一類邊界退化的四階拋物型方程解的存在性

李 彬,馬永峰,梁 波

(1.大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028;2.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,安徽 滁州 239000)

0 引言

四階退化拋物型方程在生物數(shù)學(xué)、材料科學(xué)、工程、圖像分析、海洋物理等領(lǐng)域均得到了廣泛的應(yīng)用，而Cahn-Hilliard方程、薄膜方程和半導(dǎo)體方程為代表的四階方程在這些領(lǐng)域中應(yīng)用更為廣泛。Cahn-Hilliard方程通常是用來描述相變理論。(1)參見J. W. Cahn, J. E. Hilliard, “Free energy of a nonuniform system. i. interfacial free energy”, J. Chem. Phys. no.28, 1958.薄膜模型刻畫了一層超薄的粘性可壓縮的流體沿傾斜介質(zhì)的運(yùn)動過程，方程中的未知解通常代表薄膜的厚度或高度。(2)參見A. Zangwill, “Some causes and a consequence of epitaxial roughening”, Journal of Crystal Growth. no.163, 1996.此外，半導(dǎo)體型模型與四階退化的拋物方程也具有一定的聯(lián)系，其中雜化量子漂移—擴(kuò)散模型和混合量子流體動力學(xué)模型可以被認(rèn)為是四階拋物方程的邊界退化問題。(3)參見F. D. Michele, M. Mei, B. Rubino, R. Sampalmieri, “Thermal equilibrium solution to new model of bipolar hybrid quantum hydrodynamics,” Journal of Differential Equations. no.263, 2017.

梁波、吳曉琴等人研究了一類四階拋物方程在一維情況下的時間周期解的存在性問題：(4)參見梁波、吳曉琴、張振宇：《一類非線性四階拋物方程周期解的存在性》,《大連交通大學(xué)學(xué)報》2018年第5期。

u(x，t+ω)=u(x，t)x∈(0，1)，t∈R，

ux|x=0，1=uxxx|，x=0，1=0，t∈R。

周鳴君、王春朋等人根據(jù)退化項(xiàng)xλ退化性的強(qiáng)弱分別研究了一類邊界退化的二階拋物型方程初邊值問題解的淬火現(xiàn)象。(5)參見Zhou Mingjun, Wang Chunpeng and Nie, Yuanyuan, “Quenching of solutions to a class of semilinear parabolic equations with boundary degeneracy”, J. Math. Anal. Appl. no.421, 2015.問題如下：

u(x，0)=0，x∈(0，a)。

其中，λ>0，a>0，f∈C2([0，c))(c>0)，且f滿足下列條件：

這篇文章證明了在退化性不強(qiáng)的情況下，存在一個臨界長度，當(dāng)空間間隔小于該臨界值時，解在時間上全局存在，當(dāng)空間間隔大于該臨界值時，解在有限時間內(nèi)將會產(chǎn)生淬火現(xiàn)象。

我們考慮將其進(jìn)行改進(jìn)得到本文所要討論的邊界退化的四階拋物型方程：

ωt+(xλωxx)xx-(xλωx)x=g(x，t)，(x，t)∈(0，a)×(0，T)，

(1)

ωx(x，t)|?Ω=0，ω(x，t)|?Ω=0，t∈(0，T)，

(2)

ω(x，0)=ω0(x)，x∈(0，a)，

(3)

其中，λ>0，a>0，g(x，t)∈L2((0，a)×(0，t))。

我們發(fā)現(xiàn)，比較原則和最大值原理對于高階偏微分方程是不成立的，因此我們有必要采用一些新的原理、方法或技術(shù)。那么，本文將考慮采用能量估計以及漸進(jìn)極限的討論來證明該問題解的存在性。

定義 我們稱ω=ω(x，t)是問題(1)-(3)在QT=(0，a)×(0，T)上的一個弱解，如果滿足下列條件：

此定理為本文主要結(jié)論，下面將利用近似解的估計和漸進(jìn)極限討論給出相應(yīng)的證明。

1 非退化情形下解的存在唯一性

為了研究邊界退化問題(1)-(3)，先考慮其正則化問題：

ωζt((xλ+ζ)ωζxx)xx((xλ+ζ)ωζx)x=g(x，t)，(x，t)∈(0，a)×(0，T)，

(4)

ωζx(x，t)|?Ω=0，ωζ(x，t)|?Ω=0，t∈(0，T)，

(5)

ωζ(x，0)=ω0ζ(x)，x∈(0，a)，

(6)

其中，ζ>0。

本節(jié)，我們將用ωζ表示初邊值問題(4)-(6)的解，且假設(shè)初始函數(shù)ω0ζ→ω0在L2(Ω)中強(qiáng)收斂，它的存在性如下：

使其滿足下面的方程：

(ωζnt，Φk)+(xλωζnxx，Φkxx)+(xλωζnx，Φkx)=(g，Φk)，k=1，2，…，n.

(7)

(8)

在L2(Ω)中強(qiáng)收斂，則問題(7)-(8)解的存在性可以由Peano定理來保證。下面對近似解進(jìn)行估計。

對其在(0，t)上積分，得：

然后，可以得到：

(9)

其中μ是Poincare不等式中的常數(shù)。

(ωζnt，ωζnn)+((xλ+ζ)ωζnxx，ωζntxx)+((xλ+ζ)ωζnx，ωζntx)=(t，ωζnt)

對其在(0，t)上積分，得：

然后，可以得到：

(10)

由(9)-(10)，可以得到如下估計：

(11)

‖ωζnt‖L2(0，T；L2(Ω))≤C。

(12)

(13)

ωζnt→ωζt在L2(0，T；L2(Ω))中弱收斂。

(14)

下面，證明解的唯一性。

令ω，υ分別為問題(4)-(6)的兩個弱解。由弱解的定義，可以得到：

對于任意固定的s∈[0，T]，我們可以選擇作χ[0，s](ω-υ)為上述等式中的檢驗(yàn)函數(shù)，其中χ[0，s]是[0，s]上的檢驗(yàn)函數(shù)。令Qs=Ω×(0，s)，因此就有：

由此可得：

因此，ω(x，s)=υ(x，s)在QT上幾乎處處成立，解的唯一性證明完畢。

2 退化情形下解的存在性

本節(jié)的主要內(nèi)容是建立不依賴于ζ的一致估計以及討論ζ→∞的極限。其中，一致估計的結(jié)果由下面的引理給出。

引理1 逼近解ωζ具有如下的一致估計：

‖ωζ‖L∞(0，T；H1(Ω))≤C；

(15)

‖ωζt‖L2(0，T；L2(Ω))≤C；

(16)

(17)

(18)

其中，C不依賴于ζ。

證明：令χ[0，t](t)為區(qū)間[0，t](其中0≤t≤T)上的檢驗(yàn)函數(shù)，取命題-(ⅱ)中φ=ωζχ[0，t](t)。

于是有：

于是，可以得到：

(19)

其中，μ是Poincare不等式中的常數(shù)。

然后，取命題-(ⅱ)中的檢驗(yàn)函數(shù)為φ=ωζtχ[0，t](t)，于是有：

然后，可以得到：

(20)

由(19)-(20)，可以得到估計(15)-(18)，證畢。

下面證明本文的定理，即證明解在退化情形下的存在性。

根據(jù)先驗(yàn)估計(15)-(18)，結(jié)合Aubin-Lions緊致性定理可知，存在ω和{ωζ}(不妨仍然記為其本身)使得：

ωζ→ω在L∞(0，T；H1(Ω))中弱收斂；

(21)

ωζt→ωt在L2(0，T；L2(Ω))中弱收斂；

(22)

(23)

(24)

在命題-(ⅱ)中令ζ→∞可得：

所以是問題(1)-(3)在QT上的一個弱解。結(jié)合ω∈L∞(0，T；L2(Ω))和ωt∈L∞(0，T；L2(Ω))，應(yīng)用Aubin引理(6)參見伍卓群、尹景學(xué)、王春朋：《橢圓與拋物型方程引論》,北京：科學(xué)出版社,2003年。可以得到ω∈C(0，T；L2(Ω))。