“二元一次方程組”中考試題研究

姜紅

像2x-y=5這樣，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的次數(shù)都為1次，那么這樣的整式方程就叫作二元一次方程.二元一次方程有無(wú)數(shù)組解，若添加條件限定（例如求正整數(shù)解），亦可有有限個(gè)解，甚至無(wú)解.

像2x-y=5，

x+y=4這樣，含有兩個(gè)未知數(shù)并且未知項(xiàng)的次數(shù)都是1的二元一次方程組成的方程組是二元一次方程組.在七年級(jí)下學(xué)期，同學(xué)們學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法及其應(yīng)用.下面以常見(jiàn)的中考題為例，探討解方程組的基本方法.

一、 二元一次方程組的解法

例1 （2015·重慶）解方程組y=2x-4，①

3x+y=1. ②

例2 （2015·淮安）解方程組：x-2y=3，

3x+y=2.

【解析】這類(lèi)中考題屬于基礎(chǔ)題，考查解方程組的基本技能.例1中方程①已經(jīng)是用含x的代數(shù)式表示y的形式，故而適宜使用代入消元法，答案為x=1，

y=-2.例2兩種方法均可，但同學(xué)們一般還是比較偏向于使用加減消元法，答案為x=1，

y=-1.

【點(diǎn)評(píng)】多元方程的解法原則是“消元”.而“消元”的具體方法有代入法和加減法兩種.

有時(shí)，試題也會(huì)涉及“整體代換”等思想方法，比如：

例3 （2015·珠海）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組2x+5y=3， ①

4x+11y=5.②時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：

第（2）題需經(jīng)整理后，再模仿小軍的“整體代換”法，由①得：3（x2+4y2）=47+2xy，即x2+4y2=③，把③代入②得：2×=36-xy，解得：xy=2，則x2+4y2=17.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，弄清閱讀材料中的“整體代換”方法，是解本題的關(guān)鍵.

二、 二元一次方程組的應(yīng)用

例4 （2015·北京）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.它的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù).其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就.

《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問(wèn)：牛、羊各直金幾何？”

譯文如下：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩.問(wèn)：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”

設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為_(kāi)_________.

【解析】根據(jù)“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，得到等量關(guān)系，即可列出方程組. 5x+2y=10，2x+5y=8.

【點(diǎn)評(píng)】這類(lèi)問(wèn)題中兩個(gè)量呈一次關(guān)系，往往可以抽象出二元一次方程組，解決本題的關(guān)鍵是找到題目中所存在的等量關(guān)系.

例5 （2015·佛山）某景點(diǎn)的門(mén)票價(jià)格如表：

某校七年級(jí)（1）、（2）兩班計(jì)劃去游覽該景點(diǎn)，其中（1）班人數(shù)少于50人，（2）班人數(shù)多于50人且少于100人，如果兩班都以班為單位單獨(dú)購(gòu)票，則一共支付1 118元，如果兩班聯(lián)合起來(lái)作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，則只需花費(fèi)816元.

（1） 兩個(gè)班各有多少名學(xué)生？

（2） 團(tuán)體購(gòu)票與單獨(dú)購(gòu)票相比較，兩個(gè)班各節(jié)約了多少錢(qián)？

【解析】（1） 設(shè)七年級(jí)（1）班有x人、七年級(jí)（2）班有y人，根據(jù)如果兩班都以班為單位單獨(dú)購(gòu)票，則一共支付1 118元，如果兩班聯(lián)合起來(lái)作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，則只需花費(fèi)816元建立方程組12x+10y=1 118，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用、二元一次方程組的解法的運(yùn)用，解答時(shí)建立方程組求出各班的人數(shù)是關(guān)鍵.

三、 與二元一次方程組有關(guān)的綜合題

例6 （2014·益陽(yáng)）某電器超市銷(xiāo)售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，下表是近兩周的銷(xiāo)售情況：

（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-進(jìn)貨成本）

（1） 求A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷(xiāo)售單價(jià)；

（2） 若超市準(zhǔn)備用不多于5 400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái)，求A種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？

（3） 在（2）的條件下，超市銷(xiāo)售完這30臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1 400元的目標(biāo)？若能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2） 設(shè)采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇a臺(tái)，則采購(gòu)B種型號(hào)電風(fēng)扇（30-a）臺(tái)，根據(jù)金額不多于5 400元，列不等式得：200a+170（30-a）≤5 400，解得：a≤10.所以超市最多采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇10臺(tái)時(shí)，采購(gòu)金額不多于5 400元.

（3） 設(shè)利潤(rùn)為1 400元，列方程（250-200）·a+（210-170）（30-a）=1 400，解得：a=20.

若不符合（2）的條件，可知不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo).∵a≤10，∴在（2）的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)1 400元的目標(biāo).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解.這類(lèi)試題把二元一次方程組與一次不等式結(jié)合起來(lái)考查，難度有所加大.

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）