一類圓錐曲線問題的巧解

邵建文

［摘? 要］ 圓錐曲線在數(shù)學(xué)高考中占據(jù)著重要地位，其中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系更是熱門考點(diǎn).恰當(dāng)?shù)厥褂弥本€的參數(shù)方程，能簡單解決一類圓錐曲線問題，可以說“別有一番滋味”.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；直線；參數(shù)方程

考題再現(xiàn)

點(diǎn)評 若本題采用傳統(tǒng)的聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得到關(guān)于x的一元二次方程后計(jì)算各段弦長，運(yùn)算量較大，很多學(xué)生會望而卻步. 這里筆者用的是直線的參數(shù)方程，借助參數(shù)t的幾何意義，巧妙化解了計(jì)算各段弦長的復(fù)雜性. 另外，筆者注意到題干條件“點(diǎn)T在直線x=上”是多余的，之所以加上這個條件也許是為了降低題目的難度，減少一定的計(jì)算量.

從上面的解答過程來看，本題的結(jié)論是否具有一般性，能否推廣到橢圓和拋物線中呢？

考題拓廣

點(diǎn)評 探究發(fā)現(xiàn)若過點(diǎn)T的這兩條直線的斜率均存在且不為零時，上述結(jié)論仍然成立. 與此同時，本文放寬了對直線x=m的限制，但要引起注意的是若點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，則TA·TB=-tt.

探究2 已知拋物線C：y2=2px（p>0），設(shè)點(diǎn)T在直線x=m上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

α=β（舍去）或α+β=π，于是k+k=tanα+tanβ=0.

點(diǎn)評 通過探究發(fā)現(xiàn)，該結(jié)論在拋物線中仍然適用. 筆者還注意到，若點(diǎn)A，B重合，點(diǎn)P，Q重合，可得阿基米德三角形，能推出更多有用的性質(zhì)結(jié)論.

經(jīng)過探究1、探究2可得結(jié)論：過已知直線上一點(diǎn)T作圓錐曲線C的兩條割線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且滿足TA·TB=TP·TQ，則這兩條割線的斜率之和為零.

進(jìn)一步，可得更一般的結(jié)論：已知C是對稱軸與坐標(biāo)軸方向平行或垂直的非圓二次曲線，A，B，P，Q是曲線C上不同的四點(diǎn)，直線AB與PQ相交且斜率均存在，則A，B，P，Q四點(diǎn)共圓的充要條件是直線AB與PQ的斜率之和為零.