基于逆向思維的初中數(shù)學(xué)解題模式建構(gòu)

蔡玲玲

【摘要】基于逆向思維的初中數(shù)學(xué)解題模式建構(gòu)，已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂的重要環(huán)節(jié).逆向思維對(duì)于優(yōu)化學(xué)生思維結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生綜合素養(yǎng)具有重要意義.基于此，文章闡述了教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維判斷數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題、解決運(yùn)算問(wèn)題以及證明問(wèn)題，以期為相關(guān)教育從事工作者提供有益參考.

【關(guān)鍵詞】逆向思維；初中數(shù)學(xué)；解題模式；教學(xué)策略

逆向思維，顧名思義是轉(zhuǎn)換現(xiàn)有思維方式，進(jìn)行逆向思考，由此對(duì)相應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行解決.新課改要求對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行改革，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建立逆向思維的解題思路.相比傳統(tǒng)的教學(xué)方式，基于逆向思維的初中數(shù)學(xué)解題模式教學(xué)有利于改變學(xué)生的固化思維，讓學(xué)生發(fā)揮自身的創(chuàng)造性，找到新的解題思路和方法，同時(shí)有利于教師創(chuàng)新教學(xué)方式，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中另辟蹊徑，構(gòu)建高效課堂，最終實(shí)現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)全面提升的目標(biāo).

一、逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)形式

（一）利用反證法

反證法在初中數(shù)學(xué)中是一種較為重要的解題思維模式，它屬于“間接證明法”的其中一類.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，反證法就是在肯定題目的基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，如果能從否定的結(jié)論中倒推回原本的命題條件，且得出的結(jié)果一致，那么就是利用了反證法.以往的教學(xué)中通常都是由題目推導(dǎo)出矛盾和結(jié)論，但有些時(shí)候這樣的方式很難進(jìn)行，因此，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反證法的學(xué)習(xí).反證法在初中的學(xué)習(xí)階段占據(jù)重要地位，這樣的解題思維模式對(duì)于學(xué)生高中、大學(xué)乃至以后的生活都會(huì)有較大的幫助.反證法可以讓學(xué)生的思維突破原有的禁錮，變得更加靈活，并提升學(xué)生自身的數(shù)學(xué)深度.

（二）利用反例法

反例法，指的是舉出符合某個(gè)命題的條件，但又不符合該命題結(jié)論的例子的方法.在進(jìn)行數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)的時(shí)候，不少學(xué)生會(huì)遇到一些命題，從表面來(lái)看無(wú)法通過(guò)邏輯推理判斷其是否成立，此時(shí)學(xué)生會(huì)陷入迷茫.此時(shí)，教師可以列舉出一些滿足相應(yīng)數(shù)學(xué)命題條件的例子，再引導(dǎo)學(xué)生自行對(duì)結(jié)果進(jìn)行判斷.這些命題中有一些符合推斷的結(jié)果，有一些則不能與結(jié)果相適應(yīng)，學(xué)生要自己學(xué)會(huì)判斷.教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)注意多提出一些不符合命題結(jié)論的例子，這樣才符合反例法的核心環(huán)節(jié).反例法的教學(xué)可以讓學(xué)生在解題時(shí)運(yùn)用逆向思維思考，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.

二、逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

（一）以逆向思維判斷數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題

在初中數(shù)學(xué)練習(xí)中，有很多題目可以做出可逆性的推理.反逆判斷法就是對(duì)數(shù)學(xué)定理、概念和問(wèn)題作出逆命題，它是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題進(jìn)行逆向思考的重要基礎(chǔ).初中數(shù)學(xué)的理論和概念問(wèn)題在一般情況下都能夠運(yùn)用反逆思維加以處理，在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師往往需要指導(dǎo)學(xué)生把繁雜的題目簡(jiǎn)單化，使它變得通俗易懂.初中數(shù)學(xué)教師要做好這方面并不容易，所以在日常的教學(xué)中需要讓學(xué)生記清并理解定義的內(nèi)容，從而能巧妙應(yīng)用于命題判定中，還要多鍛煉學(xué)生逆命題的運(yùn)用，從一開(kāi)始就培養(yǎng)學(xué)生逆向思維方式.有了逆向思維的思考模式后，學(xué)生的思維活性才能被激發(fā)出來(lái)，其創(chuàng)思思維也能得到提高.這樣的教學(xué)方式不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促使學(xué)生自行對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題進(jìn)行判斷，還可以提高學(xué)生的思維深度，讓學(xué)生有更新穎的解題思路和更廣闊的發(fā)展道路.

例如，在教學(xué)“勾股定理”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維判斷數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題.勾股定理有其定義以及逆定理，本質(zhì)含義都是根據(jù)a2+b2=c2判斷三角形是直角三角形，這其中呈現(xiàn)出的是代數(shù)關(guān)系到幾何結(jié)論的推斷過(guò)程.在知道了三角形的三邊長(zhǎng)度后，就可以運(yùn)用定理判斷其實(shí)際的性質(zhì).這一課的內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，但在某些特殊情況下會(huì)運(yùn)用到反證法.這樣的思維模式可以幫助學(xué)生提高思維的靈敏度，從問(wèn)題中快速找到解決方法.同時(shí)這種方式，能夠幫助學(xué)生明確問(wèn)題所在，讓學(xué)生在分析問(wèn)題的過(guò)程中能夠堅(jiān)持問(wèn)題的導(dǎo)向性，避免因思路錯(cuò)誤，而導(dǎo)致的解題過(guò)程錯(cuò)誤，從而大大提高學(xué)生解題的正確性，從而增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

（二）逆向思維在數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題中的應(yīng)用

逆運(yùn)算是要求學(xué)生在正面求解過(guò)程中遇到困難時(shí)使用的方式.初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較小學(xué)階段，難度變大，學(xué)生一開(kāi)始難免不適應(yīng)，對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題的解決方法依舊停留在以往的正向思維中.小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算量要求較低，學(xué)生只需要進(jìn)行等式運(yùn)算，得到唯一答案.而初中數(shù)學(xué)習(xí)題，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)不等式命題等，這時(shí)候就需要學(xué)生運(yùn)用逆運(yùn)算進(jìn)行求解.將逆運(yùn)算運(yùn)用到不等式等命題的解題教學(xué)中，可以打破學(xué)生固有的思維模式，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)題目變得更加清晰易懂，解題的過(guò)程會(huì)變得更加輕松.這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性就會(huì)被激發(fā)出來(lái)，其學(xué)習(xí)的自信力也會(huì)逐步建立起來(lái).除此之外，教師還可以在時(shí)間允許的情況下引導(dǎo)學(xué)生找到多種解決方式，從而幫助學(xué)生建立逆向思維.

例如，在教學(xué)“分式的運(yùn)算”時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思想處理計(jì)算問(wèn)題.因?yàn)榉质降倪\(yùn)算比整式的計(jì)算更加復(fù)雜，其過(guò)程也更多變.當(dāng)遇到分式計(jì)算問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以使用約分、分母有理化、合并同類項(xiàng)的方法加以處理.而一些問(wèn)題可利用逆向計(jì)算方式，如單項(xiàng)式分項(xiàng)、乘除因式、分項(xiàng)式裂項(xiàng)等.在具體的問(wèn)題處理中，教師往往需要通過(guò)實(shí)際的教學(xué)情況指導(dǎo)學(xué)生調(diào)整自己的思考模式，并選用最適宜的方法完成具體問(wèn)題的解決，這樣學(xué)生的思維靈活性才會(huì)逐漸提高，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也會(huì)提升.以因式分解的習(xí)題為例：若多項(xiàng)式x2-ax-1可分解為（x-2）（x+b），求a+b的值.這道例題可以采用逆向思維解答，其分析過(guò)程如下：根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，把（x-2）（x+b）利用多項(xiàng)式乘法法則展開(kāi)，就能夠得到（x-2）·（x+b）=x2+bx-2x-2b=x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1，所以b-2=-a，-2b=-1，所以b=0.5，a=1.5，所以a+b=2.學(xué)生通過(guò)這種逆向思維方式的推導(dǎo)，能夠明確數(shù)與數(shù)、數(shù)與因式之間的關(guān)系，有效提高解題效率和解題正確率.

（三）逆向思維在一元一次不等式問(wèn)題中的應(yīng)用

（四）逆向思維在數(shù)學(xué)證明問(wèn)題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一種新的證明式問(wèn)題，要求學(xué)生通過(guò)步步推導(dǎo)從而判定給出的結(jié)論正確與否.這一類的問(wèn)題很多時(shí)候用正向思維也可以解決，但通常會(huì)有很曲折的過(guò)程，只運(yùn)用一種方法思考時(shí)，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)鉆牛角尖，困住自己的情況.因而在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師往往要注重于指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思想方法加以論證，以便學(xué)生迅速轉(zhuǎn)換解題思維從而解決問(wèn)題.逆向方向論證通過(guò)對(duì)習(xí)題的結(jié)果進(jìn)行解析，將原問(wèn)題的結(jié)論重新引出并說(shuō)明原問(wèn)題的成因，從而確認(rèn)原始命題正確.運(yùn)用以此類方式進(jìn)行習(xí)題求解，教師通常要求學(xué)生學(xué)會(huì)有效應(yīng)用分析法、反正法和逆證法等相關(guān)的逆向思想方法.學(xué)生可以通過(guò)相反的順序進(jìn)行推論，從習(xí)題看已知的條件，這樣可以發(fā)現(xiàn)新的解題思路和相應(yīng)的思維模式，在解決問(wèn)題的時(shí)候更加輕松.久而久之，學(xué)生的思維在這樣的訓(xùn)練下也會(huì)更加敏捷，在遇到相應(yīng)的證明問(wèn)題時(shí)也可以快速做出反應(yīng)并找到正確的解題方式.

例如，初中數(shù)學(xué)幾何是比較常見(jiàn)的數(shù)學(xué)題目類型，幾何試題的解題過(guò)程一般都是明確題目中的已知條件，并結(jié)合所學(xué)知識(shí)對(duì)已知條件進(jìn)行分析，最終實(shí)現(xiàn)解題目的.但是這種方法在解題過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到困難，很多學(xué)生不能合理運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，且利用已知條件不能合理推導(dǎo)和分析出題目中的結(jié)論，這種情況容易讓學(xué)生認(rèn)為幾何學(xué)習(xí)非常難，認(rèn)為幾何試題的解題過(guò)程非常復(fù)雜，從而影響學(xué)生的積極性.因此，合理利用逆向思維可以讓學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，讓學(xué)生假設(shè)需要什么條件，才能得到想要的結(jié)論，利用這種逆向推導(dǎo)的方式，幫助學(xué)生找到解題思路，提高學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生掌握解題的方法.

以實(shí)際的幾何證明題為例：如圖，O是半圓的圓心，C，E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO.求證：CD=GF

在證明這道題的過(guò)程中，已知的條件并不能直接得出想要的結(jié)論，所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考，應(yīng)逆向思維的方式求證該題.想要得到CD=GF的結(jié)論，就需要得到和EO=CO的條件，學(xué)生通過(guò)利用這種逆向思維并結(jié)合相似三角形的相關(guān)概念進(jìn)行推導(dǎo)即可證明.

在解以上這種幾何證明題過(guò)程中，采用類似的逆向思維是比較常見(jiàn)的，在沒(méi)有思路的情況下，從命題結(jié)論入手，進(jìn)行反向思考和推導(dǎo)，能夠快速地找到問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，從而提高解題效率.

三、培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)逆向思維的措施

（一）培養(yǎng)意識(shí)

受傳統(tǒng)教學(xué)觀念的影響，初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中更傾向于使用正向思維進(jìn)行解題，使用逆向思維解題的意識(shí)較為匱乏，但是逆向思維的應(yīng)用能夠有效提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，活躍學(xué)生的思維，使學(xué)生擺脫傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的束縛.因此，在教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)該重視培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，讓學(xué)生能夠充分意識(shí)到逆向思維的重要性，引導(dǎo)學(xué)生自主運(yùn)用逆向思維.這就要求教師在日常的課堂活動(dòng)中，堅(jiān)持貫徹逆向思維的引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠意識(shí)到逆向思維能夠更高效的解題，而且正確率也更高，從而使學(xué)生更愿意運(yùn)用逆向思維，實(shí)現(xiàn)意識(shí)和能力的全面提升.

（二）夯實(shí)基礎(chǔ)

結(jié)合新課標(biāo)的教學(xué)要求和教學(xué)理念，教師應(yīng)該將培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力作為教育重點(diǎn)，然而教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生各種思維能力的培養(yǎng)應(yīng)該以基礎(chǔ)知識(shí)為根本，所以教師應(yīng)該重視學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在教學(xué)過(guò)程中夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，要求學(xué)生能夠準(zhǔn)確、全面的掌握數(shù)學(xué)相關(guān)的公式定理以及基本的解題思路，只有這樣，學(xué)生在能夠在解題過(guò)程中將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，并能對(duì)相關(guān)公式定理進(jìn)行合理地應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)更高效的學(xué)習(xí).

（三）強(qiáng)化訓(xùn)練

逆向思維能力的培養(yǎng)，離不開(kāi)學(xué)習(xí)過(guò)程中的強(qiáng)化訓(xùn)練，通過(guò)日積月累的練習(xí)，學(xué)生才能在實(shí)際的解題過(guò)程中更熟練地應(yīng)用相關(guān)知識(shí).在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)學(xué)生逆向思維的專項(xiàng)訓(xùn)練，讓學(xué)生更加清楚逆向思維的使用方法，確保學(xué)生能夠在解題過(guò)程中靈活運(yùn)用.例如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)平面圖形”后，教師可以根據(jù)“同位角相等，兩直線相互平行”的概念讓學(xué)生進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，并且讓學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中自己推導(dǎo)定理.學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中能夠強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，還可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶，進(jìn)而掌握知識(shí)點(diǎn).需要注意的是，教師在訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維時(shí)，可整理一些逆向思維相關(guān)的習(xí)題，從大量的習(xí)題中篩選出具有代表性典型例題，穿插在課前、課堂以及課后三個(gè)環(huán)節(jié)，既踐行“雙減”的教育政策，又能讓學(xué)生得到更好的鍛煉，使學(xué)生在潛移默化中實(shí)現(xiàn)逆向思維的強(qiáng)化訓(xùn)練.

結(jié) 語(yǔ)

基于逆向思維的初中數(shù)學(xué)解題模式建構(gòu)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中可以起到良好的效果.教師培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維可以幫助學(xué)生快速掌握知識(shí)點(diǎn)并加以運(yùn)用，提高課堂的效率.逆向思維的構(gòu)建不僅可以提高學(xué)生解題的速度，而且可以深化學(xué)生的思維模式，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和生活奠定良好的基礎(chǔ)，同時(shí)為學(xué)生綜合能力的提高提供必要的前提保障.

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