從數(shù)感到符號(hào)感，發(fā)展學(xué)生抽象能力

高峰官 王國(guó)強(qiáng)

［摘? 要］ 數(shù)感與符號(hào)感既有區(qū)別，又有密切聯(lián)系. 初中“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)正是學(xué)生由數(shù)感形成符號(hào)感，發(fā)展抽象思維的關(guān)鍵時(shí)期. 教師要善于引導(dǎo)學(xué)生用字母表示數(shù)，把握數(shù)與代數(shù)運(yùn)算法則之間的內(nèi)在統(tǒng)一性，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化數(shù)感、強(qiáng)化符號(hào)感，提升學(xué)生的抽象思維能力與運(yùn)算推理能力，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)感；符號(hào)感；抽象思維；運(yùn)算能力；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》引領(lǐng)著我國(guó)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐與改革的深入. 初中數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，主要包括三個(gè)方面：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí). 在數(shù)與代數(shù)模塊的學(xué)習(xí)中，主要就是培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力和學(xué)生的運(yùn)算能力. 抽象思維能力是數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)表達(dá)的基礎(chǔ)與前提，抽象思維能力主要包括學(xué)生的數(shù)感、量感與符號(hào)意識(shí).

正確理解數(shù)感與符號(hào)感的內(nèi)涵

數(shù)感的培養(yǎng)始于小學(xué)，在初中階段需要進(jìn)一步優(yōu)化與深化. 數(shù)感是學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的基礎(chǔ)能力與素養(yǎng). 數(shù)感主要是指對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟，學(xué)生能夠在真實(shí)情景中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)與事物的順序，能在簡(jiǎn)單的真實(shí)情境中進(jìn)行合理的估算并做出合理的判斷，能初步體會(huì)和表達(dá)事物所蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單數(shù)量規(guī)律. 數(shù)感是形成抽象思維能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，也是學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)的基礎(chǔ).

符號(hào)感，即符號(hào)意識(shí)，也是始于小學(xué)階段，在初中階段同樣需要進(jìn)一步發(fā)展. 符號(hào)感主要是能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能，即知道符號(hào)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義，能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系，并進(jìn)行運(yùn)算和表達(dá)一般規(guī)律；知道用符號(hào)表達(dá)的規(guī)律具有一般性. 初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)與數(shù)學(xué)思考的重要形式，符號(hào)意識(shí)是形成抽象能力與推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).

抽象能力主要是指數(shù)感、量感與符號(hào)感. 抽象能力是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象能力，在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中，主要是對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則和方法的能力. 要求學(xué)生能夠從實(shí)際情境或跨學(xué)科的問(wèn)題中抽象出核心變量，探尋變量的規(guī)律及變量間的關(guān)系；能夠從具體問(wèn)題中概括出一般性結(jié)論，形成數(shù)學(xué)的方法與策略，并在此過(guò)程中感悟到數(shù)學(xué)抽象對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的作用，形成數(shù)學(xué)想象力.

可見，從數(shù)感到符號(hào)感，既是對(duì)數(shù)感的強(qiáng)化，又是學(xué)生抽象思維能力的進(jìn)一步提升.

理性分析初中生數(shù)感與符號(hào)感培養(yǎng)的困惑

學(xué)生在初一數(shù)學(xué)起始階段，主要是數(shù)與式的學(xué)習(xí). 這一部分的學(xué)習(xí)是建立在小學(xué)形象思維的基礎(chǔ)上的，是對(duì)小學(xué)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深入. 在初中數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，教師需要進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，通過(guò)引入字母表示數(shù)，建立和優(yōu)化學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，從而進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力.

部分學(xué)生從小學(xué)升入初中，顯示出了很多不習(xí)慣和不適應(yīng)，主要體現(xiàn)在：（1）不能很好地掌握有理數(shù)混合運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程不清晰，正確率不高；（2）不能靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算；（3）對(duì)運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果缺少元認(rèn)知判斷能力，不能做出直覺的評(píng)判；（4）不能熟練地從特殊到一般用字母表示數(shù)學(xué)規(guī)律；（5）學(xué)生感到學(xué)習(xí)節(jié)奏太快，每天都在學(xué)習(xí)新的內(nèi)容，知識(shí)消化不及時(shí)，力不從心，分化現(xiàn)象比較明顯. 這些現(xiàn)象所反映的核心問(wèn)題是學(xué)生抽象思維能力不夠，主要體現(xiàn)在：（1）學(xué)生的數(shù)感比較薄弱；（2）學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)感不強(qiáng)；（3）教學(xué)中教師沒有滲透好從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，沒有引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)感與符號(hào)感自然融合，學(xué)生沒有把握好其中的內(nèi)在聯(lián)系.

其實(shí)，在七年級(jí)，學(xué)生從有理數(shù)到代數(shù)式的學(xué)習(xí)，主要是優(yōu)化學(xué)生的數(shù)感，幫助學(xué)生建立符號(hào)意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展，這是發(fā)展學(xué)生抽象思維能力和運(yùn)算能力的必由階段和關(guān)鍵時(shí)期. 教師在教學(xué)中要充分認(rèn)識(shí)到這一內(nèi)容的啟領(lǐng)性、重要性和復(fù)雜性，重視數(shù)與代數(shù)之間的銜接，在數(shù)感的升華中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，為提升學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯推理能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

優(yōu)化數(shù)感、強(qiáng)化符號(hào)感，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力

1. 關(guān)注生活中數(shù)與符號(hào)的運(yùn)用

數(shù)感與數(shù)字有關(guān)，數(shù)感的形成自然離不開數(shù)字. 生活中我們離不開數(shù)字與圖形，數(shù)學(xué)已成為人們表達(dá)與交流的工具. 生活中會(huì)用到許多符號(hào)，有時(shí)數(shù)字與符號(hào)結(jié)合在一起使用，所以我們既要讀懂?dāng)?shù)字，又要讀懂符號(hào)信息，并分析其中的含義，這是一種生活技能與常識(shí)，也是體現(xiàn)思考能力的一個(gè)重要方面.

例如，圖1是一張南京到上海的車票，其中包含了哪些信息？教師可引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察，從車票中發(fā)現(xiàn)車次、座號(hào)、票價(jià)、開車時(shí)間、條形碼等信息，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)所提供的信息以及給生活帶來(lái)的便利. 這體現(xiàn)了數(shù)字應(yīng)用的廣泛性.

顯然，讀懂一個(gè)由數(shù)與符號(hào)相結(jié)合的圖形，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察能力與抽象能力. 教師要引導(dǎo)學(xué)生做生活中的有心人，如提問(wèn)：你還能從某件產(chǎn)品的條形碼中，獲取相關(guān)信息嗎？這樣的交流活動(dòng)，能引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，體驗(yàn)數(shù)字、字母、符號(hào)與生活的密切聯(lián)系，而不是將數(shù)與符號(hào)孤立起來(lái)分析，這樣便可在學(xué)習(xí)與生活中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感與符號(hào)感，并提升他們的觀察力、抽象力和理解力.

2. 重視數(shù)字與數(shù)學(xué)規(guī)律的探究

在七年級(jí)數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到探尋數(shù)字規(guī)律的問(wèn)題，如月歷中數(shù)字之間的內(nèi)在關(guān)系問(wèn)題. 為了弄明白數(shù)字之間的關(guān)系，我們常采用以下方法：先看幾組具體數(shù)字，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系，然后歸納猜想，用字母表示數(shù)，從而在一般情形下厘清數(shù)字之間的內(nèi)在聯(lián)系. 這就是從數(shù)感到符號(hào)感的拓展，是一種思維上質(zhì)的飛躍，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象思維能力的提升.

例如，大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2023，則m的值是45.

這是一道數(shù)字規(guī)律探究題，訓(xùn)練的是學(xué)生的觀察能力. 從數(shù)到用字母表示，從特殊到一般，再由一般到特殊的過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，強(qiáng)化了學(xué)生的符號(hào)感，發(fā)展了學(xué)生的抽象思維能力.

3. 重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)換

學(xué)生抽象能力的提升體現(xiàn)在其善用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 數(shù)學(xué)語(yǔ)言通常有三種形式：文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言. 要學(xué)好數(shù)學(xué)，就要學(xué)會(huì)這三種語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)換，這也是七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一. 在數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)中，圖形相對(duì)較少，但也有三種語(yǔ)言的互換. 如完全平方公式和平方差公式的推導(dǎo)與呈現(xiàn)，就是文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化中涉及數(shù)、數(shù)量關(guān)系與數(shù)學(xué)符號(hào). 數(shù)學(xué)符號(hào)有性質(zhì)符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)，還有其他數(shù)學(xué)符號(hào)等，轉(zhuǎn)化過(guò)程能發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，強(qiáng)化學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的抽象能力、推理能力和表達(dá)能力，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)更簡(jiǎn)潔，數(shù)學(xué)思維更快捷.

在列代數(shù)式（用文字語(yǔ)言描述的數(shù)量關(guān)系）的過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)感及抽象能力得到了發(fā)展. 如這樣一道數(shù)學(xué)題：對(duì)于5a+6b，你能給出其實(shí)際意義嗎？這是由符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言的開放性問(wèn)題. 有學(xué)生說(shuō)：一支鋼筆a元，一本練習(xí)冊(cè)b元，買5支鋼筆和6本練習(xí)冊(cè)的總價(jià)為（5a+6b）元；有學(xué)生說(shuō)：小明和小亮分別從小橋的兩頭相向而行，小明每步走a米，小亮每步走b米，小明走了5步、小亮走了6步后，兩人相遇，則小橋的長(zhǎng)度為（5a+6b）米；還有學(xué)生說(shuō)：1個(gè)邊長(zhǎng)為a cm的正五邊形與1個(gè)邊長(zhǎng)為b cm的正六邊形的周長(zhǎng)之和為（5a+6b）厘米. 數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系和對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)識(shí). 學(xué)生在給代數(shù)式“5a+6b”賦予實(shí)際意義時(shí)，能進(jìn)一步領(lǐng)悟到“5a+6b”可以理解為一種數(shù)學(xué)模型，從而發(fā)展數(shù)學(xué)模型思想.

4.正確理解數(shù)學(xué)符號(hào)規(guī)定的合理性

在數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展過(guò)程中，很多數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)建和形成都由數(shù)學(xué)家們對(duì)新運(yùn)算符號(hào)的大膽創(chuàng)新和巧妙引入帶來(lái)的. 如零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定，促進(jìn)了數(shù)的運(yùn)算的內(nèi)在統(tǒng)一和諧美. 對(duì)新運(yùn)算符號(hào)的理解與運(yùn)用，可以加深學(xué)生的數(shù)感與符號(hào)意識(shí). 為了進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生深入理解和形成符號(hào)化的學(xué)習(xí)策略，在代數(shù)運(yùn)算教學(xué)中，教師除了讓學(xué)生熟知常規(guī)運(yùn)算符號(hào)外，還可以引導(dǎo)學(xué)生大膽定義新的運(yùn)算符號(hào).

后一個(gè)例子涉及高中課程中的行列式定義，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)其代表一種新的運(yùn)算符號(hào). 對(duì)于這樣的運(yùn)算符號(hào)，七年級(jí)的學(xué)生能夠接受，這能在不知不覺中為后續(xù)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊. 教學(xué)時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生正確理解運(yùn)算符號(hào)的內(nèi)涵. 當(dāng)學(xué)生真正理解了，教師便可進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：“你可以規(guī)定一種新的運(yùn)算符號(hào)，并編出相應(yīng)的試題嗎？”一石激起千層浪，學(xué)生的思維很快被激活，他們會(huì)規(guī)定出很多有趣的、富有創(chuàng)意的運(yùn)算符號(hào)，并在此基礎(chǔ)上編出新的運(yùn)算式. 這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)感與符號(hào)意識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力與創(chuàng)新思維能力.

可見，在“數(shù)與代數(shù)”模塊的學(xué)習(xí)中，學(xué)生既需要進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算，又需要進(jìn)行代數(shù)式的加減運(yùn)算. 通過(guò)用字母表示數(shù)，由特殊到一般，可將兩者統(tǒng)一起來(lái)，并都?xì)w結(jié)為有理數(shù)的運(yùn)算. 在數(shù)與代數(shù)式的深入學(xué)習(xí)與思考中，學(xué)生的數(shù)感得到了進(jìn)一步優(yōu)化，符號(hào)意識(shí)得到了進(jìn)一步增強(qiáng). 在運(yùn)算訓(xùn)練中，學(xué)生的抽象思維能力、運(yùn)算能力及推理能力得到了培養(yǎng)，提升了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).