例談聯(lián)想法在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的運用

陳瑤

【摘要】高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容比較多，知識之間有著相應(yīng)的聯(lián)系.在高中數(shù)學(xué)某個問題中，可能會涉及多個知識點，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力有著較高的要求.學(xué)生不僅需要夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且要能夠?qū)⒏鱾€知識點聯(lián)系在一起，靈活利用知識解題.聯(lián)想法是一種有效的解題方法，將問題和所學(xué)知識聯(lián)系起來，通過聯(lián)想等方式，明確解題思路，提高學(xué)生解題效率.本文分析聯(lián)想法在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的應(yīng)用策略.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；聯(lián)想法；解題策略

解題訓(xùn)練屬于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的常規(guī)環(huán)節(jié)之一，解題方法更是豐富，不同的解題方法可以用來處理不同類型的試題.其中聯(lián)想法在解題實踐中有著廣泛運用，指的是利用聯(lián)想的方式把基礎(chǔ)知識、解題經(jīng)驗等充分運用起來，據(jù)此找到解題的突破口，最終順利解決的一種解題方法.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際題目靈活運用聯(lián)想法，使其通過聯(lián)想的方式盡快確定解題的關(guān)鍵所在，從而全力提升他們的解題速度與準(zhǔn)確度.

1 運用直接聯(lián)想方法，簡潔處理數(shù)學(xué)試題

從本質(zhì)視角來看，聯(lián)想是將已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識與未知知識整合起來，結(jié)合所學(xué)內(nèi)容科學(xué)合理的展開推理找到解決問題的方法.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，涉及的知識點較多，題目類型更是復(fù)雜多變，有的題目無須聯(lián)想即可輕松求解，當(dāng)遇到難度較大試題時，教師可指引學(xué)生結(jié)合題目中的公式與條件運用直接聯(lián)想法，使其優(yōu)化解題思路，簡潔處理數(shù)學(xué)試題［1］.

例1 已知集合A={－4，2a－1，a2}，B={a－5，1－a，9}，假如A∩B={9}，請問a的值是什么？

解析 學(xué)生可以根據(jù)題干中的條件“假如A∩B={9}”展開直接聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)9∈A，由此得出2a－1=9或者a2=9，求出a的值，然后他們運用分類討論思想進行逐個分析、驗證與求解.

具體解題方式如下：根據(jù)題意可得到2a－1=9或者a2=9，解之得a＝5，a＝3，a＝－3，接著進行分類討論：

（1）當(dāng)a＝5時，集合A＝{－4，9，25}，集合B＝{0，－4，9}，這時A∩B={-4，9}，與題設(shè)相矛盾，故舍去；

（2）當(dāng)a＝3時，集合A＝{－4，5，9}，集合B＝{－2，－2，9}，集合B存在問題，所以也要舍去；

（3）當(dāng)a＝－3時，集合A＝{－4，－7，9}，集合B＝{－8，4，9}，這時A∩B={9}，故a的值是－3.

2 應(yīng)用抽象聯(lián)想方法，實現(xiàn)化復(fù)雜為簡單

高中數(shù)學(xué)試題比小學(xué)、初中的復(fù)雜一些，難度也更大，不少題目中都不會提供數(shù)學(xué)概念與公式，或者給出的條件比較抽象，當(dāng)遇到此類試題時，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生認真閱讀題目，題目中提供的已知信息進行二次加工，通過抽象聯(lián)想的方式找到各個條件之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)化復(fù)雜為簡單的目的，使其以此為基礎(chǔ)找到簡潔的解題思路.

例2 已知函數(shù)y=f（x）對于任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y）－1，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，且f（3）=4，那么f（x）在［1，2］上的最值是什么？

解析 處理該題目時，學(xué)生應(yīng)以準(zhǔn)確掌握函數(shù)的性質(zhì)為前提，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后進行抽象聯(lián)想，令x，y在特殊情況下求解.

具體解題方式如下：在R上任意取x1、x2，令x1＜x2，得到f（x1）－f（x2）=f（x1）－f（x2－x1+x1）=f（x1）－f（x2－x1）－f（x1）+1，由于x2－x1＞0，那么f（x2－x1）＞1，f（x1）－f（x2）＜0，則f（x1）＜f（x2），說明函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增.

然后令x=y=1，得到f（2）=2f（1）－1；

令x=2，y=1，f（3）=f（1）+f（2）=4，3f（1）－2=4，f（1）=2，f（2）=3，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在［1，2］上的最小值是f（1）=2，最大值是f（2）=3.

3 使用接近聯(lián)想方法，迅速確定解題思路

接近聯(lián)想指的是在具體解題過程中，聯(lián)想到同題目有關(guān)聯(lián)的、較為接近的知識與思路的一種解題方法，需要建立在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識與解題經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，雖然是一種較為簡單的聯(lián)想方法，不過高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指引他們從題目中的條件聯(lián)想到相關(guān)定理、公式、概念等知識，使其將這些內(nèi)容應(yīng)用到解題之中，從中找到解題思路與方法，問題便可迎刃而解［2］.

例3 已知向量a＝（3，1），b＝（0，－1），c＝（t，3），而且a－2b與c共線，那么t的值是（? ）

（A）1.? （B）2.? （C）3.? （D）4.

解析 處理本道題目時，根據(jù)題干中提供的條件“a－2b與c共線”能夠接近聯(lián)想到平面向量的共線定理，然后使用這一定理獲得相關(guān)等式，再通過對比系數(shù)就可以提出t的值.

具體解題方式如下：根據(jù)題意可以得到a－2b＝（3，3），因為a－2b與c共線，結(jié)合平面向量共線定理能夠得到t3＝33，即為3t＝3×3＝3，也就是說t＝1，故t的值是1，正確答案是選項（A）.

4 借助類似聯(lián)想方法，快速獲取題目結(jié)果

類似聯(lián)想就是常說的類比聯(lián)想法，當(dāng)運用類似聯(lián)想的方法解答數(shù)學(xué)試題時，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)做到實時點撥，指引學(xué)生結(jié)合題目的實際情況基于類似之處的圖形或者式子等視角切入，使其實現(xiàn)從數(shù)量關(guān)系到幾何圖形、平面到空間、抽象到具體等方面進行合理聯(lián)想，從而準(zhǔn)確找到解題的切入點，并快速確定解題思路，幫助他們輕松求出題目的正確結(jié)果.

例4 已知a＞0，函數(shù)f（x）=axa+x，令a1=1，an+1=f（an），n∈N，那么數(shù)列an的通項公式是什么？

解析 本題涉及函數(shù)與數(shù)列兩大知識點，根據(jù)題目中提供的函數(shù)表達式及相關(guān)信息，以及題設(shè)所求的是數(shù)列的通項公式，而函數(shù)與數(shù)列有著一定的類似，數(shù)列就是一類比較特殊的函數(shù)，故可以運用類似聯(lián)想法.

具體解題方式如下：根據(jù)a1=1可以得到a1=f（a1）=f（1）=aa+1，

a3=f（a2）=f（2）=aa+2，

a4=f（a3）=f（3）=aa+3，

以此類推，猜想an＝a（n+1）+a（n∈N），

根據(jù)以上得出的條件容易得知，當(dāng)n＝1時，上述猜想是正確的；

假如當(dāng)n＝k＋1時猜想也正確，即為

ak＝a（k－1）+a，

則ak+1＝f（ak）＝a×a（k－1）+aa+ak

＝a［（k+1）－1］+a，

由此說明當(dāng)n＝k＋1時猜想是正確的，綜上可知對于任何n∈N，均有數(shù)列an的通項公式是

an＝a（n+1）+a.

5 總結(jié)

綜合起來，聯(lián)想法是一種相當(dāng)有效的解題方法，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動中，教師需教授給學(xué)生運用聯(lián)想法進行解題的方法與技巧，突破解題思維中的障礙，達到觸類旁通、舉一反三的效果，使其結(jié)合題目中提供的信息從多個視角進行思考與聯(lián)想，快速、精準(zhǔn)尋找有利于解決試題的途徑，最終達到準(zhǔn)確解答問題的目的，逐步提高他們解答數(shù)學(xué)試題的水平.

參考文獻：

［1］楊漢.聯(lián)想法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（語文教育），2020（12）：46.

［2］涂翰卿.聯(lián)想法在高中數(shù)學(xué)解題思路中的應(yīng)用分析［J］.明日，2021（09）：1.