前后一致 邏輯連貫：“數(shù)據(jù)的分析”單元設計

岳紹杰 于彬 王鳳欣 蔣立國

［摘? 要］ 文章以“數(shù)據(jù)的分析”一章為例，在“內(nèi)容及其解析、教學目標及其解析、教學問題診斷分析、教學支持條件分析”的基礎上給出單元整體設計，并指出：單元整體設計應該體現(xiàn)知識的系統(tǒng)性和連貫性，突出邏輯連貫和前后一致，因此教學中教師應力求將所學內(nèi)容統(tǒng)一在具體情境中，引導學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、判斷和選擇整個過程.

［關鍵詞］ 概率與統(tǒng)計；數(shù)據(jù)分析；數(shù)據(jù)觀念；平均數(shù)；方差

數(shù)學教育承載著立德樹人根本任務、實施素質(zhì)教育的功能. 義務教育數(shù)學課程應使學生通過數(shù)學學習，形成和發(fā)展面向未來社會和個人所需的核心素養(yǎng). 核心素養(yǎng)是在學習過程中逐漸形成和發(fā)展的. 對單元內(nèi)容進行分析、整合、重組，形成相對完整的教學結(jié)構(gòu)單元，開展單元教學，可以體現(xiàn)整體性、連貫性、結(jié)構(gòu)性、遞進性，有助于提高教學效率［1］.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《課標2022》）將義務教育階段的數(shù)學內(nèi)容分為四個領域，分別是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐［2］. 其中，統(tǒng)計與概率領域由統(tǒng)計和概率兩部分組成，統(tǒng)計是概率學習的基礎，概率是統(tǒng)計學習的延伸，統(tǒng)計部分主要由數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、表達等幾部分內(nèi)容構(gòu)成，概率則由初步認識和進一步認識兩部分內(nèi)容構(gòu)成.

《課標2022》對義務教育階段的數(shù)學核心素養(yǎng)進行了系統(tǒng)闡述. 與“統(tǒng)計與概率”領域?qū)暮诵乃仞B(yǎng)是數(shù)據(jù)觀念，主要是指對數(shù)據(jù)的意義和隨機性有比較清晰的認識. 本環(huán)節(jié)內(nèi)容的學習是小學階段數(shù)據(jù)意識素養(yǎng)的延伸，更為高中階段數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的達成奠定堅實的基礎.

以魯教版教材為例，數(shù)據(jù)的收集和整理位于六年級下冊，數(shù)據(jù)的分析位于八年級上冊，在主體內(nèi)容學習過程中滲透數(shù)據(jù)的描述，以及利用各種統(tǒng)計圖表刻畫數(shù)據(jù)，進而展現(xiàn)在圖表觀察和精準計算的基礎上做出判斷的數(shù)據(jù)觀念形成的完整過程，側(cè)重于對數(shù)據(jù)意義的理解，而對隨機性的認識則在概率的學習過程中漸次形成.

教材整體結(jié)構(gòu)如圖1所示.

內(nèi)容及其解析

1. 內(nèi)容

“數(shù)據(jù)的分析”是魯教版教材八年級上冊第三章的教學內(nèi)容，主要由平均數(shù)（2課時）、中位數(shù)與眾數(shù)（1課時）、從統(tǒng)計圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢（1課時）、數(shù)據(jù)的離散程度（2課時）、回顧與思考（1課時）構(gòu)成，共計5節(jié)7課時.

2. 內(nèi)容解析

“數(shù)據(jù)的分析”是數(shù)據(jù)收集和整理過程的延續(xù)，是后續(xù)做出判斷和對數(shù)據(jù)進行表達的關鍵環(huán)節(jié)，更是數(shù)據(jù)觀念形成的重中之重. 教學中教師務必引導學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和表達的整個過程，為數(shù)據(jù)觀念核心素養(yǎng)的培育貢獻一分力量.

第一節(jié)“平均數(shù)”由兩個課時構(gòu)成，第1課時通過具體的例子，使學生在小學階段平均數(shù)認識的基礎上，初步感知學習加權平均數(shù)的必要性；第2課時，通過具體的實例進一步感受加權平均數(shù)在現(xiàn)實生活中應用的廣泛性，同時感受“權”對數(shù)據(jù)分析（做出判斷）的重要影響.

第二節(jié)是“中位數(shù)與眾數(shù)”，這節(jié)課在第一節(jié)初步感受刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢（平均數(shù)）的基礎上，通過實例進一步感受中位數(shù)和眾數(shù)在描述數(shù)據(jù)集中趨勢過程中所發(fā)揮的重要作用. 同時，結(jié)合具體實例感受三個統(tǒng)計量的典型特點.

第三節(jié)“從統(tǒng)計圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢”是前兩節(jié)內(nèi)容的延續(xù)，前兩節(jié)內(nèi)容重在通過精準計算得到數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來判斷數(shù)據(jù)的集中趨勢，本課時則是在觀察各種統(tǒng)計圖表的基礎上，結(jié)合三個統(tǒng)計量的典型特點，進而做出判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想.

第四節(jié)“數(shù)據(jù)的離散程度”有兩個課時，本節(jié)內(nèi)容融統(tǒng)計圖觀察和數(shù)據(jù)精準計算于一體，在觀察中發(fā)現(xiàn)刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量，在計算中感受極差、方差和標準差的合理性，進一步完善學生數(shù)據(jù)分析的知識儲備和相關能力，為后續(xù)準確表達數(shù)據(jù)、做出判斷奠定基礎.

第五節(jié)是“回顧與思考”，這里以問題串的形式幫助學生構(gòu)建整章的知識體系，繪制知識網(wǎng)或知識樹，引導學生將本章內(nèi)容納入原有知識體系，形成完整的數(shù)據(jù)收集、整理、分析和表達的過程，從而很好地培育學生的數(shù)據(jù)觀念素養(yǎng).

本章內(nèi)容整體結(jié)構(gòu)如圖2所示.

數(shù)形結(jié)合是本章滲透的一個重要數(shù)學思想. 學生首先通過觀察統(tǒng)計圖表初步感受數(shù)據(jù)的集中和離散趨勢；然后通過具體的數(shù)據(jù)，結(jié)合具體的公式，獲得相應統(tǒng)計量的準確數(shù)值；最后將觀察獲得的結(jié)論和計算獲得的結(jié)論進行比較，感受“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”的精妙所在. 所以本章知識是滲透數(shù)形結(jié)合思想的良好載體，教師教學時應引起足夠的重視.

本章需要學生在對紛繁復雜的數(shù)據(jù)收集和整理的基礎上進行分析，進而做出判斷，這對培育學生理性精神和嚴謹態(tài)度起著重要的作用. 為此，教學中需要教師提供真實的情境和數(shù)據(jù)，引導學生經(jīng)歷知識發(fā)生和發(fā)展的整個過程，引導學生在分析問題和解決問題的基礎上提出問題和發(fā)現(xiàn)問題，從而實現(xiàn)“兩能”到“四能”的重大突破.

通過上述分析可將本章的教學重點確定為：

在問題解決過程中感受平均數(shù)（算術平均數(shù)和加權平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差等統(tǒng)計量對數(shù)據(jù)集中趨勢和波動程度的刻畫，并掌握各種統(tǒng)計量的典型特點.

教學目標及其解析

《課標2022》對本章的要求如下：理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權平均數(shù)，知道它們是對數(shù)據(jù)集中趨勢的描述. 體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會計算一組簡單數(shù)據(jù)的離差平方和、方差. 與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》相比，增加了對中位數(shù)和眾數(shù)意義的理解；增加了計算一組數(shù)據(jù)的離差平方和，這些變化可以感受到《課標2022》對本章內(nèi)容提出了更高的要求，以適應大數(shù)據(jù)時代對學生提出的更高要求.

1. 單元目標

通過上述分析，可確定本單元的教學目標為：

（1）結(jié)合具體情境，在前期數(shù)據(jù)收集和整理的基礎上，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的全過程.

（2）在問題解決過程中感受平均數(shù)（算術平均數(shù)和加權平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標準差等統(tǒng)計量對數(shù)據(jù)集中趨勢和波動程度的刻畫，并掌握各種統(tǒng)計量的典型特點，初步體會它們在不同情境中的應用；知道權的差異對平均數(shù)的影響，能用加權平均數(shù)解釋現(xiàn)實生活中一些簡單的現(xiàn)象.

（3）結(jié)合條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖等各種統(tǒng)計圖表直觀感受各種統(tǒng)計量對數(shù)據(jù)集中趨勢和波動程度的描述，體會其合理性和必要性.

2. 目標解析

教學目標（1）達成的標志是：學生借助教師提供的具體情境，以自主探究和小組合作的形式對數(shù)據(jù)進行分析，并能對現(xiàn)實生活中的具體例子進行解釋，初步實現(xiàn)“三會”（會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界）.

教學目標（2）達成的標志是：在數(shù)據(jù)收集和整理的基礎上，會計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差和標準差；并能用計算（分析）獲得的數(shù)據(jù)解釋現(xiàn)實生活中的實際問題，進一步感受“數(shù)學來源于生活，又服務于生活”.

教學目標（3）達成的標志是：感受數(shù)學思維的嚴謹性，在問題解決過程中將數(shù)據(jù)計算和圖表觀察相結(jié)合，進一步體會各種統(tǒng)計量的典型特點，并在實際問題的解決中可以靈活選擇相關統(tǒng)計量.

教學問題診斷分析

1. 學生已有基礎分析

在信息技術不斷發(fā)展的社會，特別是大數(shù)據(jù)時代的來臨，時刻要求我們要在紛繁復雜的數(shù)據(jù)中獲取有用的信息，進而做出合理的判斷與選擇. 在學生的生活和整個學習過程中，數(shù)據(jù)的分析貫穿始終，高中階段更是將數(shù)據(jù)分析作為六大核心素養(yǎng)之一，可見數(shù)據(jù)的分析對學生生活和學習來說非常重要.

學生在1-5年級已經(jīng)經(jīng)歷了“簡單數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程”（《課標2022》將其改為：數(shù)據(jù)的收集、整理與表達，是對“數(shù)據(jù)分類”的進一步學習），對本章所學內(nèi)容已經(jīng)有了簡單的認識；進入六年級，學生經(jīng)歷了更為完整的數(shù)據(jù)收集過程，并對數(shù)據(jù)進行了初步的整理，能用適當?shù)膱D表反映數(shù)據(jù)信息.

結(jié)合《課標2022》，與數(shù)據(jù)的分析有關內(nèi)容的比較如表1所示.

通過上面的分析可以看出，學生經(jīng)過第二學段和第三學段的學習，對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和表達已經(jīng)有了初步的認識，同時對各種統(tǒng)計圖表也有了初步的了解，這就為第四學段相關內(nèi)容的進一步學習奠定了堅實的基礎.

2. 學生基礎與目標的差距

學生雖然在小學階段掌握了數(shù)據(jù)分析的簡單方法，進入初中則對相關內(nèi)容提出了更高的要求，學生在學習過程中實際情況可能與預期目標存在差距，所以需要“具體問題具體分析”. 學生基礎與目標差距的比較如表2所示.

3. 教學難點

通過上述分析，可確定本章的教學難點是：

在真實情景中，在具體問題中，在復雜數(shù)據(jù)中，切實感受各種統(tǒng)計量對數(shù)據(jù)分析的刻畫，以及各種統(tǒng)計圖表對各種統(tǒng)計量的描述.

教學支持條件分析

由于學生處于大數(shù)據(jù)時代，每天都面臨著對紛繁復雜的數(shù)據(jù)做出判斷和選擇，只是身在其中，沒有察覺. 為此，教學中教師應該為學生呈現(xiàn)多樣的情境，讓學生在真實、具體的情境中，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的完整過程. 筆者認為，應提倡布置前置作業(yè)，引導學生在課前以小組或個人的形式對數(shù)據(jù)進行收集和整理，課堂中再進行數(shù)據(jù)分析，隨后根據(jù)分析結(jié)果做出判斷和選擇. 基于此，教師還應該為學生提供長作業(yè)，引導他們結(jié)合現(xiàn)實生活中的真實情境和實際需要開展項目式學習和綜合實踐活動.

由于數(shù)據(jù)紛繁復雜，所以教學中教師可在計算方面為學生提供支持，比如提供計算器，引導學生采用計算器的統(tǒng)計功能方便求出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；甚至在教學中可以嘗試用計算機等現(xiàn)代化手段進行數(shù)據(jù)的處理和分析. 特別地，在實際教學中，教師還可以對EXCEL表格的計算功能進行簡單介紹，引導學生感受相關軟件為數(shù)據(jù)處理帶來的方便，以激發(fā)學生的學習興趣.

單元整體設計

為了更好地進行單元整體設計，體現(xiàn)知識的系統(tǒng)性和連貫性，突出邏輯連貫和前后一致，下面以魯教版教材為藍本，借鑒人教版教材部分處理方式，在教材比較的基礎上給出單元整體設計，為此對這兩個版本教材相關內(nèi)容進行比較，詳見表3.

通過上述比較可以看出，兩個版本教材在內(nèi)容設置和問題處理上方式基本一致，都是通過具體情境引導學生感受數(shù)據(jù)的集中趨勢和數(shù)據(jù)的波動程度，將數(shù)據(jù)計算和圖表觀察統(tǒng)一起來，引導學生感受統(tǒng)計圖表的直觀性和數(shù)據(jù)計算的嚴謹性. 基于此，本章教學力求將所學內(nèi)容統(tǒng)一在具體情境中，引導學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、判斷和選擇的整個過程，簡單思路如下.

（1）給出某一具體情境，引導學生自主發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，確定調(diào)查方向，設計調(diào)查問卷等，為數(shù)據(jù)收集提供基礎（前置作業(yè)，課前完成）.

（2）對收集的數(shù)據(jù)進行整理，可以是在小學階段學習的簡單統(tǒng)計表格，也可以是進入初中后學習的條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖等（前置作業(yè)，課前完成）.

（3）引導學生在觀察圖表的基礎上做出初步判斷，并提出問題“如何讓判斷更加精準（或誰更好，誰更穩(wěn)定等）”，從而引出統(tǒng)計量學習的必要性（通過具體情境的分析，給出相關“問題串”的解答，并沿用相同的背景. 為此，在課后作業(yè)設計中同樣采用一條主線，圍繞本節(jié)課所學，以及下節(jié)課將要學習的內(nèi)容進行呈現(xiàn)，作業(yè)設計中同樣體現(xiàn)“前后一致和邏輯連貫”）.

（4）在實際問題解決過程中感受統(tǒng)計量提出的合理性，經(jīng)歷探索過程，通過“為何引入加權平均數(shù)？方差公式是如何得到的”等大問題開展具體教學.

（5）再次回歸統(tǒng)計圖表，能夠通過統(tǒng)計圖表去計算各種統(tǒng)計量.

（6）做出判斷和選擇，并不斷提出改進措施，完善相應方案，進一步為決策提供數(shù)據(jù)支持（長作業(yè)，貫穿本章學習的整個過程）.

在此基礎上，重新劃分課時，共計6個課時，如表4所示.

上述單元設計體現(xiàn)了內(nèi)容的一致性和連貫性，符合單元設計的基本理念，歡迎更多的一線教師參與進來，給出更多合理、有效的設計，為初中數(shù)學教學貢獻一分自己的力量.

參考文獻：

［1］章建躍. 課堂教學要注重數(shù)學的整體性［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2013（05）：66.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.