雙定數(shù)混合截尾下Burr XII分布失效率和可靠度的貝葉斯估計

金雪蓮, 李云飛

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637009)

0 引言

定數(shù)截尾試驗是可靠性統(tǒng)計分析中一種重要的壽命試驗方案.定數(shù)截尾試驗方案是取n個產(chǎn)品,事先規(guī)定失效數(shù)r,截尾樣本記為t1≤t2≤…≤tr.諸多學(xué)者對此試驗方案進行了研究.龍兵等[1-2]研究了定數(shù)截尾試驗下Lomax分布參數(shù)的估計問題;張春雨等[3]研究了在不同損失函數(shù)下Poisson-Lomax分布參數(shù)的Bayes估計;劉璐等[4]研究了Pareto分布參數(shù)的區(qū)間估計問題.龍兵等[5]提出了雙定數(shù)混合截尾試驗,即兩個定數(shù)截尾試驗的混合,雙定數(shù)混合截尾試驗與定數(shù)截尾試驗相比,能更多了解產(chǎn)品的性能和提高產(chǎn)品的精度.

Burr XII分布由Burr[6]在1942年基于微分方程dF(x)/dx=F(x)(1-F(x))g(x,F(x))引入,在社會學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,國內(nèi)外眾多學(xué)者致力于研究此分布. Kohansal[7]研究了混合逐步截尾樣本下Burr XII分布的Bayes估計和經(jīng)典估計; Rania等[8]對Burr XII分布和Weibull分布的未知參數(shù)進行估計;周巧娟[9]研究了Burr XII分布參數(shù)θ的估計問題;周潔等[10]基于不同的損失函數(shù)對Burr XII分布參數(shù)θ的Bayes估計問題進行討論;劉榮玄[11]基于逐次定數(shù)截尾樣本,采用減函數(shù)法對Burr XII分布的失效率的Bayes估計進行了討論;韋師等[12]結(jié)合復(fù)合LINEX對稱損失函數(shù),研究Burr XII分布的Bayes估計和E-Bayes估計;王雪琴等[13]研究了Burr Type XII分布參數(shù)θ的估計問題.然而在雙定數(shù)混合截尾場合,研究Burr XII分布失效率和可靠度的Bayes估計的文獻較少.因此,本文假設(shè)刻度參數(shù)已知,將基于雙定數(shù)混合截尾試驗對Burr XII分布失效率和可靠度的Bayes估計問題進行討論.

Burr XII分布的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)為:

F(x,α,θ)=1-(1+xα)-θ,
x>0,α>0,θ>0,
f(x,α,θ)=αθxα-1(1+xα)-(θ+1),
x>0,α>0,θ>0,

其中α為刻度參數(shù),θ稱為形狀參數(shù).

失效率和可靠度函數(shù)分別為:

雙定數(shù)混合截尾試驗如下:假設(shè)隨機抽取n個壽命獨立同分布的樣品進行試驗,事先確定正實數(shù)t0以及正整數(shù)m1,m2,且滿足m1

把上述兩種情形分別表示為CaseI和CaseII,從而得到如下觀測數(shù)據(jù):

其中

1 取共軛先驗分布族時的Bayes估計

設(shè)Burr XII分布的樣本容量為n的雙定數(shù)混合截尾樣本為x*=(x1:n,x2:n,…,xk:n),則x*的似然函數(shù)為

(1)

取形狀參數(shù)θ的先驗分布為Ga(a,b),其概率密度函數(shù)為

(2)

由式(1)、(2),可得到θ的后驗密度函數(shù):

由于H(x)=αθxα-1(1+xα)-1,則

H>0,因此,H(x)的后驗密度函數(shù)為

利用平方損失函數(shù)和熵損失函數(shù)的定義及計算公式[14-17],可得到如下定理.

定理1在平方損失函數(shù)L(H,δ)=(H-δ)2下,若形狀參數(shù)θ的先驗分布為π1(θ),則H(x)的Bayes估計為

證明在平方損失函數(shù)下,H(x)的Bayes估計為

證明在熵損失函數(shù)下,H(x)的Bayes估計為

由于可靠度R(x)=(1+xα)-θ=e-θln(1+xα),則可以得到可靠度R(x)的Bayes估計如下.

定理3在平方損失函數(shù)L(R,δ)=(R-δ)2下,若形狀參數(shù)θ的先驗分布為π1(θ),則R(x)的Bayes估計為

證明在平方損失函數(shù)下,R(x)的Bayes估計為

令[b+s+m+ln(1+xα)]θ=y,則上式為

證明在熵損失函數(shù)下,R(x)的Bayes估計為

2 取無信息先驗時的Bayes估計

θ>0.

(3)

由式(1)、(3),可得到θ的后驗密度函數(shù)為

即

θ>0.

根據(jù)先驗分布π2(θ)可得如下定理.

定理5在平方損失函數(shù)L(H,δ)=(H-δ)2下,若形狀參數(shù)θ的先驗分布為π2(θ),則H(x)的Bayes估計為

定理7在平方損失函數(shù)L(R,δ)=(R-δ)2下,若形狀參數(shù)θ的先驗分布為π2(θ),則R(x)的Bayes估計為

定理5-8的證明過程在此省略.

3 算例分析

類似文獻[19]的方法,用隨機模擬產(chǎn)生一個服從Burr XII分布的簡單隨機樣本,步驟如下:

(1)設(shè)均勻分布U(0,1)產(chǎn)生的相互獨立隨機樣本為Y1,Y2,…,Yn.

其中一個樣本按從小到大排列如下:0.368 2,0.513 9,0.556 1,0.587 3,0.734 2,0.844 3,0.904 8,0.920 6,1.243 6,1.259 8,1.321 2,1.355 7,1.399 3,1.399 5,1.454 5,1.562 0,1.831 2,2.232 7,2.307 9,4.152 1.

以上樣本取不同的截尾數(shù),可以計算出H(x)和R(x)在Gamma分布和Jeffreys先驗分布下的Bayes估計以及各個估計的誤差值(括號中),如表1和表2所示.

表1 失效率H(x)的估計

表2 可靠度R(x)的估計

由表1和表2可知:

(1)在雙定數(shù)混合截尾試驗下,得到的失效率H(x)和可靠度R(x)估計值的誤差比定數(shù)截尾試驗下所得估計值的誤差更小,說明雙定數(shù)混合截尾試驗可以提高估計精度.

(2)當(dāng)刻度參數(shù)α已知,形狀參數(shù)的先驗分布取Gamma分布時,在平方損失和熵損失函數(shù)下, Burr XII分布的失效率H(x)和可靠度R(x)的Bayes估計都比取Jeffreys先驗分布更接近真實值.

4 結(jié)論

在雙定數(shù)混合截尾試驗下,對Burr XII分布的失效率和可靠度做估計,在Jeffreys先驗分布和Gamma分布下,對不同損失函數(shù)下失效率和可靠度的Bayes估計進行比較.結(jié)果表明,與定數(shù)截尾試驗相比,雙定數(shù)混合截尾試驗可以提高失效率和可靠度的估計精度.當(dāng)形狀參數(shù)θ的先驗分布取Gamma分布時,失效率和可靠度的Bayes估計值比取Jeffreys為先驗分布時估計結(jié)果更好.