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    堅(jiān)持生本,經(jīng)歷探索,深化概念理解

    2023-11-08 02:56:36羅尉
    關(guān)鍵詞:概念教學(xué)

    [摘? 要] 學(xué)生在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”時(shí),大部分都是在生硬地記憶,并沒有達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)的理解,所以這一知識(shí)一直是教學(xué)的難點(diǎn). 文章認(rèn)為,教學(xué)“銳角三角函數(shù)”時(shí),可以通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,讓學(xué)生經(jīng)歷探索過程,深化學(xué)生對(duì)概念的理解,從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    [關(guān)鍵詞] 正切函數(shù);函數(shù)意識(shí);概念教學(xué)

    銳角三角函數(shù)揭示了直角三角形中銳角與其中兩條邊的比值之間的函數(shù)關(guān)系,它不同于一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù),它的自變量是“銳角的集合”. 對(duì)學(xué)生而言,銳角三角函數(shù)是抽象的,是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).調(diào)查表明,學(xué)生學(xué)完銳角三角函數(shù)的概念后難以理解其本質(zhì),不明白為什么可以稱之為函數(shù)[1]. “正切”是蘇科版教材介紹的第一個(gè)銳角三角函數(shù),幫助學(xué)生理解上述問題的關(guān)鍵在于帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形中的銳角與其對(duì)邊和鄰邊的比值是“一一對(duì)應(yīng)”的函數(shù)關(guān)系[2]. 為此,在探索“正切”概念的教學(xué)中,筆者嘗試通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作,探究正切函數(shù)的本質(zhì),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    教學(xué)目標(biāo)分析

    “正切”是蘇科版教材九年級(jí)下冊(cè)“銳角三角函數(shù)”第1節(jié)的內(nèi)容,其中銳角度數(shù)與相應(yīng)比值之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這是本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的難點(diǎn). 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,教師應(yīng)重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系,以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[3]. 因此,本節(jié)課要讓學(xué)生既見“木”又見“林”,從整體上先感受銳角三角函數(shù),再細(xì)化認(rèn)識(shí)正切. 正確理解正切概念,能為學(xué)生后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ). 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),學(xué)生應(yīng)達(dá)成如下目標(biāo):通過動(dòng)手操作、推理驗(yàn)證等過程,知道并理解正切函數(shù)的概念;會(huì)在直角三角形中求出已知銳角的正切值;經(jīng)歷操作、觀察、推理、思考等過程,感悟符號(hào)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和概括能力,發(fā)展學(xué)生的理性思維,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    教學(xué)過程

    1. 情境引入,激發(fā)學(xué)生思考

    在生活中,斜坡帶給我們方便(PPT呈現(xiàn)幾張不同情境下的斜坡圖片),觀察圖片并思考下列問題.

    問題1:哪個(gè)山坡更好走?為什么?

    問題2:通過什么能描述山坡的傾斜程度?

    問題3:除了用坡角的大小來描述山坡的傾斜程度,還可以用什么方法來描述?

    【課堂回放】

    師:(PPT呈現(xiàn)兩幅圖)這兩幅圖中的山坡,哪個(gè)更加陡峭?

    生1:第二幅圖看起來更陡一些.

    師:通常我們借助什么來描述山坡的傾斜程度?

    生2:坡角,第二幅圖的坡角比較大.

    師:對(duì),可以把兩個(gè)山坡抽象成∠A和∠A′(顯示動(dòng)畫),度量角的度數(shù),比較角的大小即可. 在實(shí)際問題中,有時(shí)候不太方便測量角度的大小,那你們還有別的方式刻畫坡面的傾斜程度嗎?(稍作停頓)

    師:換言之,能否在不度量角度的情況下,比較兩個(gè)角的大小呢?可以嘗試從邊的角度來思考.

    生3:我想嘗試作垂線,比較垂線段的長短.

    師:請(qǐng)同學(xué)們借助操作紙?jiān)囈辉?

    生3:我發(fā)現(xiàn),只看垂線段的長度并不能說明角的大小,垂線段與角的頂點(diǎn)距離近一點(diǎn)時(shí),就短一點(diǎn);遠(yuǎn)一點(diǎn)時(shí)就長一點(diǎn),所以這一做法沒法比較.

    師:那有沒有辦法能使垂線段具有可比性呢?

    學(xué)生自主探索,教師則個(gè)別指導(dǎo). 當(dāng)學(xué)生思考一會(huì)兒后,進(jìn)行組內(nèi)交流,教師請(qǐng)部分小組展示他們的思考成果.

    小組1:我們?cè)趦蓚€(gè)角的邊上先截取相同的長度(AB=A′B′),再分別向底邊作垂線段BC和B′C′(如圖1所示),在這兩個(gè)直角三角形中進(jìn)行比較,結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC<B′C′,于是我們小組猜想對(duì)邊長的角度大. 當(dāng)然,我們組還發(fā)現(xiàn),AC>A′C′,于是猜想鄰邊長的角度反而小.

    小組2:我們組的想法和小組1的想法有點(diǎn)相像,區(qū)別在于我們是截取鄰邊相等,然后比較對(duì)邊的長度,結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC<B′C′,于是猜想對(duì)邊長的角度大;或者比較斜邊的長度,發(fā)現(xiàn)AB<A′B′,于是猜想斜邊長的角度大.

    師:剛才兩個(gè)小組操作中的“截取”,可以看作是固定了垂線段的相對(duì)“位置”. 借助剛才的過程,大家想一想,能不能在不截取相同長度的情況下直接通過直角三角形中邊的關(guān)系比較角的大小. 請(qǐng)借助操作紙?jiān)囋嚳?(教師給予學(xué)生一段時(shí)間研究,并讓學(xué)生互相交流)

    生4:之前固定“位置”后就好比較了,我想,這些線段的長度是相對(duì)的,于是我任意作垂線BC和B′C′,度量出兩個(gè)三角形三邊的長度(如圖2所示),計(jì)算對(duì)邊與鄰邊的比值. 計(jì)算后第一個(gè)三角形的比值約0.45,第二個(gè)三角形的比值約0.91,所以第一個(gè)三角形的比值比第二個(gè)三角形的比值小.

    師:有和生4一樣計(jì)算對(duì)邊與鄰邊的比值的同學(xué)嗎?(有一些學(xué)生點(diǎn)點(diǎn)頭)你們也發(fā)現(xiàn)第二個(gè)三角形的比值比較大嗎?

    生5:我的大小關(guān)系和生4的一樣,不僅如此,計(jì)算的比值都和生4的一樣.

    師:這是巧合嗎?我們晚一點(diǎn)點(diǎn)再來解決這個(gè)問題. 你們還有其他的方法嗎?

    生6:我是計(jì)算對(duì)邊與斜邊的比值,分別約0.41和0.67,發(fā)現(xiàn)也是第一個(gè)比值比第二個(gè)比值小.

    ……

    師:那這些邊的比值到底能否刻畫角的大小呢?這就是我們接下來這章所要研究的內(nèi)容. 本節(jié)課我們便從其中的一種開始研究,也就是直角三角形中,銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值能否幫我們刻畫銳角角度的大小.

    設(shè)計(jì)意圖 引入生活實(shí)例,體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 學(xué)生通過動(dòng)手操作,在控制變量的情況下,初步感受直角三角形中,角的大小可以通過邊的長度之間的關(guān)系來比較,并提出猜想.

    2. 合作探究,明晰概念

    探索活動(dòng):在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的大小能否通過∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值來刻畫呢?

    師:為了探索∠A的大小能否通過它的對(duì)邊與鄰邊的比值來刻畫,我們首先得確定這個(gè)比值會(huì)不會(huì)因?yàn)檫叺拈L度的變化而發(fā)生改變.

    請(qǐng)學(xué)生借助操作紙,邊操作邊思考.

    生7:我發(fā)現(xiàn)在射線AB上取不同的點(diǎn),作垂線后得到的直角三角形都相似(如圖3所示),所以∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值相等. 所以不管點(diǎn)取在哪里,這個(gè)比值都不變.

    (具體證明過程略)

    師:那么改變角的大小,這個(gè)比值會(huì)改變嗎?

    學(xué)生借助操作紙,經(jīng)歷“作圖—測量—計(jì)算”過程.

    生8:我畫了一個(gè)30°的角,在它的一邊上取一點(diǎn)后作垂線,度量出兩條直角邊的長度,計(jì)算出30°的對(duì)邊與鄰邊的比值約等于0.6.

    生9:我畫了一個(gè)40°的角,用同樣的方法計(jì)算出來的比值約等于0.8.

    ……

    教師借助幾何畫板向?qū)W生展示:銳角取任意值時(shí),都能計(jì)算出對(duì)應(yīng)比值;當(dāng)銳角角度發(fā)生變化時(shí),比值也會(huì)發(fā)生變化;當(dāng)角度確定時(shí),比值也隨之確定.

    師:那比值與角度之間的這種關(guān)系與之前我們學(xué)習(xí)過的什么概念比較類似?

    生(齊):函數(shù).

    師:對(duì),這是一種新的函數(shù).它揭示了直角三角形中邊與角之間的關(guān)系. 那你們能表示出對(duì)邊與鄰邊的比值與角度之間的函數(shù)關(guān)系嗎?能像一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)關(guān)系式那樣具體嗎[4]?

    教師給予學(xué)生一些時(shí)間,學(xué)生也認(rèn)真討論了,但很快他們便沒有了方向.

    師:過去,1÷7除不盡,我們用來表示其準(zhǔn)確值;在與圓有關(guān)的計(jì)算中,我們用π來準(zhǔn)確表示圓周率;我們還用x=±來準(zhǔn)確表示方程x2=3的解. 數(shù)學(xué)家們?yōu)榱四軌驕?zhǔn)確地表達(dá)我們今天研究的這個(gè)函數(shù),創(chuàng)造了一個(gè)符號(hào),即tan(板書).(如圖4所示)在Rt△ABC中,∠C=90°,把∠A的對(duì)邊a與鄰邊b的比值稱為∠A的正切,記作tanA,即tanA=∠A的對(duì)邊/∠A的鄰邊=BC/AC=a/b.

    教師詳細(xì)介紹“tanA”的讀法、寫法以及注意事項(xiàng),要求學(xué)生嘗試寫出∠B的正切表達(dá)式.

    設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生經(jīng)歷作圖—度量—計(jì)算—推理等過程,能讓學(xué)生感受到比值與角度這兩個(gè)變量之間存在函數(shù)關(guān)系,從而獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 這樣的教學(xué)過程能加深學(xué)生從函數(shù)的角度認(rèn)識(shí)正切,能為學(xué)生以后更深入地學(xué)習(xí)三角函數(shù)打下基礎(chǔ),從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    3. 運(yùn)用概念,深化理解

    例1 如圖5所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,請(qǐng)求出∠A,∠B的正切值.觀察計(jì)算結(jié)果,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    變式1 在例1的條件下,CD是AB邊上的高,嘗試用不同的方法求∠ACD的正切值.

    變式2 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,tanA=,求AC和AB的長.

    歸納總結(jié):互余的兩個(gè)銳角正切值互為倒數(shù);正切值可以借助定義直接求解,也可以用等角轉(zhuǎn)換來求解;題目中已知正切值時(shí),可以將其轉(zhuǎn)化成比值來解題.

    例2 在等邊三角形ABC中,AB=6,求tanA的值.

    變式1 tan60°=_______,tan30°=_______.

    變式2 tan45°=_______.

    讓學(xué)生體會(huì)到要解決正切問題,需要構(gòu)造直角三角形,作垂線是常規(guī)作法.

    設(shè)計(jì)意圖 通過例題教學(xué),深化學(xué)生對(duì)正切函數(shù)的理解,讓他們掌握解決相關(guān)問題的基本策略,提升分析問題和解決問題的能力,滲透數(shù)學(xué)模型思想.

    4. 知識(shí)梳理,小結(jié)提升

    略.

    回顧反思

    1. 在經(jīng)歷中生成概念

    正切作為初中階段研究的最后一個(gè)函數(shù),相較于之前研究的函數(shù),它更加抽象,學(xué)生無法找出銳角度數(shù)與邊的比值之間明確的對(duì)應(yīng)法則,這種抽象性學(xué)生也無法用已有的符號(hào)進(jìn)行表示,加上函數(shù)概念本來就具有抽象性,這就給學(xué)生帶來了巨大的認(rèn)知困難.

    這節(jié)課設(shè)計(jì)了兩次操作活動(dòng). 教學(xué)伊始,教師從學(xué)生熟悉的斜坡入手,引導(dǎo)學(xué)生思考如何刻畫斜坡的傾斜程度,如何想到銳角與兩條邊的比值存在關(guān)系,如何刻畫這樣的關(guān)系.在學(xué)生操作的過程中,教師穿插問題引導(dǎo),讓學(xué)生在自我探究的同時(shí),也能有方向可尋. 教師在教學(xué)過程中故意放慢正切概念的形成過程,讓學(xué)生充分經(jīng)歷操作、觀察、思考、推理等活動(dòng),以加深學(xué)生對(duì)概念的感悟,理解正切的本質(zhì). 當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)探索過程,發(fā)現(xiàn)了銳角角度與對(duì)邊、鄰邊的比值是函數(shù)關(guān)系后,教師再介紹正切的概念和符號(hào),就變得水到渠成了.

    2. 在交流中促進(jìn)發(fā)展

    數(shù)學(xué)課中的活動(dòng)必須要體現(xiàn)思維的訓(xùn)練,因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門啟迪學(xué)生智慧的學(xué)科. 時(shí)下的課堂不缺學(xué)生的參與,但更多的是表面熱鬧,而深度參與不夠. 本節(jié)課以生為本,隨著內(nèi)容不斷深入,教師以問題串的形式將學(xué)生剛開始的積極參與,逐步引導(dǎo)為深度思考. 其中的每個(gè)問題教師都會(huì)反復(fù)斟酌,選擇最恰當(dāng)?shù)姆绞?,幫助學(xué)生“搭”思維的腳手架.

    當(dāng)然,本節(jié)課教師也給予了學(xué)生充分交流和表達(dá)自己的時(shí)間與空間. 在每一次學(xué)生發(fā)言時(shí),教師都認(rèn)真傾聽,并及時(shí)給予肯定,讓學(xué)生敢于表達(dá)自己的想法,同時(shí)尋找學(xué)生思維中的閃光點(diǎn),以問題的形式,加深學(xué)生的思考. 在課堂中,教師營造良好的數(shù)學(xué)研究氛圍,讓學(xué)生在交流中發(fā)展能力,增長智慧.

    3. 在過程中滲透思想

    “銳角三角函數(shù)”這一章涉及很多數(shù)學(xué)思想,教師若能在教學(xué)過程中進(jìn)行適當(dāng)滲透,必能達(dá)到事半功倍的效果. 例如本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“數(shù)形結(jié)合”思想——在具體的問題中,教師引導(dǎo)學(xué)生借助已有的圖形來分析邊與角之間的關(guān)系,在特殊的情況下,能構(gòu)造直角三角形來輔助解決問題,將正切函數(shù)與直角三角形緊密聯(lián)系在一起.

    本章內(nèi)容亦是培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的理想材料. 要想讓學(xué)生接納并理解一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào),必須讓他們體會(huì)到使用這個(gè)符號(hào)的必要性和優(yōu)越性. 在本節(jié)課中,學(xué)生自主探索并發(fā)現(xiàn)銳角度數(shù)與兩直角邊的比存在函數(shù)關(guān)系,但這個(gè)關(guān)系卻不能被準(zhǔn)確表達(dá). 于是教師引導(dǎo)學(xué)生類比分?jǐn)?shù)表示除不盡的數(shù)、π表示圓周率、根式表示開方開不盡的數(shù),得出這里也需要用一個(gè)符號(hào)來表示這兩者之間的函數(shù)關(guān)系,從而讓他們體會(huì)到符號(hào)引入的必要性. 在后續(xù)問題的解決過程中,學(xué)生也能體會(huì)到用這樣的符號(hào)表達(dá)正切函數(shù),非常方便、簡潔,能體會(huì)到符號(hào)的優(yōu)越性.

    參考文獻(xiàn):

    [1]黃林娟. 初中《銳角三角函數(shù)》教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查及研究[D]. 杭州師范大學(xué),2017.

    [2]劉一凡,陳算榮. HPM視角下初中“正切”概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué),2020(11):13-15.

    [3]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

    [4]李東. 經(jīng)歷與思想并重——“正切”教學(xué)實(shí)錄與反思[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2020(09):1-3+6.

    作者簡介:羅尉(1989—),本科學(xué)歷,中學(xué)一級(jí)教師,從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作,曾獲江蘇省青年教師基本功大賽一等獎(jiǎng).

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