基于問題串下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

龔維維 董白英

【摘要】新高考背景下，“問題串”式的教學(xué)方法是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑之一，有效“問題串”的設(shè)計(jì)可以激發(fā)學(xué)生欲望，幫助突破重點(diǎn)、難點(diǎn)，提高學(xué)生的解題能力，從而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性.本文以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”為例，通過題目變式、知識的易錯和易混點(diǎn)、新舊知識的聯(lián)系、學(xué)生的探究欲望等四個途徑探索基于“問題串”的教學(xué)設(shè)計(jì)方案.運(yùn)用“情境+問題串”的形式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐，幫助高中生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為后續(xù)教學(xué)內(nèi)容奠定基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】“問題串”式教學(xué)方法；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

【基金項(xiàng)目】寧夏自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2021AAC03234）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出：數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升，教學(xué)目標(biāo)是在幫助學(xué)生獲得必要的基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)思維，逐步提高學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.所提出的四個有關(guān)能力說明新課標(biāo)對學(xué)生的問題意識提出了更高的要求，因此新課標(biāo)更加重視學(xué)生問題意識的培養(yǎng).這就要求教師在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)合適的問題，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，派生問題意識，構(gòu)建合理的知識體系，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.

本文選擇人教版必修五第2章“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”進(jìn)行基于“問題串”的教學(xué)設(shè)計(jì).作為新授課，其重點(diǎn)在于如何讓學(xué)生推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，體會一般到特殊的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)而提高學(xué)生思維能力.因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師以“問題串”作為腳手架，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生在一系列問題中感悟新知，逐步突破教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

一、“問題串”的相關(guān)理念

現(xiàn)代教育理論認(rèn)為，學(xué)生親身經(jīng)歷思考、實(shí)踐、探索是學(xué)習(xí)新內(nèi)容最有效的方法，特別是基于問題驅(qū)動的教學(xué)方案，更有助于學(xué)生發(fā)展思維能力、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)興趣.而“問題串”是指基于學(xué)生知識基礎(chǔ)，結(jié)合學(xué)生思維發(fā)展，圍繞課程教學(xué)目標(biāo)，在一定教學(xué)范圍內(nèi)，按照知識的邏輯結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)出一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的有效問題.“問題串”中的問題不僅是思維訓(xùn)練的良好載體，還是思維方向的指引者，它既可以是數(shù)學(xué)問題本身，也可以是導(dǎo)向性、策略性或元認(rèn)知性問題.

二、基于“問題串”的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)設(shè)計(jì)

“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”是差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其相關(guān)性質(zhì)的后續(xù)教學(xué)內(nèi)容，其公式的推導(dǎo)過程不僅蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法、核心素養(yǎng)，而且是培養(yǎng)學(xué)生思考能力的重要載體.整個教學(xué)過程以“問題串”為支架，驅(qū)動學(xué)生進(jìn)行探究.

（一）創(chuàng)設(shè)情境化的問題串，激發(fā)學(xué)生的求知欲

創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題不但有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還能營造輕松愉快的課堂學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生求知欲，達(dá)到事半功倍的效果.

【問題一】

創(chuàng)設(shè)情境：欣賞一段視頻一座用白色大理石建成的宮殿式陵園，墻壁上有一個由體積相等的圓寶石鑲嵌而成的等邊三角形，一共有100層.從上到下數(shù)，第一層有1顆圓寶石，第二層有2顆圓寶石，以此類推，下一層一直比上一層多一顆圓寶石.那么你能計(jì)算出墻壁上一共有多少顆寶石嗎？

設(shè)計(jì)意圖：以故事作為情境生成問題，可以激發(fā)學(xué)生的探索興趣，使學(xué)生積蓄強(qiáng)烈求知欲，對整節(jié)課的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了良好的情緒狀態(tài).

【問題二】

老師：德國數(shù)學(xué)家高斯在他很小的時候就為我們提供了一種巧妙的數(shù)學(xué)方法，大家知道他是如何計(jì)算的嗎？

學(xué)生：1+100，2+99，3+98，…，49+52，50+51，即把第一個數(shù)和最后一個數(shù)配對，第二個數(shù)和倒數(shù)第二個數(shù)配對，依次進(jìn)行下去，這樣就把100個數(shù)分成了50個組，而每一組的和都是101，總共50組，所以結(jié)果為101×50=5050.

設(shè)計(jì)意圖：利用情境設(shè)計(jì)引發(fā)學(xué)生思考，順其自然引入高斯算法，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.

【問題三】

老師：高斯算法的巧妙之處在哪里？

學(xué)生：首尾兩兩配對相加，得到相同的數(shù)，進(jìn)而把加法運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算.

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中化繁為簡的化歸思想，進(jìn)而提升學(xué)生的思維能力.另外，讓學(xué)生自己總結(jié)提煉，可以提高學(xué)生的表達(dá)和歸納能力.

在情境的基礎(chǔ)上精心設(shè)計(jì)“問題串”，從提出問題到解答問題再到總結(jié)結(jié)果，設(shè)計(jì)過程層層遞進(jìn)，既滿足學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，又使學(xué)生易于接受.“問題一”是情境導(dǎo)入，引出問題，“問題二”和“問題三”的追問，引發(fā)學(xué)生思考高斯算法的本質(zhì)，也為學(xué)生感知數(shù)學(xué)和感悟數(shù)學(xué)提供了一個契機(jī).

（二）設(shè)計(jì)梯度化的問題串，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

為提高學(xué)生思維能力，應(yīng)從學(xué)生已有的知識和能力出發(fā)，遵循科學(xué)的認(rèn)知規(guī)律，按照“特殊到一般，層層深入，梯度遞進(jìn)”的思路進(jìn)行問題串的設(shè)置.

【問題四】

老師：假設(shè)在墻面上增加第101層.請同學(xué)們計(jì)算出大理石墻面從第1層到第101層一共有多少顆寶石？

學(xué)生1：利用上一題的答案1+2+…+100=5050，再加上101就等于5151顆.

學(xué)生2：可以用高斯算法進(jìn)行首尾配對（和為102），配成50對（總和為50×102=5100），再加上中間數(shù)51（未能配對的數(shù)），最后結(jié)果為5151.

教師：學(xué)生2運(yùn)用了高斯算法進(jìn)行首尾配對，但當(dāng)對101個數(shù)進(jìn)行分組時，中間項(xiàng)51不能完成分組.不能完成配對的原因是什么？

學(xué)生：1+2+…+101的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù).

教師：因此，在使用高斯算法時，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的配對是有區(qū)別的.

設(shè)計(jì)意圖：此題是對上一題的簡單變式，項(xiàng)數(shù)從偶數(shù)變成奇數(shù)，目的是加深這生對高斯算法的理解，發(fā)現(xiàn)在奇數(shù)項(xiàng)的式子中產(chǎn)生不配對的問題，與學(xué)生大腦中認(rèn)知產(chǎn)生沖突，從而激發(fā)他們的求知欲望，并為后續(xù)推廣到n項(xiàng)和打下基礎(chǔ).

【問題五】

教師：假設(shè)大理石墻面有n層圓寶石，一共有多少顆？

學(xué)生：求1+2+3+4+…+100+…+n=？

設(shè)計(jì)意圖：從具體的有限項(xiàng)求和推廣到抽象的無限項(xiàng)求和，使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，為從“高斯算法”過渡到“倒序相加法”做好鋪墊.

【問題六】

教師：這個問題能用高斯算法嗎？如果可以，首尾配對的對數(shù)是多少？

設(shè)計(jì)意圖：有前面奇數(shù)項(xiàng)問題的鋪墊，學(xué)生運(yùn)用高斯算法進(jìn)行配對，會發(fā)現(xiàn)n的奇偶不確定，進(jìn)而聯(lián)想到對n進(jìn)行分類討論，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展.

學(xué)生在高斯算法以及偶數(shù)項(xiàng)求和的基礎(chǔ)上，容易算出“問題四”的奇數(shù)項(xiàng)求和，為后面推廣到無限項(xiàng)做好鋪墊.“問題五”是在問題四的基礎(chǔ)上，從有限項(xiàng)推廣到無限項(xiàng)，同上一題相比，此題對學(xué)生的思維能力要求更高.“問題六”雖改變了題目的呈現(xiàn)方式，但其目的仍是讓學(xué)生對高斯算法的本質(zhì)進(jìn)行思考.這三個問題層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生對高斯算法的本質(zhì)有更深刻的理解.

（三）設(shè)計(jì)精細(xì)化的問題串，幫助突破教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教師緊扣教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)設(shè)置問題串，如同抓住了教學(xué)內(nèi)容的精髓.隨著問題串中的問題一步一步地被解決，教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)也逐漸被攻克，為高效課堂奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

【問題七】

老師：假設(shè)再給數(shù)量相同的寶石，大家可以設(shè)計(jì)出一個什么圖案，能否快速計(jì)算出從第一層到第n層的寶石數(shù)目，如圖1所示（同時進(jìn)行多媒體展示）.

老師：從以上圖片中可以得到什么啟發(fā)？

學(xué)生：如果記S=1+2+3+…+n，在它基礎(chǔ)上加上n+（n-1）+…+2+1，就能實(shí)現(xiàn)高斯算法中兩兩配對得到相同的數(shù).

教師：通過這種方法可計(jì)算出首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.

設(shè)計(jì)意圖：需要對n進(jìn)行分類討論，然后求解，而該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵是找出避免分類討論的辦法，需要教師搭建一個恰當(dāng)?shù)摹澳_手架”突破教學(xué)中的難點(diǎn).除此之外，通過用兩個相同的三角形拼成一個平行四邊形的數(shù)形結(jié)合方法推導(dǎo)公式，這樣的設(shè)計(jì)與學(xué)生已有的認(rèn)知相結(jié)合，可以激發(fā)學(xué)生思維的活躍性，有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，同時能提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維品質(zhì).

【問題八】

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵學(xué)生從新舊知識間的聯(lián)系，回歸定義等角度推導(dǎo)公式1的另一表達(dá)式，在推導(dǎo)過程中，學(xué)生自己經(jīng)歷猜想和驗(yàn)證，達(dá)到對知識主動建構(gòu)的目的.學(xué)生親身經(jīng)歷這個過程后，感受到成功的喜悅，逐步加深學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

針對本節(jié)課的難點(diǎn)，教師將教學(xué)任務(wù)分解成難度較小的四個問題，設(shè)計(jì)由特殊到一般的變式題目，先引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和，并以此作為先行組織者材料，使學(xué)生理解如何運(yùn)用高斯“配對”，為引出倒序相加法做好鋪墊.最后，聯(lián)系舊知（數(shù)列定義）推導(dǎo)另一表達(dá)式.

三、結(jié)論與建議

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題是激發(fā)學(xué)生思維與探究的鑰匙.而教師通過設(shè)計(jì)合適的“問題串”，才能將教材中的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能把課本上的靜態(tài)知識轉(zhuǎn)化為課堂上動態(tài)的建構(gòu)過程.因此，在進(jìn)行“問題串”教學(xué)設(shè)計(jì)時，應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

（一）利用新舊知識的聯(lián)系設(shè)計(jì)“問題串”

在數(shù)學(xué)上，很多知識點(diǎn)都是另一知識點(diǎn)的拓展，所以設(shè)計(jì)問題串時可以抓住新舊知識點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中能獲得良好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，也能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

（二）利用知識的易錯、易混點(diǎn)設(shè)計(jì)“問題串”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常學(xué)生在課堂上能聽懂，但課后做題時犯錯的現(xiàn)象，這種情況說明學(xué)生還存在一些知識盲區(qū)，對一些易錯、易混的知識點(diǎn)的理解不到位.因此，教師可以依據(jù)具體的教學(xué)任務(wù)以及學(xué)生的實(shí)際情況，利用知識點(diǎn)的易混、易錯點(diǎn)進(jìn)行“問題串”設(shè)計(jì)，加深學(xué)生對這些知識點(diǎn)的理解與認(rèn)識，從而避免學(xué)生出現(xiàn)似是而非的情況.

（三）利用題目變式設(shè)計(jì)“問題串”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會遇到解題方法非常相似的一些問題，這些問題可以歸結(jié)為一類題型.教師可以通過增加或改變條件拓展出數(shù)道題，進(jìn)行“問題串”設(shè)計(jì).讓學(xué)生們領(lǐng)略數(shù)學(xué)中變化之美.這樣的設(shè)計(jì)不僅可以提高學(xué)生的知識遷移能力，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的學(xué)習(xí)能力，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主創(chuàng)新.

（四）利用學(xué)生的探究欲望設(shè)計(jì)“問題串”

未知的學(xué)習(xí)會激發(fā)出學(xué)生強(qiáng)烈的探索欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，將學(xué)習(xí)模式由“讓我學(xué)”轉(zhuǎn)換成“我要學(xué)”，讓學(xué)生占據(jù)學(xué)習(xí)的主導(dǎo)地位.因此，利用學(xué)生的探索欲望設(shè)計(jì)“問題串”，可以讓學(xué)生真正體會學(xué)習(xí)的樂趣.

【參考文獻(xiàn)】

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