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    雞兔同籠 同又不同

    2023-11-08 02:56:36陳靜
    關(guān)鍵詞:二元一次方程組雞兔同籠

    [摘? 要] 文章主要研究“雞兔同籠”這個生活實(shí)際問題. “雞兔同籠”是學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)接觸過且用算術(shù)方法解決過的問題. 教學(xué)過程中,教師重在引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考和發(fā)現(xiàn)一元一次方程方法與算術(shù)方法的聯(lián)系、二元一次方程組與一元一次方程的聯(lián)系,讓學(xué)生從中體會研究二元一次方程組的主要方法——消元,使學(xué)生經(jīng)歷用二元一次方程組解決問題的完整過程. 通過對多種方法的比較和反思,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這些方法的共性,體會到了數(shù)學(xué)的邏輯美,認(rèn)識到了“雞兔同籠”問題的本質(zhì).

    [關(guān)鍵詞] 雞兔同籠;二元一次方程組;統(tǒng)領(lǐng)課

    “雞兔同籠”問題是中國古代著名趣題之一,學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)嘗試并使用多種算術(shù)方法來解決. 本節(jié)課是蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第十章“二元一次方程組”的章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課,在此之前,學(xué)生已經(jīng)具備一元一次方程的相關(guān)知識和經(jīng)驗(yàn). 繼續(xù)依托“雞兔同籠”這個經(jīng)典問題來引出二元一次方程組,能讓學(xué)生再次經(jīng)歷嘗試、探索、比較等活動過程,從而比較全面地認(rèn)識二元一次方程組的研究內(nèi)容,起到“未見樹木,先見森林”的作用. 現(xiàn)將教學(xué)實(shí)踐與思考呈現(xiàn)出來,希望得到廣大同行的指導(dǎo).

    背景分析

    1. 課標(biāo)要求

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在“方程與不等式”部分指出,應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷對現(xiàn)實(shí)問題中量的分析,借助用字母表達(dá)的未知數(shù)建立兩個量之間關(guān)系的過程,知道方程或不等式是現(xiàn)實(shí)問題中含有未知數(shù)的等量關(guān)系或不等關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá). 涉及本章內(nèi)容的目標(biāo)有:能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義,能針對具體問題列出方程,理解方程解的意義,經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程;能根據(jù)二元一次方程組的特征,選擇代入消元法或加減消元法解二元一次方程組.

    2. 教材分析

    蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第十章“二元一次方程組”共包含5節(jié)內(nèi)容,對于“10. 1 二元一次方程”和“10. 2 二元一次方程組”,學(xué)生要經(jīng)歷從問題到方程和方程組的過程,理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念,認(rèn)識到方程和方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型,體會它們與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系;對于“10. 3 解二元一次方程組”,學(xué)生要在嘗試、探索、比較等活動中發(fā)現(xiàn)解二元一次方程組的兩種基本方法——代入消元法和加減消元法,充分體會消元思想;對于“10. 4 三元一次方程組”,學(xué)生要掌握解三元一次方程組的方法,即消去三元一次方程組中的某個未知數(shù),將解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組;對于“10. 5 用二元一次方程組解決問題”,學(xué)生要學(xué)會找出實(shí)際問題中的兩個相等關(guān)系,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求解二元一次方程組問題. 從一元到二元,我們建立了新的數(shù)學(xué)模型;從二元到一元,通過消元,我們把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為了一元一次方程. 本節(jié)課是全章的統(tǒng)領(lǐng)課,利用“雞兔同籠”這個經(jīng)典問題來引出全章內(nèi)容,著眼點(diǎn)在于通過嘗試、探索、比較等活動來深度挖掘知識,讓學(xué)生體會要研究二元一次方程組的哪些內(nèi)容. 本節(jié)課不求面面俱到,但求拋磚引玉,起到“未見樹木,先見森林”的作用.

    3. 學(xué)情分析

    “雞兔同籠”問題是中國古代著名的趣題之一. 它不僅趣味性強(qiáng),而且可以用簡單計(jì)算、方程法等多種方法求解. 據(jù)不完全統(tǒng)計(jì),該問題不同“稱謂”的解法有嘗試法、列表法、畫圖法、假設(shè)法、金雞獨(dú)立法、面積法、方程法等,達(dá)37種之多,但實(shí)際上,很多方法本質(zhì)上是一樣的. 假設(shè)法是“雞兔同籠”類問題最常用的方法之一,但很多學(xué)生只是會用,或者硬記,只知其然,并不知其所以然. 但不能真正被理解的操作性知識,對后面的學(xué)習(xí)幾乎起不到作用,對思維能力的提升也沒有明顯的作用. 所以教學(xué)這節(jié)課時,筆者希望學(xué)生能從方程的角度進(jìn)行觀察、分析、驗(yàn)證,再回頭看假設(shè)法,看到多種方法的一致性,從而看到問題的本質(zhì),不為眾多方法所困.

    教學(xué)目標(biāo)與研究方法

    1. 教學(xué)目標(biāo)

    (1)理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念.

    (2)探索解二元一次方程和二元一次方程組的方法.

    2. 研究方法:類比、轉(zhuǎn)化

    二元一次方程是初中階段認(rèn)識的第二種方程,本章結(jié)構(gòu)與七年級上冊“一元一次方程”類似——從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題,再從數(shù)學(xué)問題回到實(shí)際,所以可以采用類比的教學(xué)方式. 遇到實(shí)際問題時,先將其轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,這是實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化;發(fā)現(xiàn)代入消元法和加減消元法這兩種基本方法,能把解二元一次方程組問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程問題,這是從二元到一元的轉(zhuǎn)化.

    教學(xué)過程

    復(fù)習(xí)回顧:我們是如何研究一元一次方程的?主要研究了哪些方面?(概念、解法和應(yīng)用)

    問題1 我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學(xué)名題:“今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足. 問雞兔各幾何?”

    學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)解決過“雞兔同籠”問題,于是他們很快便說出了求解的算術(shù)方法——假設(shè)法. 雖然很多學(xué)生會列式,但能講清楚個中緣由的只有很少一部分. 假設(shè)法的求解過程如下.

    假設(shè)全是雞,則兔有=12(只). 所以雞有35-12=23(只).

    假設(shè)全是兔,則雞有=23(只). 所以兔有35-23=12(只).

    七年級時,學(xué)生學(xué)習(xí)了代數(shù)方法——用一元一次方程解決問題. 運(yùn)用一元一次方程求解的過程如下.

    設(shè)雞有x只,則兔有(35-x)只. 根據(jù)題意,得2x+4(35-x)=94,即2x+4×35-4x = 94,于是有4×35-2x = 94. 所以x =.

    問題2 算術(shù)方法和代數(shù)方法這兩種方法之間有聯(lián)系嗎?

    經(jīng)過兩個式子的比較,學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn),代數(shù)方法中的式子其實(shí)正是算術(shù)方法中“假設(shè)全是兔”的式子. 35×4即為假設(shè)全是兔應(yīng)有的腿的數(shù)量,但實(shí)際上只有94條腿,多出來的腿即為錯把雞當(dāng)成兔的那部分的腿,于是計(jì)算兩者的差. 又每錯看一只就會多出2條腿,所以再除以2,就可以得到雞的數(shù)量. 原來運(yùn)用一元一次方程求解和假設(shè)法的本質(zhì)一樣!

    問題3 你們還有別的方法嗎?是否可以把未知的兩個量都設(shè)出來?

    詳細(xì)的求解過程如下.

    設(shè)雞有x只,兔有y只. 根據(jù)題意,可得到兩個方程,即x+y=35,2x+4y=94.

    追問1 所得的兩個方程含有幾個未知數(shù)?(2個)它們代表的意義相同嗎?(相同)

    追問2 每個含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是幾?(1)

    追問3 它們是整式方程嗎?(是)

    追問4 如果讓你給這兩個方程命名,你會怎樣命名?

    結(jié)合學(xué)生的回答,師生共同總結(jié)出二元一次方程的定義:含有2個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都為1的整式方程叫二元一次方程. 學(xué)生一開始沒加“整式方程”這個條件,后經(jīng)筆者提醒加上了. 在本題中,兩個條件都要滿足,因此可以將兩個二元一次方程聯(lián)立起來,得到二元一次方程組x+y=35,

    2x+4y=94.

    追問5 請你們嘗試給二元一次方程組下定義.

    把含有兩個未知數(shù)的一次方程聯(lián)立在一起,就組成一個二元一次方程組.

    追問6 這兩種方程方法之間有聯(lián)系嗎?試著解解看.

    仔細(xì)觀察,可以發(fā)現(xiàn)方程2x+4y=94與一元一次方程2x+4(35-x)=94類似,唯一不同的是y和(35-x). 而由方程x+y=35可以得到y(tǒng)=35-x. 這就是說,想要解二元一次方程組,可以先將其中一個方程中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)表示,然后代入另一個方程中,這樣就可以將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程了. 因此,雖然這兩種方程未知數(shù)的個數(shù)不同,但本質(zhì)是一樣的?。ㄟ@就是代入消元法,但教師此時暫且不予命名)

    問題4 認(rèn)識了二元一次方程和二元一次方程組,下面我們來看看如何找到它們的解.

    追問:你能寫出二元一次方程x+y=35的解嗎?

    學(xué)生暢所欲言,說出了x=0,

    y=35;x=1,

    y=34;x=0.5,

    y=34.5;x=0.01,

    y=34.99…

    此時有學(xué)生指出,這里的x和y分別是雞和兔的數(shù)量,應(yīng)該是正整數(shù),因此只有有限對正整數(shù)解. 于是學(xué)生列表如表1所示.

    由表1可知,x每增加1,y減少1,但x與y的和始終是35,因此共有34對正整數(shù)解.

    方程2x+4y=94呢?同樣可以直接列舉. 但有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了公因數(shù)2,于是方程兩邊同時除以2,得到x+2y=47. 想要找到這個方程的正整數(shù)解,要先確定x還是先確定y呢?如果先確定x,則y不一定是整數(shù),但反過來,如果y為整數(shù),則x一定為整數(shù). 因此,從y入手比較合理. y的最小取值為1,然后依次增加1,最大取值為23,所以共可以找到23對正整數(shù)解. 列表如表2所示.

    總結(jié):學(xué)生發(fā)現(xiàn),一個二元一次方程的解有“無數(shù)對”,但如果加上一定的限制條件,如本題中的未知數(shù)為正整數(shù),則解就可能變成“有限對”.

    問題5 如何找到二元一次方程組的解呢?

    前面提到,兩個方程中的未知數(shù)代表的意義相同,所以學(xué)生一致認(rèn)為二元一次方程組的解就是兩個二元一次方程的公共解. 但從表格中看,公共解應(yīng)該在省略號的部分,那該怎么辦呢?總不能把所有解都寫出來吧?

    正當(dāng)大家都一籌莫展的時候,有學(xué)生指出,我們就是要找表格中的某兩列,它們的x和y分別相同. 我們不妨先把x表示出來,第一個表格中的x=35-y,第二個表格中的x=47-2y,所以我們只需要解出35-y=47-2y這個方程,就可以找到y(tǒng)了. 此時全班響起雷鳴般的掌聲. 這名學(xué)生很了不起,他抓住字母代表的意義相同,想辦法把兩個二元方程轉(zhuǎn)化成一個一元方程.

    此時,又有一名學(xué)生想到了,兩個表格中的x既要滿足x+2y=47,又要滿足x+y=35. x是相同的,那么2y就要比y多出47-35=12,即y =12,所以x=23. 全班再次響起雷鳴般的掌聲. 接著,筆者請一名學(xué)生點(diǎn)評一下剛才這名學(xué)生的回答,他由衷地表揚(yáng)了這名學(xué)生,說他善于觀察和發(fā)現(xiàn)這兩個方程的特點(diǎn),抓住相同點(diǎn)和不同點(diǎn)后很快便找到了公共解.

    總結(jié):今天有三名學(xué)生發(fā)現(xiàn)了解二元一次方程組的方法,即可以在其中一個方程中用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù),再代入另一個方程,從而達(dá)到消元的目的;也可以將兩個方程中的同一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)表示,這也能達(dá)到消元的目的;還可以利用方程中系數(shù)的特點(diǎn),直接將兩個方程作減法,一下子得到其中一個未知數(shù)的值,其本質(zhì)也是消元. (這就是加減消元法,但此處暫且不予命名)可見,在解方程組的過程中,一定要仔細(xì)觀察各方程的特點(diǎn),這樣才能找到最好的解決方法.

    問題6 為什么從兩個表格中尋找公共解,只有一對呢?會不會有遺漏?

    這個問題可以用“追問2”中的答案來加以解釋:既然二元一次方程組都可以通過先表示后代入的方法轉(zhuǎn)化為一元一次方程,而一元一次方程只有一個解,所以二元一次方程組也自然只有一對解.

    延伸問題 二元一次方程組會不會出現(xiàn)無數(shù)對解或無解的情形?什么情況下會出現(xiàn)無數(shù)對解或無解呢?

    教學(xué)思考

    1. “雞兔同籠”,不二選擇

    學(xué)生對“雞兔同籠”問題有所認(rèn)識,所以選擇這個問題作為引入,這符合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際. 大多數(shù)課例選擇“雞兔同籠”問題是為了引出二元一次方程組的概念,很多教師教學(xué)時列出方程組之后就認(rèn)為引入失去了價值,等到學(xué)完解二元一次方程組之后,再回過頭來解決“雞兔同籠”問題,這貌似達(dá)到了前后呼應(yīng)的效果. 但為什么要等到學(xué)完解法后才回來解這個二元一次方程組呢?這樣能真正引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突嗎?我們趁熱打鐵,抓住這個真實(shí)的探索機(jī)會,在學(xué)生最有解決熱情和強(qiáng)烈好奇心的時候解決豈不更加自然?

    作為二元一次方程組的引入材料,“雞兔同籠”問題并不是最好的,因?yàn)閷W(xué)生會認(rèn)為,算術(shù)方法和一元一次方程方法已經(jīng)非常完美了,沒有必要再增加一種,學(xué)生也感受不到設(shè)兩個未知數(shù)的必要性. 究其原因,是雞和兔的頭都只有一個,所以很容易根據(jù)其中一個數(shù)量表示出另一個,設(shè)一個未知數(shù)就夠了. 更好的背景材料應(yīng)該是兩個未知量的系數(shù)都不為1 ,這樣學(xué)生會覺得表示起來比較麻煩,還是設(shè)兩個未知數(shù)比較方便.

    本節(jié)課之所以選擇“雞兔同籠”問題并將其進(jìn)行到底,主要有三個原因:第一,它是歷史上的經(jīng)典問題之一,承載著了解數(shù)學(xué)文化的作用,并且解決它的方法有很多種,如小學(xué)的算術(shù)方法、初中的方程方法,而方程方法既有七年級的一元一次方程方法,又可以引出新的方程組. 學(xué)生會發(fā)現(xiàn),二元一次方程組是最為直接的一種方法. 為了銜接小學(xué)和中學(xué),承上啟下,“雞兔同籠”問題是個很好的材料. 第二,可以起到統(tǒng)領(lǐng)全章的作用,本章主要研究二元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用. “雞兔同籠”問題學(xué)生已經(jīng)很熟悉,既可以引出二元一次方程,又可以引出二元一次方程組,還可以進(jìn)一步探討如何求解方程和方程組. 在探討的過程中,學(xué)生主要采用交集法,根據(jù)二元一次方程組的定義將解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解兩個二元一次方程,即用枚舉法分別找到兩個二元一次方程的正整數(shù)解. 另外,“雞兔同籠”問題是一個實(shí)際問題,學(xué)生能感受到方程組的實(shí)際應(yīng)用. 第三,也是最重要的,在對三種方法的比較和對方程組解法的探究的過程中,代入消元法和加減消元法若隱若現(xiàn),就差捅破那層窗戶紙了. 雖然這兩種解方程組的方法學(xué)生都能理解,也很快能學(xué)會,但真正能自己發(fā)現(xiàn)卻不是件簡單的事情. 通過這節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課,學(xué)生有了消元的意識,經(jīng)歷了消元的初步嘗試,也感受到了將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題的快樂,這為他們理解后面的課程起到了很好的鋪墊作用. 所以說,“雞兔同籠”,同又不同.

    2. 一題多解,多解歸一

    我們往往更關(guān)注幾何題的一題多解. 本節(jié)課就“雞兔同籠”問題探討了3種解法,前兩種解法(算術(shù)方法和一元一次方程方法)學(xué)生比較熟悉,得來不費(fèi)吹灰之力,第三種解法,學(xué)生列出二元一次方程組也沒有什么挑戰(zhàn). 那為什么要用這么多種方法呢?關(guān)鍵在于要找到三種解法之間的聯(lián)系. 假設(shè)全是兔的算式,實(shí)際上就是解一元一次方程時變形過程的最后一步,但必須借由這種形式才能發(fā)現(xiàn). 這是算術(shù)方法與一元一次方程方法之間的聯(lián)系. 比較一元一次方程和二元一次方程組的形式,可以發(fā)現(xiàn)代入消元法能將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程. 所以,這幾種方法的本質(zhì)是一樣的!

    另外,本節(jié)課站在小學(xué)解法的基礎(chǔ)上,找到了二元一次方程組的代入消元法、加減消元法等方法. 通過觀察一元一次方程和二元一次方程組的形式,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了代入消元法. 在運(yùn)用交集法尋找方程組的解時,學(xué)生遇到了困難,但這是他們最直接的想法. 繼續(xù)觀察兩個方程的形式,結(jié)合二元一次方程組的解的“本質(zhì)”,學(xué)生發(fā)現(xiàn)了加減消元法. 如此種種,學(xué)生達(dá)到了從小學(xué)到中學(xué)的自我超越!從中,學(xué)生既能感受到數(shù)學(xué)的邏輯巧妙,又能體會到這種神奇巧妙是自然、合理的.

    其實(shí),一題多解的重點(diǎn)不是為了多解,更重要的是多解歸一. 為什么既要“多解”又要“歸一”?因?yàn)椤耙弧笔呛喴椎模耙弧笔峭ㄓ玫?,“一”是無所不在的. 這與波利亞的解題理論四步驟中的第四步“總結(jié)反思”是一致的,即要反思多種方法的共性,理解問題的本質(zhì). 接下來還要一以貫之,因?yàn)橐灰载炛拍苄纬闪?xí)慣,才能讓它變成自己的思維方式. 當(dāng)然,這個“一”是不斷融合更新、不斷變化完善的. 另外,本節(jié)課用“雞兔同籠”問題一以貫之,一線到底,不僅滲透了方程思想,在列表格求解二元一次方程時還滲透了“函數(shù)思想”——為了找全所有的解,學(xué)生不得不關(guān)注到x與y的變化,于是便有了根據(jù)一個未知數(shù)的值確定另一個未知數(shù)的值的“確定”意識.

    小結(jié)

    數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是為了解決某個問題,更重要的是思考如何解決一類問題,甚至更大的一類問題. 波利亞主張選擇一個有意義且不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個側(cè)面. 本節(jié)章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課,旨在把“雞兔同籠”問題變成一個數(shù)學(xué)問題,給出求解的一般方法——運(yùn)算程序. 不僅如此,也引領(lǐng)學(xué)生看到“二元一次方程組”全章的整體結(jié)構(gòu),未見樹木,先見森林,為接下來的細(xì)節(jié)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 到了高中,學(xué)生還可以進(jìn)一步從解析幾何、向量的角度去解讀……在這一過程中,學(xué)生會不斷感悟,理解抽象、推理、直觀的作用,得到新的數(shù)學(xué)模型,提升思維品質(zhì),擴(kuò)大應(yīng)用范圍,提升關(guān)鍵能力.

    作者簡介:陳靜(1983—),碩士研究生,中學(xué)一級教師,獲南京市第二屆“鼓樓區(qū)優(yōu)秀青年教師”和南京市第三屆“鼓樓區(qū)學(xué)科教學(xué)帶頭人”榮譽(yù)稱號.

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    讀寫算(中)(2015年6期)2015-02-27 08:47:23
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