lián)系；且內(nèi)容劃分更加具體，突出了其系統(tǒng)性.

2.2 新課標(biāo)內(nèi)容要求更具體

相較于舊課標(biāo)，新課標(biāo)增加了“了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義”“能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題”兩個(gè)內(nèi)容要求，且關(guān)于“空間向量的應(yīng)用”內(nèi)容要求描述更加具體.第一，空間向量投影概念的建立對(duì)于學(xué)生利用投影向量研究立體幾何有重要意義.第二，新課標(biāo)中突出了向量法和坐標(biāo)法解決立體幾何問(wèn)題的重要作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

3 新舊教材“空間向量與立體幾何”的內(nèi)容比較

在比較分析新舊課標(biāo)的基礎(chǔ)上，對(duì)新舊教材“空間向量與立體幾何”的章節(jié)編排、知識(shí)點(diǎn)增減、例習(xí)題配置三個(gè)方面比較分析，為一線教師運(yùn)用新教材及落實(shí)新課標(biāo)基本理念提供參考.

3.1 章節(jié)編排比較

新舊教材的章節(jié)編排順序以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，反映課標(biāo)所側(cè)重的知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)科知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯.教材章節(jié)的編排順序要符合本學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.新舊教材章節(jié)編排順序有一定的差異，詳見表3-1.

3.1.1 新教材更注重知識(shí)的系統(tǒng)性

章建躍（2019）指出教材體系要體現(xiàn)順序性、連續(xù)性，新教材的結(jié)構(gòu)體系關(guān)注了整體性^{［2］［3］}.通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，新教材中“空間直角坐標(biāo)系”位于選擇性必修第一冊(cè)第一章“空間向量與立體幾何”，而在舊教材中位于必修2第四章“圓與方程”.新教材將此編排，為研究直線、平面的位置關(guān)系及研究距離、夾角問(wèn)題奠定基礎(chǔ).建立了前后知識(shí)的聯(lián)系，突出了“空間向量與立體幾何”章節(jié)的整體性和系統(tǒng)性，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.因此，新教材更注重知識(shí)的系統(tǒng)性.

3.1.2 新教材更注重知識(shí)的邏輯性

新教材打破了原教材的模塊化結(jié)構(gòu)和螺旋式上升安排，使內(nèi)容的邏輯順序更加合理^［4］.邵光華（2019）指出新教材調(diào)整了章節(jié)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，凸顯了知識(shí)間聯(lián)系^［5］.舊教材“空間向量與立體幾何”共兩節(jié)內(nèi)容，而新教材共四節(jié)內(nèi)容，且標(biāo)題明確，邏輯性強(qiáng).具體體現(xiàn)在以下三點(diǎn)：

第一，新教材將“空間向量基本定理”單獨(dú)成節(jié)，而舊教材中該內(nèi)容位于“空間向量及其運(yùn)算”中一節(jié)，且小標(biāo)題為“空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示”.由此可以看出，新教材突出了“空間向量基本定理”的重要性，它是立體幾何問(wèn)題代數(shù)化的基礎(chǔ)，為后兩節(jié)內(nèi)容奠定基礎(chǔ).第二，新教材將“空間直角坐標(biāo)系”納入“空間向量與立體幾何”這一章，使前后知識(shí)形成一個(gè)整體，建立了緊密的聯(lián)系.第三，新教材“空間向量的應(yīng)用”這一節(jié)中，將“用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系”“用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題”作為標(biāo)題呈現(xiàn)，突出了立體幾何中向量法的重要性.綜合以上，新教材中知識(shí)的邏輯性更強(qiáng).

3.1.3 新舊教材均注重?cái)?shù)學(xué)閱讀

新舊教材都包含閱讀與思考欄目，其內(nèi)容都為向量概念的推廣與應(yīng)用.兩版教材均通過(guò)實(shí)際問(wèn)題表示了幾何向量，并推廣到n維向量.此外，兩版教材通過(guò)兩個(gè)實(shí)例闡述向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算、用“距離”解決實(shí)際問(wèn)題.由此可以看出，盡管新舊教材所列舉的例子不同，但閱讀與思考欄目均占了很大篇幅，故新舊教材均注重?cái)?shù)學(xué)閱讀.

3.1.4 新教材中的情境更貼近實(shí)際生活

新舊教材在閱讀與思考欄目，都介紹了向量概念的應(yīng)用，但“用‘距離解決實(shí)際問(wèn)題”所舉的例子不同.舊教材是通過(guò)計(jì)算由燕隼與紅隼體型數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量與標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離，進(jìn)而判斷此類鳥的分類；而新教材是通過(guò)計(jì)算由校服尺寸所構(gòu)成的向量與標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離，進(jìn)而判斷校服尺碼的分類.由此可以看出，新教材中的情境更加貼近學(xué)生的實(shí)際生活.

3.2 知識(shí)點(diǎn)增減比較

數(shù)學(xué)教材知識(shí)點(diǎn)的選取不僅要突出本章的重要內(nèi)容，還要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)的滲透.為了保障劃分知識(shí)點(diǎn)時(shí)減少誤差，以教材中用特殊標(biāo)記標(biāo)注的概念與命題作為知識(shí)點(diǎn)，對(duì)新舊教材“空間向量與立體幾何”所含知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，如表3-2所示.

3.2.1 新教材的知識(shí)點(diǎn)多于舊教材

從表3-2中可以發(fā)現(xiàn)，新教材增加了5個(gè)知識(shí)點(diǎn)，分別是“單位正交基底”“空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示”、證明“直線與平面平行的判定定理”、證明“平面與平面垂直的判定定理”及“用空間向量研究距離和夾角問(wèn)題”.盡管舊教材中涉及了用空間向量研究夾角問(wèn)題，但并沒有采用特殊標(biāo)記標(biāo)注.

3.2.2 新教材更凸顯數(shù)學(xué)思想方法

章建躍（2019）指出“教材特別注意以數(shù)學(xué)核心概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法為紐帶建立內(nèi)容之間的聯(lián)系，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培育理性精神^［3］.”從表3-2中可以看出，新教材增加了“單位正交基底”，體現(xiàn)了特殊與一般的思想方法，知道單位正交基底是特殊的向量基底；增加了“用空間向量研究距離和夾角問(wèn)題”，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，將空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的距離、角度等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以直線的方向向量和平面的法向量為基礎(chǔ)的向量問(wèn)題.故從知識(shí)點(diǎn)的增加情況來(lái)看，新教材更凸顯數(shù)學(xué)思想方法.

3.2.3 新教材更注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)^［6］.新教材增加了“用空間向量研究距離和夾角問(wèn)題”，而距離和角度是立體幾何中的基本度量.通過(guò)求解距離和角度問(wèn)題，可以幫助學(xué)生歸納用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”，并用其解決立體幾何問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3.3 例習(xí)題配置比較

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，除了需要理解知識(shí)點(diǎn)之外，還需做相應(yīng)的例習(xí)題鞏固知識(shí)點(diǎn)，以達(dá)到對(duì)知識(shí)的掌握.數(shù)學(xué)教材中例題具有示范引領(lǐng)、揭示方法、文化育人等功能^［7］.習(xí)題具有鞏固消化新知、綜合運(yùn)用新知、思想方法滲透等功能^［8］.

3.3.1 例習(xí)題數(shù)量比較

若某題目包含多個(gè)小問(wèn)，則按一題計(jì)；若選擇題（或判斷題，或填空題）包含多個(gè)小題（或多個(gè)空），則按一題計(jì).由于新舊教材“空間向量與立體幾何”章節(jié)編排不同，為方便統(tǒng)計(jì)，將其分為“空間向量基礎(chǔ)知識(shí)”和“空間向量的應(yīng)用”兩個(gè)板塊.

通過(guò)統(tǒng)計(jì)比較發(fā)現(xiàn)，新教材例習(xí)題數(shù)量多于舊教材.其中新教材例習(xí)題共124道，舊教材共92道，新教材比舊教材多32道題目.對(duì)于例題數(shù)量，“空間向量的應(yīng)用”這一內(nèi)容新舊教材相差較大，新教材多6道題目；對(duì)于習(xí)題數(shù)量，“空間向量基礎(chǔ)知識(shí)”這一內(nèi)容新教材多9道題目，“空間向量的應(yīng)用”這一內(nèi)容新教材多15道題目；對(duì)于復(fù)習(xí)參考題數(shù)量，新舊教材相差不大.

3.3.2 例習(xí)題題型比較

通過(guò)觀察新舊教材例習(xí)題發(fā)現(xiàn)，其題型主要有選擇題、填空題、判斷題、解答題和證明題.若一道題目中有多個(gè)小題，其中既有解答題又有證明題，則分開計(jì)；若都為解答題或都為證明題，則按一題計(jì).若選擇題（或判斷題，或填空題）中有多個(gè)小題（或多個(gè)空），則按一題計(jì).

（1） 新教材例習(xí)題題型多于舊教材

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，舊教材中沒有填空題和判斷題，而新教材中增加了這兩個(gè)類型的題目，且都位于“空間向量的應(yīng)用”這一節(jié).填空題考查的是在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)、直線、平面分別到平面的距離，即考查運(yùn)用空間向量及其運(yùn)算研究距離問(wèn)題.通過(guò)前面的例題，學(xué)生學(xué)習(xí)了用空間向量解決具體的立體幾何問(wèn)題.之后在練習(xí)題中給出該填空題，題目較簡(jiǎn)單，考慮到了不同能力學(xué)生的需求，且為后兩道題目奠定基礎(chǔ).判斷題考查直線的方向向量和平面的法向量相關(guān)知識(shí)，該題目的設(shè)置可加深學(xué)生對(duì)方向向量和法向量的理解，為后續(xù)的學(xué)習(xí)進(jìn)一步打下基礎(chǔ).

（2） 新教材各題型的題目數(shù)量均多于舊教材

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，新教材每一種題型的數(shù)量均多于舊教材，集中體現(xiàn)在解答題和證明題中.新教材解答題和證明題比舊教材均多16道.通過(guò)鞏固練習(xí)，學(xué)生掌握本章的核心知識(shí)，把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生空間觀念的養(yǎng)成，考查其理性思維能力.

3.3.3 例習(xí)題難度比較

史寧中、郭民（2013）認(rèn)為習(xí)題難度包括習(xí)題背景（B）、習(xí)題性質(zhì)（C）、知識(shí)點(diǎn)含量（Z）三個(gè)維度，其權(quán)重β分別為0.4、0.4、0.2^［9］，每個(gè)難度因素中的等級(jí)賦值依次為1、2、3.習(xí)題難度模型為X=β₁·B+β₂·C+β₃·Z.其中習(xí)題背景包括無(wú)背景、生活與公共常識(shí)背景、科學(xué)背景；習(xí)題性質(zhì)包括模仿、遷移與應(yīng)用、探究；知識(shí)點(diǎn)含量包括1、2-3、4個(gè)及以上.

若一道題目中包含多個(gè)小題，均算作一道題，且習(xí)題性質(zhì)按照最深級(jí)別統(tǒng)計(jì)，所含知識(shí)點(diǎn)以表3-2為準(zhǔn).通過(guò)統(tǒng)計(jì)新舊教材“空間向量與立體幾何”例習(xí)題，得到表3-3.

新教材例習(xí)題難度高于舊教材.通過(guò)觀察表3-3發(fā)現(xiàn)，在習(xí)題背景方面，舊教材較難，這是因?yàn)榕f教材中生活與公共常識(shí)背景、科學(xué)背景相對(duì)較多.但總體來(lái)看，兩版教材例習(xí)題背景大多是純數(shù)學(xué)知識(shí).在習(xí)題性質(zhì)方面，新教材較難，可明顯看出，新教材探究類題目大幅度增加.在分析題目時(shí)發(fā)現(xiàn)，探究類題目集中于“空間向量的應(yīng)用”這一節(jié)，這也反映了新教材更關(guān)注立體幾何中的向量方法.在知識(shí)點(diǎn)含量方面，新教材較難，其涉及2-3、4個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn)所占百分比均有所增加，說(shuō)明新教材更注重知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.通過(guò)計(jì)算得到，新教材例習(xí)題難度X₁=1.595，舊教材例習(xí)題難度X₂=1.5608，即X₁＞X₂.故新教材例習(xí)題難度高于舊教材.

4 教學(xué)建議

基于上述對(duì)新舊課標(biāo)“空間向量與立體幾何”內(nèi)容要求的比較以及對(duì)新舊教材“空間向量與立體幾何”內(nèi)容的比較，給出以下教學(xué)建議.

4.1 關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的概括，是一種文化傳承和發(fā)展^［10］.本章的數(shù)學(xué)思想方法包括數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想.教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要滲透數(shù)學(xué)思想方法，還要關(guān)注學(xué)生能否運(yùn)用這些思想方法，如將任意兩個(gè)空間向量之間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量問(wèn)題等.

4.2 關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力^［6］.本章的核心素養(yǎng)包括直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象.如直觀想象體現(xiàn)在利用向量的幾何表示直觀地理解空間向量的概念及其運(yùn)算等；邏輯推理體現(xiàn)在證明直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理等.

4.3 注重情境創(chuàng)設(shè)和問(wèn)題設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)情境融入數(shù)學(xué)課堂，可激發(fā)學(xué)生求知欲，提高學(xué)習(xí)興趣，且能給學(xué)生提供思考與探索的空間等^［11］.新教材本章例習(xí)題中所涉及的大都是數(shù)學(xué)情境.教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)相關(guān)現(xiàn)實(shí)情境或科學(xué)情境，并設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題，使學(xué)生感受空間向量在生活中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想方法解決問(wèn)題.

4.4 注重學(xué)科間及知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性

在課程與教學(xué)中運(yùn)用好跨學(xué)科思維是強(qiáng)化學(xué)科育人的重要途徑，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科的跨界、融合可以更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高^［12］.在本章教學(xué)中，教師要注重挖掘相關(guān)跨學(xué)科知識(shí).如本章的章頭圖展示的是做滑翔傘運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景，聯(lián)想用平面向量解決物理問(wèn)題的方法，將平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔傘運(yùn)動(dòng).此外，還需注重知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，如向量方法與綜合幾何方法的共性與差異；用向量法證明所學(xué)過(guò)的“平面與平面平行的判定定理”等.

4.5 加強(qiáng)立體幾何中向量方法的教學(xué)

本章的教學(xué)，特別是“空間向量的應(yīng)用”的教學(xué)，應(yīng)注意把具體的立體幾何問(wèn)題作為學(xué)習(xí)向量方法的載體，通過(guò)問(wèn)題的解決加深對(duì)向量法和立體幾何內(nèi)容的理解^［13］.不管是新課標(biāo)中“空間向量的應(yīng)用”的內(nèi)容要求，還是新教材知識(shí)點(diǎn)增減及例習(xí)題配置情況，都可看出新教材更注重立體幾何中的向量方法.教學(xué)時(shí)要結(jié)合例習(xí)題，強(qiáng)調(diào)綜合運(yùn)用向量及其運(yùn)算解決幾何問(wèn)題.

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