數(shù)學(xué)表達(dá)：初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率提升的有效途徑之一

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)表達(dá)具有重要的意義，這種意義不僅體現(xiàn)在其是對(duì)數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)思維的高度概括，還體現(xiàn)在其是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的外在體現(xiàn). 教師可以根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，來判斷學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，來預(yù)測(cè)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生學(xué)習(xí)過程的直接體現(xiàn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的判斷對(duì)象；數(shù)學(xué)表達(dá)表征著學(xué)生的數(shù)學(xué)理解與運(yùn)用能力，是應(yīng)試能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)賴以生存的基礎(chǔ). 面向?qū)W習(xí)過程的學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)未必準(zhǔn)確，但這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)卻有著重要的意義，因?yàn)檫@樣的數(shù)學(xué)表達(dá)是準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)的前奏，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)語言必須經(jīng)歷的過程，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率的必由之路.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；教學(xué)效率；數(shù)學(xué)表達(dá)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括三個(gè)要素，也就是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界. 在這三個(gè)學(xué)會(huì)運(yùn)用當(dāng)中，數(shù)學(xué)表達(dá)具有重要的意義. 這種意義不僅體現(xiàn)在其是對(duì)數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)思維的高度概括，還體現(xiàn)在其是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的外在體現(xiàn). 與數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維相比，教師可以根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，來判斷學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，來預(yù)測(cè)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨兩個(gè)基本任務(wù)：一是培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)中考的能力，也就是數(shù)學(xué)解題能力，這一能力的基礎(chǔ)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用；二是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 從現(xiàn)實(shí)的角度來看，這兩個(gè)基本任務(wù)之間存在著一定的矛盾，無論是從學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間的角度來看，還是從教師教學(xué)精力的角度來看，要想讓兩個(gè)基本任務(wù)同時(shí)完成，顯然存在著很大的挑戰(zhàn). 畢竟在傳統(tǒng)的教學(xué)當(dāng)中，初中數(shù)學(xué)教學(xué)是以前一個(gè)任務(wù)為目的的. 在核心素養(yǎng)的視角之下，盡管核心素養(yǎng)難以通過數(shù)學(xué)試題直接體現(xiàn)出來，但是在日常教學(xué)當(dāng)中必須重視核心素養(yǎng)的培育，這是落實(shí)國(guó)家課程意志的重要體現(xiàn). 但同時(shí)又不能忽視學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，畢竟這是學(xué)生生存和發(fā)展的需要. 因此，當(dāng)初中數(shù)學(xué)教師面對(duì)這兩個(gè)重要的教學(xué)任務(wù)時(shí)，如何提高教學(xué)效率成為一個(gè)亟須解決的問題.

在這樣的理解之下，筆者選擇了數(shù)學(xué)表達(dá)作為突破口，并且嘗試將數(shù)學(xué)表達(dá)作為提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率的有效途徑之一. 事實(shí)證明，這一選擇是有效的，下面就以人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“一次函數(shù)的應(yīng)用”這一內(nèi)容的教學(xué)為例，闡述筆者是如何通過數(shù)學(xué)表達(dá)提高教學(xué)效率的.

數(shù)學(xué)表達(dá)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要

抓手

選擇數(shù)學(xué)表達(dá)作為提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率的途徑之一，很關(guān)鍵的一點(diǎn)是數(shù)學(xué)表達(dá)既涉及學(xué)生的應(yīng)試能力，又涉及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，再加上數(shù)學(xué)表達(dá)是一個(gè)有形的抓手，可以成為教師教學(xué)研究的可信載體. 因此，數(shù)學(xué)表達(dá)可以成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要抓手，同樣也可以成為提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率的重要抓手. 關(guān)于這一點(diǎn)，還可以從以下兩點(diǎn)進(jìn)行更加詳細(xì)的解讀.

其一，數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生學(xué)習(xí)過程的直接體現(xiàn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的判斷對(duì)象.

對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)最直觀的理解是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用. 當(dāng)彰顯數(shù)學(xué)基本特征的概念或者表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系的規(guī)律用專業(yè)的數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行表達(dá)的時(shí)候，就是學(xué)生將自己內(nèi)隱的理解變成顯性理解的時(shí)候. 從學(xué)生學(xué)習(xí)過程的角度來看，這一過程是非常復(fù)雜的——當(dāng)然在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，這一過程的復(fù)雜性常常會(huì)被教師忽視，其直接原因在于，在應(yīng)試形態(tài)下，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，教師的思維往往是線性的：教師會(huì)認(rèn)為自己講過的，就應(yīng)該是學(xué)生聽得懂的、說得出來的，如果學(xué)生聽不懂或者說不出來，那就說明學(xué)生很“笨”. 事實(shí)顯然并非如此. 其實(shí)教師的教和學(xué)生的學(xué)之間有著很大的差距，運(yùn)用信息加工理論來看學(xué)生的學(xué)習(xí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)信息輸入、加工與輸出的過程，教師所講的信息能否為學(xué)生所接受、學(xué)生能否對(duì)接收到的信息進(jìn)行有效的加工、學(xué)生能否運(yùn)用自己的理解再借助習(xí)慣了的語言去描述自己的學(xué)習(xí)收獲……這其中的每一個(gè)環(huán)節(jié)，都對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果有著重要且直接的影響，任何一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題都會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)不成功. 所以學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程一定是一個(gè)高度復(fù)雜的過程. 數(shù)學(xué)表達(dá)作為一個(gè)有形的抓手，是教師判斷學(xué)生學(xué)習(xí)成功與否的重要依據(jù). 有了這樣一個(gè)抓手，教師的研究就有了可靠的對(duì)象，所得出的結(jié)論也就更能指導(dǎo)日常教學(xué).

其二，數(shù)學(xué)表達(dá)表征著學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力與運(yùn)用能力，這是應(yīng)試能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)賴以生存的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)表達(dá)本身是一個(gè)信息輸出的過程，但其以高效的信息加工作為基礎(chǔ). 這個(gè)信息加工過程可以用當(dāng)下的深度學(xué)習(xí)來解釋. 深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)在學(xué)科本質(zhì)和學(xué)生學(xué)習(xí)的理解之間架起了一座橋梁，能使學(xué)生由低階思維形成更加抽象的高階思維，對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展起著促進(jìn)作用. 教師的作用就是要有意識(shí)地給學(xué)生創(chuàng)造參與、實(shí)踐、操作和展示的機(jī)會(huì)，把學(xué)生不確定的潛力推向前臺(tái)，使他們的學(xué)習(xí)有“獲得感”［1］. 當(dāng)學(xué)生有了這些獲得感之后，一個(gè)常見的心理傾向就是進(jìn)行信息的輸出，而這就對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)表達(dá). 當(dāng)深度學(xué)習(xí)支撐下的數(shù)學(xué)表達(dá)得以實(shí)現(xiàn)時(shí)，學(xué)生的應(yīng)試能力就可以自然得到培養(yǎng)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也可以在這一過程中得到順利落地.

因此，數(shù)學(xué)表達(dá)就是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要抓手，是提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率的途徑之一.

在數(shù)學(xué)表達(dá)能力培養(yǎng)中提升

效率

其實(shí)理解數(shù)學(xué)表達(dá)的時(shí)候教師應(yīng)當(dāng)具有動(dòng)態(tài)意識(shí). 也就是說，在教學(xué)實(shí)踐中，我們不但要關(guān)注知識(shí)教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，而且應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的培養(yǎng)，讓“說”成為提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率、提高學(xué)生綜合素質(zhì)的重要途徑［2］. 這里所說的“說”與課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中所說的數(shù)學(xué)表達(dá)有一定的差異. 課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中所說的數(shù)學(xué)表達(dá)是指嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)語言運(yùn)用，而這里所說的“說”是面向?qū)W生學(xué)習(xí)過程的數(shù)學(xué)表達(dá)，盡管在此過程中，學(xué)生運(yùn)用的語言未必準(zhǔn)確，但這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)卻有著重要的意義，因?yàn)檫@樣的數(shù)學(xué)表達(dá)是準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)的前奏，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)語言必須經(jīng)歷的過程，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率的必由之路.

“一次函數(shù)的應(yīng)用”在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系當(dāng)中具有比較重要的地位，其根本原因是函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系當(dāng)中的核心知識(shí)點(diǎn)，一次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，學(xué)生不僅需要知道一次函數(shù)的數(shù)學(xué)含義是什么，同時(shí)要能夠熟練地掌握一次函數(shù)的應(yīng)用. 正是這個(gè)原因，人教版初中數(shù)學(xué)教材才特別開辟了“一次函數(shù)的應(yīng)用”這一內(nèi)容. 從人教版教材的編寫中可以發(fā)現(xiàn)，這一內(nèi)容涉及的例題都與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)，例題中的有些素材盡管初中生可能沒有直接體驗(yàn)到，但畢竟屬于初中生生活中的有機(jī)組成部分，因此在這部分知識(shí)的教學(xué)中，教師要想方設(shè)法通過數(shù)學(xué)表達(dá)來提高學(xué)生對(duì)一次函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用水平，從而提高教學(xué)效率.

既然強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)表達(dá)，那么在本知識(shí)的教學(xué)中就不能只看學(xué)生的解題過程，還要從口頭表達(dá)的角度來關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)過程，從數(shù)學(xué)語言運(yùn)用的角度來關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)結(jié)果. 基于這樣的思路，筆者在設(shè)計(jì)教學(xué)的時(shí)候，以與重點(diǎn)相關(guān)問題的分析過程為焦點(diǎn)，來讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)表達(dá)過程. 比如教材中有這樣一道題：

某生產(chǎn)資料門市部出售化肥，每袋售價(jià)80元.為了促進(jìn)銷售，規(guī)定了優(yōu)惠辦法：買3袋按售價(jià)計(jì)算，從第4袋開始每袋優(yōu)惠5%.

（1）寫出購(gòu)買這種化肥的總金額M（單位：元）與購(gòu)買袋數(shù)n的函數(shù)表達(dá)式，并指出它的自變量的取值范圍；

（2）為了快速得到購(gòu)買這種化肥的總金額，請(qǐng)你利用這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式制作一個(gè)購(gòu)買1～10袋化肥的總金額的對(duì)照表.

這道題能很好地考查學(xué)生運(yùn)用一次函數(shù)解決問題的能力，教師在教學(xué)的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)緊扣教學(xué)的相關(guān)細(xì)節(jié)，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)表達(dá)去闡述問題解決的思路. 比如對(duì)于第（1）問，要寫出函數(shù)表達(dá)式，學(xué)生自然要在大腦當(dāng)中構(gòu)建起函數(shù)關(guān)系；要指出自變量的取值范圍，學(xué)生自然要從實(shí)際情形出發(fā)，也就是通過審題去進(jìn)行判斷. 接著教師讓學(xué)生在自主構(gòu)思的基礎(chǔ)上進(jìn)行表達(dá). 于是課堂上就看到了這樣的表達(dá)：“根據(jù)試題所給的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)總金額與購(gòu)買袋數(shù)的函數(shù)表達(dá)式應(yīng)該是M=80n. ”當(dāng)這個(gè)學(xué)生說完之后，有學(xué)生提出不同的意見：“我認(rèn)為要說清楚試題中所給的關(guān)系，而且要將這一關(guān)系考慮全面，應(yīng)當(dāng)這樣說，購(gòu)買化肥的總金額與購(gòu)買袋數(shù)之間的關(guān)系要分情況討論. 當(dāng)n小于或等于3的時(shí)候，函數(shù)關(guān)系式是M=80n；當(dāng)購(gòu)買的袋數(shù)超過3時(shí)，也就是大于或等于4的時(shí)候，函數(shù)關(guān)系式要發(fā)生變化，我們小組討論之后，認(rèn)為此時(shí)的函數(shù)表達(dá)式應(yīng)該是M=80×3+80×（1-5%）（n-3）.”

為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，面對(duì)學(xué)生的表達(dá)，教師在引導(dǎo)的時(shí)候還可以做一個(gè)更細(xì)致的工作，那就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較. 比較的對(duì)象就是學(xué)生在表達(dá)過程中的具體語言，這實(shí)際上是一個(gè)精加工的過程. 學(xué)生通過比較確實(shí)會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)和收獲，此時(shí)教師要善于從學(xué)生的比較當(dāng)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的進(jìn)步，哪怕這些進(jìn)步看起來比較微小，卻意味著學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)從生活語言向數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，這也意味著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言的理解更加準(zhǔn)確，運(yùn)用更加順手. 比如教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比上面兩個(gè)學(xué)生的發(fā)言之后，有學(xué)生獲得了這樣的收獲：在描述一個(gè)函數(shù)的時(shí)候，我們一定要注意自變量的取值范圍，同時(shí)要注意自變量與現(xiàn)實(shí)情況的對(duì)應(yīng). 當(dāng)學(xué)生有了這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)的時(shí)候，就意味著學(xué)生注意到了自變量的取值范圍對(duì)一個(gè)函數(shù)的重要性，也意味著學(xué)生懂得了函數(shù)與實(shí)際生活之間應(yīng)有的匹配性. 比如，在這個(gè)例子當(dāng)中，學(xué)生就知道了0≤n≤3和n≥4對(duì)函數(shù)關(guān)系式確定的重要性，也知道“n是整數(shù)”對(duì)函數(shù)的重要性. 有了這樣的理解，當(dāng)學(xué)生利用函數(shù)表達(dá)式去回答第（2）問的時(shí)候，所培養(yǎng)的就不只是學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力了，因?yàn)閷W(xué)生更能體會(huì)到在數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中n為什么必須取整數(shù).

數(shù)學(xué)表達(dá)通往數(shù)學(xué)學(xué)科核心

素養(yǎng)

當(dāng)教學(xué)進(jìn)行到比較與反思的時(shí)候，從數(shù)學(xué)表達(dá)的角度來看，課堂就進(jìn)入了一個(gè)高潮. 如果教師具有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，那么在看待上述教學(xué)案例的時(shí)候就能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的進(jìn)步：從學(xué)生最初發(fā)言的不完整，到后來的不斷充實(shí)與完善；從學(xué)生對(duì)一次函數(shù)運(yùn)用的感性認(rèn)識(shí)，到后來的理性認(rèn)識(shí)；從學(xué)生最初不關(guān)心一次函數(shù)自變量的取值范圍，到后來認(rèn)識(shí)到自變量取值范圍對(duì)一次函數(shù)表達(dá)式的重要性；從學(xué)生最初對(duì)實(shí)際情形的忽視，到后來意識(shí)到運(yùn)用一次函數(shù)解決問題必須考慮現(xiàn)實(shí)……所有這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步的體現(xiàn)，同樣也是教學(xué)效率得以提升的體現(xiàn). 這些體現(xiàn)之所以能夠成為現(xiàn)實(shí)，很大程度上是因?yàn)榻處煂⒆銐虻臅r(shí)間與空間給予學(xué)生，讓學(xué)生去進(jìn)行充分的表達(dá).

在學(xué)生表達(dá)的過程當(dāng)中，學(xué)生的認(rèn)識(shí)不斷完善，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也能得到不斷發(fā)展：從現(xiàn)實(shí)問題當(dāng)中發(fā)現(xiàn)函數(shù)關(guān)系的存在，這就是在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光；函數(shù)關(guān)系得以建立且不斷完善，這就是在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)過程當(dāng)中語言不斷變得嚴(yán)謹(jǐn)，這就是學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力提升的顯著標(biāo)志.

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，抓住數(shù)學(xué)表達(dá)這個(gè)“牛鼻子”，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)試能力，而且可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，這是初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率得以提升的重要標(biāo)志，這也反過來說明數(shù)學(xué)表達(dá)是促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率提升的可靠抓手.

參考文獻(xiàn)：

［1］黃益將. 做·想·說——構(gòu)建初中數(shù)學(xué)“學(xué)”的課堂［J］. 數(shù)理化解題研究，2022（02）：49-51.

［2］張晞. “說”，成就課堂的精彩［J］. 山西教育（教學(xué)），2013（04）：16-17.

作者簡(jiǎn)介：周遠(yuǎn)靜（1980—），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.