依托整體法高效解答高中數(shù)學(xué)難題

黃小鋼

【摘要】數(shù)學(xué)屬于高中課程體系中一門難度較大的學(xué)科，不僅知識難度有所提升，還與初中數(shù)學(xué)知識之間的跨度較大，試題難度系數(shù)在整體上也有所增大，學(xué)生遇到難度的幾率較高，這時僅僅依靠常規(guī)方法很難舒暢、快速的完成解題，教師可引入整體法這一解題方法，使其基于整體視角切入，減少分析與運算對象，助推他們高效解答數(shù)學(xué)難題.基于此，本文針針對如何依托整體法高效解答高中數(shù)學(xué)難題作探討，并羅列一系列解題案例.

【關(guān)鍵詞】整體法;高效解答;高中數(shù)學(xué);難題

整體法是從局部到全局的思維過程，是系統(tǒng)論中整體原理的運用，屬于一種基于整體思路、快速運算的數(shù)學(xué)方法，能夠有效提升學(xué)生的計算速度與處理各類數(shù)學(xué)試題的能力，廣泛適用于各個教育階段的數(shù)學(xué)解題之中，提高他們解題的準(zhǔn)確度.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，當(dāng)遇到一些比較特殊的題目時，教師可指導(dǎo)學(xué)生與整體法為基本依托重新分析題干內(nèi)容，使其找準(zhǔn)整體法的切入點，將部分式子、圖形視為一個整體，從而讓他們高效解答數(shù)學(xué)難題.

1 依托整體代入法，高效解答數(shù)學(xué)難題

針對高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練來說，整體代入法比較常用，主要用來解答一些代數(shù)類試題，通常是將一些具有關(guān)聯(lián)性的算式視作成一個整體，通過適當(dāng)變化之后代入到別的公式中，以此將無法確定的變量求解過程進(jìn)行簡單化處理，降低試題難度的同時減少解題步驟.整體代入法在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用，難度不是特別大，學(xué)生可以用來解答多種類型的代數(shù)式試題［1］.

例1 已知函數(shù)f（x）=ax3+bsinx+2，f（－1）=10，求f（1）的值.

分析 本題主要考查學(xué)生將復(fù)雜問題變得簡單化的能力，當(dāng)很難從題干中已知條件中找到所求未知量時，難以確定條件和題設(shè)的聯(lián)系，依托整體代入法能將題目中的未知量通過別的含有未知量的式子進(jìn)行代替，由此實現(xiàn)消元求解的效果，他們可先找準(zhǔn)整體部分，再根據(jù)函數(shù)知識完成解題.

解 可設(shè)函數(shù)φ（x）=ax3+bsinx，那么f（x）=φ（x）+2，

結(jié)合題意可知函數(shù)φ（x）是一個奇函數(shù)，

因為f（－1）=10

所以f（－1）=φ（－1）+2=10，

所以φ（－1）=8，φ（1）=－8，

所以f（1）=φ（1）+2=－8+2=－6，

所以說f（1）的值f（1）=－6.

在這一整體代入法中，是將“φ（x）=ax3+bsinx”視作一個整體，再結(jié)合整體是奇函數(shù)的特性解答難題.

2 依托整體換元法，高效解答數(shù)學(xué)難題

整體換元法是數(shù)學(xué)解題中極為常用的一種解題方法，具體到高中數(shù)學(xué)解題中而言，很多難度系數(shù)較大的題目都可使用這一方法，教師應(yīng)要求學(xué)生先認(rèn)真閱讀題目內(nèi)容與分析題干中的關(guān)鍵條件，找出涉及到的數(shù)學(xué)法則，結(jié)合解題需求設(shè)出未知數(shù)，即為整體換元，代表題目中部分公式值，由此減少一些不必要的解題步驟，算難度運降低，讓他們求得正確結(jié)果.舉例略.

3 依托整體運算法，高效解答數(shù)學(xué)難題

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，部分題目中出現(xiàn)的式子較為復(fù)雜，有的則結(jié)構(gòu)較長，顯得難度很大，假如逐個進(jìn)行分析和運算的話，不僅解題步驟較多，過程也很是復(fù)雜，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生依托整體運算法展開解題，使其將試題中提供的已知條件同所求結(jié)論相結(jié)合，運用整體法解題，從而減少解題中的運算量，讓他們實現(xiàn)快速、便捷的解題目的，并降低出錯幾率［2］.

例2 已知數(shù)列an的通項公式an=（2n－1）xn（x≠1），請問數(shù)列an的前n項和Sn的值是什么？

分析 解答本道試題時，可以先在數(shù)列的前n項和Sn公式左右兩邊同時乘以x，再利用錯位相減的方式，即可求出Sn的表達(dá)式，然后依托整體法將代數(shù)式作變形處理，使之具有一的規(guī)律可循，最后同本公告整體運算求得結(jié)果，真正達(dá)到減少運算量的效果.

解 根據(jù)題意可知數(shù)列an的n項和Sn=x+3x2+5x3+…+（2n－1）xn①，

把式子①兩邊同乘以x，

整體變形之后可以得到xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n－1）xn+1②，

②－①錯位相減后可以得到（1－x）Sn=1+2x×1－xn-11－x－（2n－1）xn，

所以

Sn=（2n－1）xn+1－（2n+1）xn+（1+x）（1－x）2.

4 依托整體設(shè)元法，高效解答數(shù)學(xué)難題

整體設(shè)元就是根據(jù)題干中提供的已知信息和題設(shè)所求目標(biāo)，設(shè)立出新“元”，據(jù)此找到解題的切入點.對于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，部分題目中給出的信息較少，很難便利使用，顯得難度較大，教師可指引學(xué)生依托整體設(shè)元法來解題，結(jié)合具體解題情況與需求基于整體視角進(jìn)行思考，通過設(shè)立新“元”建立新等式、不等式、方程等，讓他們順暢破解難題.

例3 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

分析 本題題干可謂是相當(dāng)簡單，給出信息較少，假如直接計算難以下手，不過可依托整體設(shè)元法，根據(jù)題意設(shè)出新的方程，然后利用正弦的二倍角公式將非特殊角的三角函數(shù)變化為特殊角的三角函數(shù)，最終破解難題.

解 設(shè)A=sin10°sin30°sin50°sin70°，

B=cos10°cos30°cos50°cos70°，

A×B=12sin20°×12sin60°

×12sin100°×12sin140°

=116sin20°×sin60°×sin100°×sin140°

=116cos10°×cos30°×cos50°×cos70°

=116B

因為B≠0，所以A=116.

5 依托整體構(gòu)造法，高效解答數(shù)學(xué)難題

整體構(gòu)造指的是以認(rèn)真閱讀題干內(nèi)容為前提，仔細(xì)分析題中條件的特征和結(jié)構(gòu)，通過整體構(gòu)造法轉(zhuǎn)變成新式子或者新問題進(jìn)行求解，降低題目難度.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)訓(xùn)練中，教師可指導(dǎo)學(xué)生依托整體構(gòu)造法處理部分難題，使其深入分析題目中出現(xiàn)的所有條件，研究各個條件之間的聯(lián)系，以及同已學(xué)知識的關(guān)系等，讓他們在整體構(gòu)造法下順暢解答難題［3］.

例4 已知cos（α+β）=14，cos（α－β）=16，請問tanα×tanβ的值是什么？

分析 處理這道題目時，可從三角函數(shù)的相關(guān)公式進(jìn)行整體性思考，把題干中給出的兩個已知條件當(dāng)作整體展開構(gòu)造與運算，有助于正確結(jié)果的獲得，既能夠減少運算步驟，還可以降低試題難度，可謂是最佳解題方案.

解 根據(jù)題意可得cosαcosβ－sinαsinβ=14①，

cosαcosβ+sinαsinβ=16②，

將兩個式子聯(lián)立起來能夠得到一個方程組，

將coaαcosβ、sinαsinβ分別構(gòu)造為一個整體，

所以coaαcosβ=512，sinαsinβ=－112，

將這兩個式子相除即可得到

tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=－15.

6 結(jié)語

總而言之，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實踐中，教師要格外留意一些難度系數(shù)較高的題目，平常做好理論知識的講授工作，讓學(xué)生解題時擁有雄厚、穩(wěn)固的理論知識做鋪墊，使其根據(jù)實際題目內(nèi)容靈活運用整體法，通過整體代入、換元、運算、設(shè)元、構(gòu)造等方法順利突破難題困境，快速、準(zhǔn)確的求得結(jié)果，提高他們的解題效率，繼而增強(qiáng)解答數(shù)學(xué)難題的自信心.

參考文獻(xiàn)：

［1］楊櫟莘.數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（05）：70-72.

［2］楊效先.例談?wù)w思維在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（教研版），2021（12）：9-11.

［3］黎正再.利用整體法，突破數(shù)學(xué)難題［J］.試題與研究，2020（26）：21-22.