四階非線性分數(shù)階反應擴散方程的混合有限元方法

覃 燕 梅

(內(nèi)江師范學院 數(shù)學與信息科學學院, 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

近年來,分數(shù)階偏微分方程因其在物理、化學、生物和工程等各個領域的頻繁出現(xiàn)而成為研究的焦點[1-5]. 四階分數(shù)階反應擴散方程是一類重要的四階分數(shù)階偏微分方程模型,經(jīng)常出現(xiàn)在許多科學領域,如:反應擴散行波問題系統(tǒng),液晶中疇壁的傳播和雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的模式形成等[6-10]. 本文將研究如下四階非線性分數(shù)階反應擴散方程:

(1)

其中Ω?R2,J=(0,T]分別表示空間區(qū)域和時間區(qū)域,且Ω是一個有界凸多邊形區(qū)域,邊界為?Ω,反應項f(u)是關于u的非線性函數(shù),且滿足|f(u)|≤C|u|和|f′(u)|≤C(C>0為常數(shù)),初始值u0(x)和g(x,t)為已知函數(shù),且Riemann-Liouville(R-L)分數(shù)階導數(shù)定義為

本文結構安排如下:第1節(jié),推導出含參數(shù)θ的二階混合有限元格式;第2節(jié),導出該格式的無條件穩(wěn)定性;第3節(jié),對該格式的先驗誤差進行詳細分析,并證明誤差結果在時間上可達到二階精度.

1 含參數(shù)θ的二階混合有限元格式

為了給出全離散格式,在時間區(qū)間[0,T]上插入節(jié)點:tn=nΔt(n=0,1,2,…,N),對于任意正整數(shù)N,步長Δt=T/N,tn滿足0=t0

引理1[16]若

在tn-θ時刻,存在如下二階逼近:

(2)

其中

(3)

f(tn-θ)=(1-θ)fn+θfn-1+O(Δt2)
?fn-θ+O(Δt2),

(4)

g(v(tn-θ))=
(2-θ)g(vn-1)-(1-θ)g(vn-2)+O(Δt2)
?g[vn-θ]+O(Δt2).

(5)

(6)

其中

(7)

而

(8)

引理5[15-17]設{?γ(i)}如式(7)所定義,則對任意實向量(v0,v1,…,vL)∈RL+1和正整數(shù)L,有

(9)

成立.

為了形成混合有限元算法,引入輔助變量σ=Δu,可將原問題(1)改下為如下耦合系統(tǒng):

(10)

當n=1時,

(11)

當n≥2時,

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

注2文獻[10,15]所研究的方法僅僅針對f(u)=γu(γ為常數(shù))進行了討論,而本文針對f(u)為u的非線性函數(shù)進行了討論. 相比于文獻[14]的雙重有限元方法,本文所給的方法不需要在多重網(wǎng)格上進行計算.

該格式的穩(wěn)定性和誤差估計將在下面兩節(jié)給出.

2 穩(wěn)定性

為了討論的方便,本文用c表示與h和Δt無關的非負常數(shù),且在不同的情況下表示不同的常數(shù)．

(16)

其中

[χn]=(3-2θ)‖χn‖2-(1-2θ)‖χn-1‖2+
(2-θ)(1-2θ)‖χn-χn-1‖2,

(17)

且

(18)

(19)

??

(20)

根據(jù)式(6)、Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和|f(u)|≤c|u|,可得

(21)

(22)

和

(23)

將式(21)-(23)代入式(20)可得

??

(24)

(25)

可得

(26)

用類似于n≥2的方法,可以得到

(27)

又因為

故進一步可得

??

(28)

將式(28)代入(24),并由式(9)可得

(29)

根據(jù)Gronwall不等式和引理6可得

(30)

即得到定理1的結論.證畢.

3 先驗誤差估計

為了給出先驗誤差估計,引入投影和估計不等式.

(?v,?φh)=(?(Λhv),?φh), ?φh∈Vh,

(31)

滿足估計不等式

(32)

存在不依賴時空步長(h,Δt)的常數(shù)c,使得對n≥1,有

證明為了給出誤差估計,引入記號

(33)

和

(34)

當n=1時,

(35)

當n≥2時,

(36)

??

(37)

??

(38)

根據(jù)式(6)、Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式、|f(u)|≤c|u|和|f′(u)|≤c,可得

(39)

(40)

(41)

和

(42)

將式(39)-(42)代入式(38),可得

??

(43)

(44)

??

(45)

將式(45)代入式(43)可得

??

(46)

根據(jù)式(9)、(18)、(46)和Gronwall不等式,得

再結合三角不等式可得定理2.證畢.

4 結語

本文基于θ格式結合分數(shù)階導數(shù)的WSGD格式近似時間方向,并采用Galerkin有限元方法離散空間方向,針對四階非線性分數(shù)階反應擴散方程,建立了二階混合有限元格式. 證明了該方法的無條件穩(wěn)定性,給出了先驗誤差估計. 誤差結果表明,本文所建立的格式在時間上可達到二階精度.