趨化NS系統(tǒng)的全局吸引子

尹艷瓊, 范小明

( 西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610065)

0 引言

趨化現(xiàn)象刻畫的是生物在環(huán)境中某些化學(xué)物質(zhì)的影響下產(chǎn)生的一種定向運動.關(guān)于它的研究可追溯到Patlak[1]和Keller等[2-3]的創(chuàng)造性工作,他們提出的趨化模型主要研究在化學(xué)物質(zhì)的影響下細(xì)菌的聚集過程.而生物學(xué)中的許多問題都可以用趨化NS系統(tǒng)來進行模擬[4-10],因此對于數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家來說,趨化NS系統(tǒng)已經(jīng)成為重點的研究數(shù)學(xué)模型之一[11-13].至今對于此類方程的解的適定性問題已有了大量研究[14-20],但是有關(guān)其吸引子的研究甚少.因此本文主要考慮在二維有界域下的趨化NS系統(tǒng)的全局吸引子:

?tn+u·?n-Δn=
-?·(S(n)?S1(c))-?·(n?m)+
f(n,c,m),x∈Ω,t>0,

(1)

?tc+u·?c-Δc=-nc-c+k,x∈Ω,t>0,

(2)

?tm+u·?m-Δm=
-m+g(c,m),x∈Ω,t>0,

(3)

?tu+(u·?)u-Δu=?p+n?φ,x∈Ω,t>0,

(4)

?·u=0,x∈Ω,t>0,

(5)

其中未知函數(shù)u=(u1,u2),n,c,m,p分別代表流體速度,細(xì)胞種群密度,氧氣,化學(xué)引誘劑,流體壓力.k是一個常數(shù).Ω?2是一個帶有光滑邊界Γ:=?Ω的有界區(qū)域.

針對以上方程,我們考慮n,c,m滿足Neumann邊界條件,u滿足no-slip邊界條件

(6)

其中ν(x)是x∈Γ上的單位外法向量.

初始條件

n(x,0)=n0(x),c(x,0)=c0(x),
m(x,0)=m0(x),u(x,0)=u0(x),x∈Ω,

(7)

同時假設(shè)φ是重力勢并且滿足?φ∈L∞(Ω),Δφ=0.

并滿足下列條件:

1)0≤f(n,c,m)≤-αn+βc+ηm,其中α是正的常數(shù),β,η是常數(shù).

其中γ≤1-2μ-μ1.

本文結(jié)構(gòu)如下:第一部分給出所需的函數(shù)空間以及一些基本定義定理;第二部分證明系統(tǒng)吸引子的存在性;第三部分證明系統(tǒng)是一致漸近緊的.

1 預(yù)備知識

本章節(jié)將會給出一些符號和概念.

L2(Ω)是Hilbert空間,其內(nèi)積和范數(shù)分別為

我們記

其中

定義1[21-22]設(shè){S(t)}t≥0是算子半群,若緊集A?H滿足條件:

(1)A是不變集,即S(t)A=A,?t≥0.

(2)A是一致吸引的,即對于H中的任意一個有界集B,滿足

則稱A是半群{S(t)}t≥0的全局吸引子.

引理1[22]Ω是n上的有界開集,若對任意的

則有

‖u‖Lq(Ω)≤C‖?u‖Lp(Ω),

引理2[21]Ω是n上的有界開集,則對任意的

有

引理3[21](一致 Gronwall 引理) 設(shè)y,y1,y2,y′2在[t0,+∞)上均是正的局部可積函數(shù), 若對于t≥t0,滿足

y′2≤yy2+y1,

其中r,a1,a2,a3是正的常數(shù).則對?t≥t0,有

定理1假設(shè)S,S′,f,g,h滿足以上所給條件,初邊值條件滿足(6)-(7),則在二維空間上,趨化NS系統(tǒng) (1)-(5)存在唯一的整體解(n,c,m,u),且?T>0,有

此定理的證明主要是運用Faedo-Galerkin方法[21],可參考文獻[23-26],在此不做過多贅述.

根據(jù)定理1,可在空間H上定義連續(xù)的算子半群{S(t)}t≥0:

下面運用Temam[21]的研究方法推出在空間H上半群{S(t)}t≥0的全局吸引子A存在.

2 吸收集

證方程(2)的兩邊分別與c作L2(Ω)的內(nèi)積

故有

(8)

設(shè)B1是L2(Ω)中的一個有界集,包含在以RB1為半徑、0為圓心的球領(lǐng)域里面.則存在常數(shù)γ1>ρ1,以及

證由引理4可知,c從L2(Ω)的任一有界集出發(fā),時間t1過后,總是會回到吸收集B1中,其中B1是ο(0,γ1)在L2(Ω)中的有界閉集,故可設(shè)c總在B1中.方程(3)的兩邊分別與m作L2(Ω)的內(nèi)積

(-m,m)+(g(c,m),m).

由條件2)可得

(g(c,m),m)≤

再由引理4可得

即

(9)

故

由Gronwall不等式,有

設(shè)B2×B1是L2(Ω)×L2(Ω)中的一個有界集,包含在以RB2×B1為半徑、0為圓心的球領(lǐng)域里面.則存在常數(shù)

由引理5可知,(m,c)從L2(Ω)×L2(Ω)的任一有界集出發(fā),時間t2過后,總是會回到吸收集B2×B1中,其中Bi(i=1,2)是ο(0,γi)(i=1,2)在L2(Ω)中的有界閉集,故可設(shè)(m,c)總在中B2×B1.

引理6從吸收集B2×B1出發(fā)的解(c,m)滿足

證方程(3)的兩邊分別與m作L2(Ω)的內(nèi)積

(-m,m)+(h(n,m),m).

由引理4可得

從0到t對s進行積分,有

則

對方程(2)的兩邊分別與c作L2(Ω)的內(nèi)積

(-nc,c)+(-c+k,c).

由引理5可得

從0到t對s進行積分,有

則

證對方程(1)的兩邊分別與n作L2(Ω)的內(nèi)積,得到

再由條件3)可得

再由條件1)、引理4、引理5及Young不等式,可得

故

(10)

令

由引理6可得

其中

設(shè)B3×B2×B1是L2(Ω)×L2(Ω)×L2(Ω)中的一個有界集,包含在以RB3×B2×B1為半徑,0為圓心的球領(lǐng)域里面.則存在常數(shù)γ3>ρ3,

證由引理7可知,(n,c,m)從L2(Ω)×L2(Ω)×L2(Ω)中的任一有界集出發(fā),時間t3過后,總會回到吸收集B3×B2×B1中,其中Bi(i=1,2,3)是ο(0,γi)(i=1,2,3)在L2(Ω)中的有界閉集,故可設(shè)(n,c,m)總在B3×B2×B1中.

(?p,u)+(n?φ,u).

此時壓力項將會消失,得到

因為?φ∈L∞(Ω),故存在一個常數(shù)C,使得‖?φ‖L∞

(11)

利用Gronwall不等式,得

定理2由方程(1)-(5)生成的解半群{S(t)}t≥0,在H上具有一個正向有界不變的吸收集.

引理9設(shè)(u,n,c,m)∈,其中 為有界吸收集,則對任意固定r>0,存在常數(shù)γ5(r)>0,γ6(r)>0,γ7(r)>0,γ8(r)>0,使得

證因為(u,n,c,m)∈,故式(8)-(11)成立.對任意固定r>0,將式(11)兩邊同時從t到t+r對s進行積分,有

由引理8可知,存在常數(shù)

使得

將式(9)兩邊同時從t到t+r對s進行積分,有

由引理5可知,存在常數(shù)

將式(8)兩邊同時從t到t+r對s進行積分,有

將式(10)兩邊同時從t到t+r對s進行積分,有

由引理7可知,存在常數(shù)

3 漸近緊性

本節(jié)證明半群{S(t)}t≥0是一致漸近緊的,設(shè)B?H是{S(t)}t≥0正向不變集, (n,c,m,u)是系統(tǒng)(1)-(5)的解.現(xiàn)只需證明從B出發(fā),最終此系統(tǒng)的解進入K的有界集.

證將方程(4)兩邊同時乘以-Δu,并在Ω上積分,得

(?tu,-Δu)-(Δu,-Δu)=

((u·?)u,Δu)+(n?φ,-Δu).

由Young不等式和引理8,有

使用一致Gronwall引理可得

證將方程(2)兩邊同時乘以-Δc,并在Ω上積分,得

(?tc,-Δc)-(Δc,-Δc)=
(u·?c,Δc)+(nc,Δc)+(-c+k,-Δc).

其中k2是充分大的正常數(shù).

故有

(12)

對上式關(guān)于s從0到r積分,可得

由定理8可得

證將方程(2)兩邊同時乘以-Δc,并在Ω上積分,得

(?tm,-Δm)-(Δm,-Δm)=
(u·?m,Δm)-(m,-Δm)+(g(c,m),-Δm).

其中k3是充分大的正常數(shù).

從而

故,由引理11,有

(13)

對上式關(guān)于s從0到r積分,可得

證方程(4)兩邊同時乘-Δn,并在Ω上積分

(?tn,-Δn)-(Δn,-Δn)=
(u·?n,Δn)+(-?·(S(n)?S1(c)),-Δn)-
(?·(n?m),-Δn)+(f(n,c,m),-Δn),

其中k5為充分大的正常數(shù).

從而

其中

則

任意的T>0,對式(12)、(13)分別在區(qū)間[0,T]上積分,可得

再由引理11和引理12,可得

定理3由方程(1)-(5)生成的解半群{S(t)}t≥0是一致漸近緊的.

由定理2和定理3可得以下定理.

定理4由方程(1)-(5)生成的解半群{S(t)}t≥0,在H上具有一個全局吸引子.

4 結(jié)論

本文利用Temam等人的理論,證明了在二維空間下趨化NS系統(tǒng)存在全局吸引子.一般地,在獲得系統(tǒng)的吸收集和算子{S(t)}t≥0的一致漸近緊性時,我們將幾個方程抽象為一個整體進行處理.而本文在證明過程中將方程分為四個部分,分別在對應(yīng)的函數(shù)空間上進行證明,并且證明的順序是不可改變的.在以后的研究中,可進一步討論此類方程的吸引子維數(shù),以及在三維空間下研究其吸引子的存在性問題和吸引子維數(shù)問題.