遵循建模規(guī)律　 培養(yǎng)建模素養(yǎng)

張曉笑 郭美華

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，教師應(yīng)基于建模規(guī)律，按照“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—探究問(wèn)題—解決問(wèn)題—模型初現(xiàn)—模型完善—模型建立—模型應(yīng)用”的環(huán)節(jié)展開(kāi)教學(xué)，尤其要重視“探究問(wèn)題”和“模型完善”兩個(gè)環(huán)節(jié). 基于建模規(guī)律進(jìn)行“古典概型”的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)遵循模型的生成規(guī)律，注重學(xué)生的思維參與，拓寬模型的應(yīng)用領(lǐng)域，著力培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；古典概型；核心素養(yǎng)

問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)中必不可少的工具，其“源于生活，歸于生活”的特點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了很高的要求. 數(shù)學(xué)建模是從“實(shí)際問(wèn)題”到“用數(shù)學(xué)”的一個(gè)復(fù)雜的綜合性過(guò)程［1］. 若將整個(gè)世界劃分為現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界，那么數(shù)學(xué)建模便可以將兩個(gè)世界打通并建立聯(lián)系［2］. 因此，數(shù)學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科“工具性”要求的必要手段. 作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)按照新課標(biāo)的要求，基于數(shù)學(xué)建模規(guī)律設(shè)計(jì)與開(kāi)展高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

古典概型是最簡(jiǎn)單的概率模型，也是高中生學(xué)習(xí)概率相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)模型，是培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)的重要載體. 當(dāng)前，古典概型教學(xué)常見(jiàn)的設(shè)計(jì)思路是：歷史背景導(dǎo)入—明確概念形成模型—應(yīng)用模型解決問(wèn)題—課堂小結(jié). 其中，在“明確概念形成模型”環(huán)節(jié)，部分教師對(duì)樣本空間中的樣本點(diǎn)的“有限性”和“等可能性”進(jìn)行簡(jiǎn)單說(shuō)明后便提出古典概型的概念，再就是概念應(yīng)用. 這種“順利”的建模過(guò)程有可能造成學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)效果“大打折扣”.? 其一，在建模過(guò)程中，學(xué)生只是對(duì)具體事例本身進(jìn)行了討論，通過(guò)歸納其樣本空間中的樣本點(diǎn)的“有限性”和“等可能性”，直接得出古典概型的概念后就是概率計(jì)算. 而事實(shí)上，得到古典概型的概念應(yīng)該是探究活動(dòng)結(jié)束后的一種成果，而不是探究活動(dòng)的起始. 其二，模型一經(jīng)建立就“完美”，缺乏檢驗(yàn)與完善模型的過(guò)程. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模并非從“現(xiàn)實(shí)情境”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)模型”的單向線性過(guò)程，而是建立真實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界之間可逆的聯(lián)系，關(guān)注抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題與解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程［3］. 這意味著，數(shù)學(xué)建模需要不斷地從數(shù)學(xué)世界返回真實(shí)世界中檢驗(yàn)結(jié)果、完善模型［4］. 因此，古典概型的教學(xué)應(yīng)遵循模型的生成規(guī)律，按照“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—探究問(wèn)題—解決問(wèn)題—模型初現(xiàn)—模型完善—模型建立—模型應(yīng)用”的環(huán)節(jié)展開(kāi)教學(xué)（見(jiàn)圖1）.

基于建模過(guò)程的“古典概型”的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 情境導(dǎo)入，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

教師導(dǎo)入情境：據(jù)說(shuō)，意大利醫(yī)生兼數(shù)學(xué)家卡當(dāng)曾經(jīng)研究過(guò)一種賭博方法——把兩顆質(zhì)地均勻的骰子擲出去，以每顆骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和作為賭博的內(nèi)容. 已知骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1～6點(diǎn). 那么，賭注下在多少點(diǎn)上最有利？

學(xué)生饒有興趣地進(jìn)行猜想，當(dāng)學(xué)生充分表達(dá)自己的意見(jiàn)后，教師展示課前部分學(xué)生“拋骰子”的結(jié)果（見(jiàn)圖2）.

教師提問(wèn)：哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)最多？學(xué)生一致回答“和為7”. 教師指出，按照初中所學(xué)知識(shí)可以認(rèn)為，上述賭博游戲中，“點(diǎn)數(shù)和為7”的可能性最大.為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)行學(xué)習(xí)和思考.

2. 小組合作，探究問(wèn)題

教師提示，研究事件出現(xiàn)的可能性，應(yīng)該從該試驗(yàn)的樣本空間著手，因?yàn)闃颖究臻g含有一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果.教師通過(guò)PPT展示“拋擲兩顆骰子朝上點(diǎn)數(shù)”的樣本空間（見(jiàn)表1）. 讓學(xué)生根據(jù)樣本空間合作探究：為什么“點(diǎn)數(shù)和為7”的可能性最大？

3. 整合觀點(diǎn)，解決問(wèn)題

經(jīng)充分討論，學(xué)生初步形成自己的觀點(diǎn)：樣本空間共有36個(gè)樣本點(diǎn)，其中“點(diǎn)數(shù)和為7”的樣本點(diǎn)有6個(gè)，比和為其他值的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)多，所以“點(diǎn)數(shù)和為7”的可能性最大.

教師充分肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并追問(wèn)：“同學(xué)們初步找到了分析隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的方法.在上述樣本空間中，‘點(diǎn)數(shù)和為2’的樣本點(diǎn)只有1個(gè).而拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其朝上一面的情況，發(fā)現(xiàn)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間包括正、反兩個(gè)樣本點(diǎn)，其中‘正面朝上’的樣本點(diǎn)也只有1個(gè).請(qǐng)問(wèn)：‘拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)和為2’的可能性與‘拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上’的可能性相等嗎？”“大家能借助路程與速度的關(guān)系對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行討論嗎？”

學(xué)生指出：路程相同并不代表速度相同，還要關(guān)注時(shí)間. 類似地，兩個(gè)隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，不代表它們發(fā)生的可能性相同，還與樣本空間中的樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)有關(guān)系.

教師追問(wèn)：類比速度的計(jì)算方式，你能將隨機(jī)事件發(fā)生的可能性用一個(gè)數(shù)值來(lái)表示嗎？

學(xué)生思考后指出：用隨機(jī)事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)占樣本空間包含的樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)的比值表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小.

教師充分肯定學(xué)生的創(chuàng)新思維、類比思維，讓學(xué)生按照剛才的觀點(diǎn)分別計(jì)算拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)和為2，3，…，12的可能性大小，并據(jù)此說(shuō)明“點(diǎn)數(shù)和為7”的可能性最大的理由.

4. 數(shù)學(xué)抽象，模型初現(xiàn)

教師引導(dǎo)學(xué)生從上述具體事例中抽象出數(shù)學(xué)模型：一般地，事件A發(fā)生的可能性大小稱為概率. 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則

此處，教師不急于將該模型命名為“古典概型”，而將重點(diǎn)放在概率的計(jì)算方面，幫助學(xué)生初步理解該模型下概率的計(jì)算原理.教師舉學(xué)生熟悉的例子以簡(jiǎn)單應(yīng)用，如下所示：

人類白化病基因（a）是正?；颍ˋ）的隱性，白化病是常染色體隱性遺傳病. 一個(gè)家庭中父母雙方均為正常，但因缺乏優(yōu)生優(yōu)育知識(shí)，不幸生育了一個(gè)白化病孩子. 請(qǐng)通過(guò)已知信息計(jì)算：父母雙方再次生育一個(gè)健康孩子的概率.

5. 初步應(yīng)用，模型完善

教師以常見(jiàn)的隨機(jī)試驗(yàn)作為例題，學(xué)生借助上一環(huán)節(jié)所學(xué)知識(shí)計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率. 為創(chuàng)造完善的模型，例題應(yīng)同時(shí)包含古典概型與非古典概型（主要指違背樣本空間中的樣本點(diǎn)的“有限性”和“等可能性”的概率模型）. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)上一環(huán)節(jié)抽象出來(lái)的模型有一些“漏洞”——當(dāng)樣本空間中的樣本點(diǎn)不滿足“有限性”或“等可能性”時(shí)，上一環(huán)節(jié)所得的模型“失靈”了，這可以引導(dǎo)學(xué)生注重模型的完善.例題如下：

例題1 從甲、乙、丙三人中任選兩人擔(dān)任課代表，甲被選中的概率為_(kāi)____.

例題2 袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求下列事件發(fā)生的概率：

（1）A=“第一次摸到紅球”；

（2）B=“第二次摸到紅球”；

（3）AB=“兩次都摸到紅球”.

例題3 判斷下面說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

（1）某運(yùn)動(dòng)員連續(xù)進(jìn)行兩次飛碟射擊練習(xí)，觀察命中目標(biāo)的情況，用y表示“命中”，用n表示“沒(méi)有命中”，那么試驗(yàn)的樣本空間Ω=｛yy，yn，ny，nn｝，因此運(yùn)動(dòng)員“兩次射擊都命中目標(biāo)”的概率為0.25.

（2）從所有自然數(shù)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字小于10的概率是0.1.

6. 歸納總結(jié)，模型建立

教師指出：同學(xué)們剛剛歸納完善的模型正是古典概型. 同學(xué)們沿著數(shù)學(xué)家的足跡歷經(jīng)古典概型的建模過(guò)程，最終確定了這個(gè)模型，它能幫助我們解決生活中很多概率問(wèn)題.

7. 知識(shí)貫通，模型應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)“應(yīng)用性”，本環(huán)節(jié)借助完善后的古典概型解決不同領(lǐng)域的相關(guān)問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

練習(xí)1 從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取兩人.

（1）分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并判斷是否為古典概型.

（2）在上述三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率.

練習(xí)2 “五行學(xué)說(shuō)”是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明的重要組成部分. 古人認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類元素組成. 圖3是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系圖. 若從五類元素中任選兩類元素，則兩類元素相生的概率為_(kāi)____.

總結(jié)反思

1. 遵循模型的生成規(guī)律

建模過(guò)程具備自身的規(guī)律. 建模的第一階段包括發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題三個(gè)環(huán)節(jié)，師生的主要任務(wù)是借助所學(xué)知識(shí)解決具體情境中的問(wèn)題；建模的第二階段包括模型初現(xiàn)、模型完善、模型建立三個(gè)環(huán)節(jié)，師生的主要任務(wù)是從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，并將模型“初步投入使用”，在應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、完善模型；建模的第三階段是模型應(yīng)用環(huán)節(jié)，師生的主要任務(wù)是將建立的模型應(yīng)用到不同學(xué)科領(lǐng)域，解決生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，從而鞏固所學(xué)模型. 在第二階段與第三階段中應(yīng)用模型的主要目的不同，第二階段的目的是讓學(xué)生在初步應(yīng)用中檢驗(yàn)和完善模型，第三階段的目的是幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí). 在當(dāng)前部分建模教學(xué)中，經(jīng)常忽略“模型初現(xiàn)”與“模型完善”兩個(gè)環(huán)節(jié)，建模過(guò)程“一氣呵成”后，立即進(jìn)行大量練習(xí). 這種形式確實(shí)可以快速推進(jìn)知識(shí)學(xué)習(xí)，但不利于學(xué)生建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

在本課中，教師沒(méi)有在具體情境中直接給出古典概型樣本點(diǎn)的“有限性”和“等可能性”，而是引導(dǎo)學(xué)生將初步形成的帶有“紕漏”的模型應(yīng)用于解決更多問(wèn)題.在問(wèn)題解決中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)已有模型存在不足，產(chǎn)生對(duì)原模型進(jìn)行完善的需求. 這種設(shè)計(jì)正是基于模型的生成規(guī)律，盡管建模過(guò)程充滿了“曲折”，但學(xué)生正是從“完善模型”的過(guò)程中提升了數(shù)學(xué)建模的能力.

2. 注重學(xué)生的思維參與

數(shù)學(xué)建模過(guò)程有一個(gè)很重要的環(huán)節(jié)是情境探究，學(xué)生在探究過(guò)程中的思維參與程度直接影響了數(shù)學(xué)建模的效果. 因?yàn)橹挥袑W(xué)生深度思考具體情境中的關(guān)鍵問(wèn)題，才能更好地實(shí)現(xiàn)從具體情境到數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象. 這種從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的“飛躍”，正是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵所在. 因此，教師應(yīng)該在導(dǎo)入情境的設(shè)置上下功夫，選擇生活中的真情境、歷史中的典型情境、學(xué)生感興趣的情境.同時(shí)，應(yīng)該給學(xué)生留出足夠的探究時(shí)間，讓他們慢慢去“尋找”解決情境問(wèn)題的數(shù)學(xué)知識(shí).

在本課中，教師用歷史情境“擲骰子”導(dǎo)入課題，以“兩顆骰子朝上的點(diǎn)數(shù)和”的可能性大小設(shè)置問(wèn)題，為更好地解決問(wèn)題，讓學(xué)生課前動(dòng)手“拋骰子”試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)數(shù)和為7”發(fā)生的可能性最大，這是學(xué)生第一次思維參與；為了深入探究“點(diǎn)數(shù)和為7”的可能性最大的原因，教師給出該試驗(yàn)的樣本空間作為提示，學(xué)生合作探究后根據(jù)樣本空間的情況指出“點(diǎn)數(shù)和為7”的可能性最大是由于樣本空間中“點(diǎn)數(shù)和為7”的樣本點(diǎn)最多，這是學(xué)生第二次思維參與；模型初現(xiàn)后，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)模型解決問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中遇到樣本點(diǎn)不滿足“有限性”和“等可能性”的情境，學(xué)生帶著疑問(wèn)完善已有模型，最終得到古典概型的概念，這是學(xué)生第三次思維參與；最后，學(xué)生借助完善后的古典概型解決生活、文化等領(lǐng)域的概率問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，并在解決問(wèn)題的過(guò)程中鞏固知識(shí)、提升建模素養(yǎng)，這是學(xué)生第四次思維參與. 經(jīng)歷多次思維參與，學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)了古典概型.

3. 拓寬模型的應(yīng)用領(lǐng)域

數(shù)學(xué)建模過(guò)程闡釋了數(shù)學(xué)作為“工具性學(xué)科”的含義，但要讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)的“工具性”，需要跨學(xué)科、跨領(lǐng)域設(shè)置問(wèn)題，因?yàn)橹挥袑W(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)在生活和學(xué)科中有廣泛應(yīng)用，才能將數(shù)學(xué)作為解決問(wèn)題的“工具”，在解決問(wèn)題時(shí)“想到”用數(shù)學(xué)，“愿意”用數(shù)學(xué).

在本課中，教師將古典概型與生物學(xué)中的遺傳問(wèn)題、現(xiàn)實(shí)生活中的抽樣問(wèn)題、傳統(tǒng)文化中的“五行學(xué)說(shuō)”等相結(jié)合，借助數(shù)學(xué)知識(shí)解決更多領(lǐng)域的概率問(wèn)題. 由此學(xué)生能夠深入領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)模型的“廣泛功能”，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù). 課堂是落實(shí)核心素養(yǎng)的“最后一公里”，因此課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教師用心研究的一方天地. 在常態(tài)化教學(xué)中，遵循建模規(guī)律開(kāi)展建?；顒?dòng)，注重學(xué)生的思維參與，并努力拓寬模型的應(yīng)用領(lǐng)域，有利于更好地落實(shí)建模素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王穎喆. 關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的思考［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（11）：1-3+30.

［2］ 黃健，魯小莉，王鴦?dòng)?，徐斌艷. 20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵的發(fā)展［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（03）：18-23+41.

［3］ 蔡金法，徐斌艷. 也論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其構(gòu)建［J］.全球教育展望，2016，45（11）：3-12.

［4］ 汪飛飛，張維忠. 中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)建模研究的歷程與論題及其啟示［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（02）：63-68.