“平行四邊形的面積”教學中的問題分析

□江 燕 郜舒竹

一、以“拉一拉”活動作為導(dǎo)入方式的不合理性

在現(xiàn)有“平行四邊形的面積”的教學設(shè)計及課堂教學中，有教師會在導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用“拉一拉”的操作活動［1］，讓學生通過拉動長方形模型，感知長方形被拉動后變成了平行四邊形，并將拉成的平行四邊形與原有的長方形作對比，發(fā)現(xiàn)圖形周長相等，面積卻在變小。將“拉一拉”這一操作活動作為本課的導(dǎo)入方式是否合適，值得深度思考。

首先，北師大版教材將面積定義為“物體的表面或封閉圖形的大小”。面積是對“面”的大小的度量，“面”的存在是計量面積的前提。在“拉一拉”的操作活動中，從視覺角度看，學生能觀察到圖形相鄰兩條邊之間的相對位置在改變，卻不能直觀地觀察到“面”這一屬性。沒有“面”作為前提，也就無從感知圖形面積（“面”的大?。┰谥饾u變小。

其次，如圖1所示，捏住長方形模型ABCD的一組對角向外拉，當長方形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛'B'C'D'時，多數(shù)學生會認為長方形ABCD的面積與平行四邊形A'B'C'D'的面積相等，理由是向斜角凸出的部分（增加的量）和向下減少的部分（減少的量）相等，根據(jù)“量1加上量2，又減去量2，結(jié)果仍為量1”的事實，可以得出長方形ABCD與平行四邊形A'B'C'D'具有“形異量等”的等價關(guān)系，二者面積相等。

圖1 長方形被拉動后變成平行四邊形示意圖

此外，學生在三年級時已獲得“長方形的面積=長×寬”的認知。從視覺上看，長與寬是長方形相鄰兩邊的長度，因此學生容易形成“長方形面積等于相鄰兩邊長度乘積”的錯誤圖式。在“拉一拉”的操作活動中，拉動的過程改變的是相鄰兩邊之間的相對位置，邊的長度并未改變，所以長方形ABCD相鄰兩邊的長度與平行四邊形A'B'C'D'相鄰兩邊的長度相等。利用有關(guān)長方形面積的認知經(jīng)驗，學生自然而然就形成了“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯誤。只有當長方形ABCD被拉成比較扁的平行四邊形A''B''C''D''時，學生才能直觀地發(fā)現(xiàn)圖形的周長沒有變化，面積卻在變小。

要解決學生在“拉一拉”操作活動中無法直觀感知到“面”這一問題，以及形成“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯誤，就必須了解“面”這一屬性，同時澄清長方形ABCD與平行四邊形A'B'C'D'面積不相等。為此可以采用幾何動畫的形式，如圖2所示，以動態(tài)的眼光去看，拉動的過程實際就是長方形旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致形變（變?yōu)槠叫兴倪呅危┑倪^程，直觀來看就是長方形的寬沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，此時邊長保持不變，但面積變小了，而且隨著旋轉(zhuǎn)的繼續(xù)，面積會越來越小。

圖2 長方形旋轉(zhuǎn)為平行四邊形示意圖

最后，通過“拉一拉”操作活動，學生得出結(jié)論：長方形被拉成平行四邊形后，其面積在變小，即此時的長方形和平行四邊形之間存在“形異量不等”的關(guān)系。然而，在推導(dǎo)平行四邊形的面積時，學生是通過“分、移、補”的活動將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，再借助已知長方形的面積計算公式去推導(dǎo)平行四邊形的面積計算公式的。此時學生得出的結(jié)論為平行四邊形與長方形的面積相等（如圖3），即此時的長方形和平行四邊形之間存在“形異量等”的關(guān)系?？梢?，學生在兩個活動中所得出的結(jié)論并不一致，這會導(dǎo)致他們思維混亂，無法真正理解平行四邊形的面積與長方形的面積之間的內(nèi)在關(guān)系。

圖3 平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形示意圖

對于“拉一拉”這一操作活動，人教版教材五年級上冊“平行四邊形的面積”將其以課后習題的形式放置于練習十九中（如圖4）。此前，學生通過對教學內(nèi)容的學習，已經(jīng)明晰平行四邊形的面積受到底和高的制約，是底和高的乘積；同時“分、移、補”活動使學生認識到，平行四邊形的面積與長方形的面積相等的原因在于圖形間的內(nèi)部因素具有一一對應(yīng)的關(guān)系，即原有的平行四邊形的底與高分別轉(zhuǎn)化成了長方形的長和寬?；谝陨险J知經(jīng)驗去解釋和說明為什么在拉動過程中圖形的面積在變小，就能避免“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯誤以及結(jié)論不一致導(dǎo)致的思維混亂。

圖4 教材中與“拉一拉”操作活動相關(guān)的練習題

綜上所述，將“拉一拉”操作活動作為“平行四邊形的面積”教學的導(dǎo)入方式，有如下弊端：一是無法保證度量面積的前提——“面”這一屬性的存在；二是當捏住長方形的一組對角輕輕拉動時，學生通過直接觀察模型，無法直觀地感知面積的變化（變?。?，因而會認為此時圖形的周長和面積都沒有發(fā)生變化，再結(jié)合對長方形面積的認知，產(chǎn)生“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯誤；三是“拉一拉”操作活動中平行四邊形與長方形之間呈現(xiàn)的“形異量不等”關(guān)系，與后續(xù)“分、移、補”活動中平行四邊形與長方形之間呈現(xiàn)的“形異量等”關(guān)系相互沖突，知識內(nèi)容的不一致會導(dǎo)致學生思維混亂。

二、“數(shù)方格”法的片面化看待和不科學規(guī)定

面積計量的一個基本方法是單位面積度量法，在小學數(shù)學中通常也叫作“數(shù)方格”法。該方法是將一張方格紙當作一把“面積尺”（其中每個方格代表一個面積單位），通過將平面圖形平鋪于方格紙上，數(shù)出圖形含有多少個方格（面積單位的個數(shù)），以此計算圖形的面積。［2］在有關(guān)面積內(nèi)容（包括平行四邊形的面積）的教學中，初始時一般都會采用“數(shù)方格”的方法來進行。但在部分“平行四邊形的面積”的教學設(shè)計中，教師認為“數(shù)方格”的方法既不好操作，又很煩瑣，與之相比，剪拼的方法易于操作且方便，因此直接摒棄“數(shù)方格”的方法，強調(diào)引導(dǎo)學生將平行四邊形通過剪拼的活動轉(zhuǎn)化為長方形來計算面積。［3］

那么，“數(shù)方格”法在面積教學中是否重要呢？“圖形與幾何”領(lǐng)域中涉及許多有關(guān)圖形面積計量（平面圖形的面積以及立體圖形的表面積）的內(nèi)容。史寧中教授認為，面積度量實質(zhì)就是計算該圖形包含多少個面積單位。［4］“數(shù)方格”是以方格紙作為度量面積的直觀模型，其實質(zhì)就是“數(shù)”面積單位的個數(shù)，所以借助“數(shù)方格”的方法可以幫助學生理解面積是面積單位的累加，計量面積就是計量面積單位的個數(shù)。

人教版教材中仍然沿用“數(shù)方格”這一方法。在數(shù)格子的過程中，學生會遇到所數(shù)“方格”不是“整格”的情況。對此，教材的解決辦法是：不滿一格的都按半格計算（如圖5）。

圖5 教材中“數(shù)方格”的規(guī)定示意圖

然而，在實際應(yīng)用中，那些不滿一格的“方格”，有些與一格十分接近，有些非常?。ㄉ踔量梢院雎裕?，全都把它們按半格計算的做法具有合理性嗎？

如圖6 所示，圖中兩個平行四邊形的形狀不同，但底邊長度和高度分別相等。已知決定平行四邊形的面積的因素是底和高，所以底和高分別相等的平行四邊形的面積相等，即圖6中兩個平行四邊形的面積相等。再根據(jù)平行四邊形面積=底×高，可以計算出兩個平行四邊形的面積都為2×2.5=5（平方厘米）。

圖6 方格紙中底與高相等的兩個平行四邊形示意圖

如果采用“數(shù)方格”的方法，可以數(shù)出圖6左邊的平行四邊形有2個“整格”，“不滿一格”的有7個；右邊的平行四邊形有2個“整格”，“不滿一格”的有10 個。按照“不滿一格的都按半格計算”的規(guī)定，左邊的平行四邊形包含2 個“整格”和7 個“半格”，右邊的平行四邊形包含2個“整格”和10個“半格”。1 個方格代表1 平方厘米，半格就代表0.5 平方厘米，從而數(shù)出左邊平行四邊形的面積為5.5 平方厘米，右邊平行四邊形的面積為7平方厘米。

顯而易見，按照“不滿一格的都按半格計算”的規(guī)定，“數(shù)”出來的面積數(shù)與實際面積數(shù)之間存在不一致性，而且還是一個具有不確定性的估計值，形狀不同，數(shù)值也不同。因此，將“不滿一格的都按半格計算”的做法不科學、不嚴謹、不具合理性，學生難以接受。如果換個角度去引導(dǎo)學生思考：不采用“不滿一格的都按半格計算”的做法，那“整格”以外的方格（接近一格與不足半格或兩個半格）應(yīng)該怎么計量？學生結(jié)合生活經(jīng)驗，可能會想出通過剪拼的方式，將不足一格的方格拼在一起變成“整格”來計量，在此基礎(chǔ)上自然而然地引出轉(zhuǎn)化思想以及實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法——剪拼法，從而建立“數(shù)方格”法與“轉(zhuǎn)化”之間的深度聯(lián)系。

除此之外，借助方格紙的直觀性進行“平行四邊形的面積”的教學，能幫助學生明確底和高是決定平行四邊形的面積的關(guān)鍵因素，并根據(jù)直觀得到的平行四邊形面積、底和高之間的關(guān)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高，從而實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。如圖7所示，將三個不同形狀的平行四邊形復(fù)刻于方格紙上，利用方格紙的直觀性，比較它們的底、高、面積之間的關(guān)系。比較圖①和圖②，可知平行四邊形的高相同，底越長，面積越大；比較圖②和圖③，可知平行四邊形的底相同，高越長，面積越大。因此得到?jīng)Q定平行四邊形面積的關(guān)鍵因素為底和高。

圖7 方格紙上三個不同形狀的平行四邊形示意圖

同樣，在圖5提及的方格紙中，一個方格代表1平方米，邊長為1米的正方形的面積為1平方米，即每個方格的邊長為1 米。學生結(jié)合方格圖可以直接數(shù)出三個平行四邊形的面積、底和高，并通過將三個不同形狀的平行四邊形的面積與其對應(yīng)的底和高的乘積進行比較，在數(shù)形結(jié)合中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：平行四邊形的面積受制于底和高，是底和高的乘積。

三、“分、移、補”活動中結(jié)論和剪拼方式的不完備

對于“平行四邊形的面積”的推導(dǎo)，教材中多是引導(dǎo)學生通過“分、移、補”的活動，沿著高從平行四邊形中分出一個直角三角形，將其平移到另一側(cè)，然后補齊變成長方形（如圖3），此時平行四邊形的底轉(zhuǎn)化為長方形的長，高轉(zhuǎn)化為長方形的寬，結(jié)合“長方形的面積=長×寬”，推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”。但教材中這樣的設(shè)計指向的只是一個特殊的平行四邊形的面積，其高位于平行四邊形內(nèi)部（以下簡稱“形內(nèi)高”），而對于高位于形外（以下簡稱“形外高”）的情況卻并未涉及［5］。

“形內(nèi)高”平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的方式是將左邊的直角三角形剪下來平移到右邊對應(yīng)的位置。然而這種剪拼轉(zhuǎn)化的方法，對于“形外高”平行四邊形來說并不適用（如圖8）。

圖8 “形內(nèi)高”“形外高”的平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形示意圖

對此，學生會產(chǎn)生“是否平面上每一個平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長方形？”“同一個平行四邊形具有不同的底邊和對應(yīng)的高，其面積是否都可以用底與高的乘積來表示？”“所有的平行四邊形都是沿著高分割出一個直角三角形，平移到另一側(cè)，補齊成長方形嗎？”等疑惑。

因此，只針對“形內(nèi)高”平行四邊形得出“平行四邊形的面積=底×高”的結(jié)論，在一定程度上會缺乏說服力。且將其轉(zhuǎn)化為長方形的過程中只涉及“將左邊的直角三角形平移到右邊對應(yīng)的位置”的剪拼方式，可能會忽視學生自主構(gòu)建多樣化的轉(zhuǎn)化方法的可能性。所以，教師應(yīng)該盡可能提供多角度的材料，讓學生觀察、操作、思考，發(fā)現(xiàn)不同角度、不同形狀、不同大小的平行四邊形（包括“形內(nèi)高”和“形外高”）都可以通過剪拼的方式轉(zhuǎn)化為長方形，剪拼的方式可以是多樣化的。在此基礎(chǔ)上根據(jù)平行四邊形的面積（底乘高）與轉(zhuǎn)化后的長方形的面積（長乘寬）之間建立等價關(guān)系，結(jié)合“長方形的面積=長×寬”的知識經(jīng)驗，得到“平行四邊形的面積=底×高”。這種讓學生對不同類型的平行四邊形進行剪拼，并由一定的知識經(jīng)驗得出的結(jié)論，才能讓學生體會到轉(zhuǎn)化方法的多樣性及結(jié)論的科學性、合理性。因此，我們要對“平行四邊形的面積”的教學進行重新認識，設(shè)計出科學、合理并有益于學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的學習活動。