非旋轉條件下圓柱形底部中心開孔容器中液體的非定常流動特性

陳 湘, 楊鑄濤, 王黨朝

(內(nèi)江師范學院 物理與電子信息工程學院, 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

液體在不同類型的管道容器中因自身重力或外界壓力作用下流動,是生產(chǎn)和生活中常見的問題,在諸多大學本科的普通物理教材中都有相類似的討論,如對圓柱形容器中的液面高度和下降速度、出口處流速等重要物理量進行討論.但為了直接應用定常理想流體伯努利方程,研究者在模型建立過程中基本上都做了定常流動假設[1-2].在處理實際問題中,因液面下降而引起的非定常流動影響是必須考慮的因素.毛根海[3]在應用流體力學中提出了一種取液面高度微元處理非定常流動的方法.祝洋等[4]用此方法在基于孔口出流模型的研究中,得到結論與定常假設下得到結果相差很大.林建忠等[5]、張兆順等[6]從歐拉方程出發(fā),推導出了非定常流動的伯努利方程.彭亮滔等[7]通過求解非定常流動的伯努利方程討論了希羅噴泉的動力學問題.這些研究中所涉及的數(shù)學處理方法,對進一步深入研究類似問題提供了重要思路.實際流體問題的處理中,容器形狀、器壁阻力、液體類型等因素也會對流動特性造成影響.魯進利等[8]通過比較相同直徑、不同管長的壓差,研究了細小圓管內(nèi)液體流動阻力特性實驗研究,結果表明隨著管徑減小,摩擦因子也減小,且在層流區(qū)和湍流區(qū)內(nèi)均要比常規(guī)尺度條件下的小.陸向迅等[9]數(shù)值模擬的方法,對矩形微通道內(nèi)液體流動與傳熱進行了研究,結果表明流體黏度隨溫度對fRe的影響和黏性耗散對熱起始段的作用不能忽略.郝鵬飛等[10]在對粗糙微管道內(nèi)液體流動特性實驗研究中,發(fā)現(xiàn)在粗糙單元附近形成的壓差阻力是導致流動阻力增加的主要原因,粗糙單元還會引起微管道內(nèi)的流動失穩(wěn),導致粗糙微管道內(nèi)層流向湍流的轉捩點提前.凌智勇等[11]在低黏度液體在微管道中流動特性實驗研究中,發(fā)現(xiàn)不同長徑比對流動特性有一定的影響,在一定條件下出現(xiàn)了明顯的尺度效應,管道內(nèi)壁出現(xiàn)速度滑移致使流量增大.齊紅媛[12]采用去離子水和乙醇作為媒介,通過實驗和數(shù)值模擬的方法研究了在玻璃微通道內(nèi)的液體流動特性,結果表明材料表面的微觀幾何形貌以及元素種類均可以改善材料表面的潤濕性能.我們前期研究中應用理想流體定常條件下的伯努利方程和連續(xù)性方程等,對靜止圓柱形容器中非旋轉流體沿底部開孔下漏時,液面距底部高度與液面初始高度和時間的關系進行了推導,得到的線性關系結論,其中是一個與圓柱形直徑和漏孔直徑比值相關的系數(shù).用水做實驗的結果很好地驗證了上述線性關系,但數(shù)據(jù)擬合斜率與理論值存在一定的差異[13].這種差異可能來自因液面下降而引起的非定常流動的影響,也可能與液體類型、容器形狀、器壁阻力等因素有關,由于只采用了單一液體進行了實驗,故未對理論和實驗結果差異的原因未做分析.為進一步深入研究上述問題,本文將從流體的歐拉方程出發(fā),首先建立非旋轉條件下圓柱形底部中心開孔容器中液體的非定常流動伯努利方程,再結合理想流體的連續(xù)性方程,分別采用準定常、非定常近似逼近、精確解析求解等方法,對流動特性進行研究,并結合不同介質的實驗結果,進行模型驗證和數(shù)值分析,以及對準定常解和非定常近似逼近解的關系進行討論.

1 非定常伯努利方程的導出

1.1 流體力學歐拉描述下的隨體導數(shù)

流體力學通常有歐拉描述和拉格朗日描述兩種描述方式,其中歐拉描述是一種場描述.通過觀察流場中固定空間點的流動狀況以確定流體質點經(jīng)過該空間點時的物理量變化規(guī)律,即流體質點的任一物理量是空間和時間的函數(shù)

根據(jù)質點的蹤跡來看,z是時間ε4的函數(shù),因此,在直角坐標系中,物理量c0隨時間的變化率為

直角坐標系中速度場為

故有

通過矢量代數(shù)的方式可寫為不依賴坐標系的形式

1.2 理想流體非定常無旋流動的伯努利方程

通過對流體微元應用牛頓第二定律可以得到流體的運動微分方程,即歐拉方程

容易看出方程左邊描述流體微元的運動情況,方程右邊描述流體微元的受力情況.

對于歐拉方程,根據(jù)隨體導數(shù)公式

以及矢量代數(shù)的運算公式

若液體無黏滯性,則流體微元之間沒有摩擦力,僅有正壓力,應力張量為對角矩陣

則有

若流場無旋,則有

對上式沿任一瞬時流線L積分

可得不可壓縮無黏性流體在重力場下非定常無旋流動的伯努利方程

2 圓柱形底部中心開孔容器中液體無旋下漏的物理模型與求解

2.1 物理模型構建

現(xiàn)有一個直徑為D圓柱形容器,底部中心開孔的直徑為d.建立如圖1所示的坐標,定義圓孔中心處為坐標原點,坐標軸豎直向上,容器內(nèi)液面高度為z.對于過流截面有限大小的流動即總流,伯努利方程中的動能項應該是所有相同高度質元的平均動能乘上一修正系數(shù),但由于液面是同時下降,總流的伯努利方程等同于流線的伯努利方程.

記液面下降的速度為v,圓孔中心處液體流速為v孔,并將其視為開孔處的速度.因為液體是在面積處處相等的豎直圓柱形容器中同時下降,可視做整個液面以相同的速度v下降,且容易看出液面下降速度是逐漸減小的,所以式(1)中第一項積分可表示為

液體通過圓孔下漏時,在液面和圓孔處的壓強p0均與大氣壓相等.該模型下的非定常流動伯努利方程可化為

同時,根據(jù)流體力學中的質量守恒定律即連續(xù)性方程

考慮到流體不可壓縮,連續(xù)性方程可以進一步寫為

S孔v孔=S器v,

(2)

其定解條件為

2.2 模型在特殊情況下的解析解以及近似解

由于式(2)為二階非線性變系數(shù)非齊次常微分方程,通過常規(guī)方法難以求得其一般情況下的通解,本文將采用分類討論的方式簡化方程,以求該方程在特殊情況下的解析解和近似解.

2.2.1 方程在ε=1時的解析解

當ε=1時,非線性項為0,式(2)退化為線性方程

該方程的物理意義是流體的加速度等于重力加速度,而當ε=1時D=d,流體的動力學行為類似于自由落體運動,顯然該方程表述的正是這一動力學行為.

通過求解該方程,可以得出與自由落體運動公式相似的兩個式子:

2.2.2 方程在準定常流動下的解

(3)

對該方程分離變量并分別對時間、高度積分,同時考慮定解條件,則有

或

(4)

或

(5)

同時,還可以分別求出液面下降速度和圓孔處液體流出的速度與時間的關系式:

和

由于液面高度下降過程中勢必會發(fā)生液體流速隨時間變化,故在準定常近似下求解的所有關系式均只能在t比較小ε比較大的情況下才成立,t越大或ε越小則誤差越大.

2.2.3 逐級逼近法對非定常流動的討論

如前所述,一般情況下液體流動必然存在非定常性,為使方程的解更加符合實際情況,將使用準定常解逐次代入原方程以逐級逼近非定常流動,準定常解即為零級近似.

將其代入原方程,可以得到

進而可以得到一級近似下的結果:

分離變量并由定解條件積分可以得出一級近似下的液面高度與對應的時間關系:

(6)

t1=βkZ′.

重復上述運算過程,同理可以得出二級近似t2=βt1.根據(jù)數(shù)學歸納法,容易得出n級近似的表達式

tn=βnkZ′.

同時,對于液面下降速度和圓孔處液體流速,其n級近似為

和

液體流量的n級近似為

對于ε4=2的特殊情況,可以使用數(shù)值方法求得方程(2)的數(shù)值解,或者通過實驗總結出經(jīng)驗公式描述該情況.

2.3 模型的通解討論

(7)

于是自變量為t、因變量為z的微分式(7)可代換為自變量為z、因變量為v的如下微分方程

(8)

該方程為一階線性非齊次變系數(shù)常微分方程,其通解為對應齊次方程的通解再加上任意一個特解.

v=C1z-w,

式中C1為待定系數(shù).

根據(jù)齊次方程通解的形式,可取v=z-wu(z)作為式(8)的試探解,則有

(9)

將式(9)代入式(8)可得

并簡化為

分離變量并兩邊積分可得

最后由v=z-wu(z)可得

(10)

對式(10)進行分離變量積分可得

(11)

可通過以上關系的進一步求解,得到式(2)的通解,其中C、C′為待定系數(shù).

2.4 模型方程的進一步化簡

將式(10)代入式(2),可得

記

則方程為如下形式:

若用數(shù)學的符號習慣,以x代替t作為自變量,以y代替z作為自變量,且記ε4為一參量c0.則式(2)可寫成如下標準式,該式為一個常系數(shù)二階非齊次方程

y″+Ay-c0+B=0.

3 不同徑孔比圓形容器中液體無旋下漏的實驗研究

3.1 實驗研究方法

為驗證上述模型的準確性,按照圖1進行了實驗設計和測量.實驗中將外壁標有刻度、高度均為25 cm的不同直徑比圓柱形亞克力管置于水平支架上,使用軟塞堵住圓孔并灌滿低黏度流體.通過高速攝像機記錄下液體從容器中下漏的全過程,以液面底部為高度零點,借助計算機圖像分析,得到多次測量下液面高度z和對應時間t的平均數(shù)據(jù).為避免初始時拔去軟塞,以及結束時O點液柱不再連續(xù)且液體不能排盡對實驗的影響,只取液面高度在24 cm～1 cm范圍內(nèi)的數(shù)據(jù).

本文實驗研究中所涉及的低黏度液體分別為水,20 ℃時其黏度為1.0 cP;無機溶液飽和鹽水,20 ℃時其黏度為2.0 cP;有機溶液75%酒精,20 ℃時其黏度為2.6 cP.

3.2 不同液體水在非旋轉下漏的實驗結果與討論

3.2.1 容器內(nèi)徑D不變

按照上述方法,分別測量了容器內(nèi)徑為D=8.60 cm時,圓孔直徑d分別為0.80、0.90、1.00、1.10、1.20、1.30、1.40、1.50 cm時,三種液體液面高度z和時間t的測量數(shù)據(jù).表1給出了水的具體數(shù)據(jù).

表1 不同液面高度對應的時間

表2 D恒定時不同圓孔直徑d情況下相關物理參數(shù)

圖2 不同圓孔直徑d液面折合高度Z′與時間t的關系

根據(jù)前面推導的非定常解與準定常解關系tn=k′Z′=βnkZ′=βnt,即βn的值基本在1.5附近微小波動.但由于不同直徑比時β的值不同,這意味著在βn的相同的條件下,近似級數(shù)n存在較大差異.由表2中的數(shù)據(jù)進行對數(shù)運算logββn得,進而得到近似級數(shù)n.可以看出,非定常近似級數(shù)n與直徑比ε成正相關,但同一直徑比下,不同液體的n差異較小.

3.2.2 圓孔直徑d不變

采用上述方法,分別測試了圓孔直徑d=1.20 cm,容器內(nèi)徑分別為7.60、8.10、8.60、9.10、9.60 cm時三種液體的z和t的數(shù)據(jù),表3給出了水的具體值.

表3 不同液面高度對應的時間

同理,根據(jù)前述公式可得到相應折合高度.d=1.20 cm時不同直徑圓柱形容器中,三種液體下漏過程液面折合高度Z′與對應時間t的關系如圖3所示.可以看出,t與Z′各數(shù)據(jù)點均良好的二者之間線性關系,其形式也與理論解高度吻合.

圖3 不同容器內(nèi)徑D液面折合高度Z′與時間t的關系

圖4 擬合斜率k′和近似級數(shù)n隨ε變化的關系

同理,對圖3直線進行擬合與相關計算,可以得到小孔不變時不同直徑比情況下k、k′、βn、n等參數(shù)的值,如表4所示.由表4可見,βn的值仍然在1.5附近微小波動,非定常近似級數(shù)n與直徑比ε成正相關,與容器直徑不變情況下的結論一致.

表4 d恒定時不同容器內(nèi)徑D情況下相關物理參數(shù)

3.2.3 不同直徑比下液體參數(shù)對比

經(jīng)過上述實驗,可以發(fā)現(xiàn)分別以D和d為單一變量進行實驗所得到的結論具有很強的一致性.下面以直徑比ε為變量,進一步探究該模型的物理規(guī)律.現(xiàn)在將三種不同黏度、不同類型流體實驗所得的相關參數(shù)與直徑比的關系進行進一步的研究與分析.通過實驗研究與數(shù)據(jù)分析,得出了不同溶液在不同直徑比容器中下漏時,時間t與折合高度Z′的實際比例k′與近似級數(shù)n,具體數(shù)據(jù)如表5所示.

從表5中容易看出k′、n均與ε成正相關,通過以ε的不同次冪為自變量,k′、n分別作為因變量分別進行線性擬合.斜率k′與ε2和n與ε4關系如圖3所示,均呈良好的線性關系.

可以看出,隨著液體黏度的增大,k′-ε2線性擬合斜率和n-ε4線性擬合斜率均在對圖3進行線性擬合,可以得到對應參數(shù),如表6所示.考慮到流體的流動性隨著黏度增大而減小,可定性認為二者隨流體黏度增大而減小,但具體的定量關系式還需進一步研究.

由于k′-ε2線性擬合斜率和n-ε4線性擬合斜率隨流體黏度的變化率都很小,可以認為使用低黏度流體時k皆為常數(shù),經(jīng)計算可以得出數(shù)值關系的經(jīng)驗公式

k′=0.696ε2和n=0.848ε4.

(12)

t=0.696ε2Z′ .

另外,將經(jīng)驗式(12)代入n級近似的表達式,可以求出k′的另一個表達式

則時間t和液面高度z的關系式可表示為

4 結論