借“數(shù)量關(guān)系”之石攻“問(wèn)題解決”之玉

印曉燕

【摘要】問(wèn)題解決作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵，旨在培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考能力、問(wèn)題模型意識(shí).文章依托于問(wèn)題解決，以六年級(jí)教學(xué)實(shí)際為例，關(guān)注學(xué)生數(shù)量關(guān)系的分析能力，從素材求變、關(guān)系支撐、方法體悟這三個(gè)維度探尋有效策略，以此促進(jìn)學(xué)生形成模型意識(shí)，提升學(xué)生準(zhǔn)確表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力.

【關(guān)鍵詞】問(wèn)題解決；數(shù)量關(guān)系；獨(dú)立思考；逆向思維；模型意識(shí)

作為數(shù)學(xué)教師，不禁捫心自問(wèn)，到底什么是數(shù)學(xué)？簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).回顧我國(guó)近幾十年的數(shù)學(xué)課程改革，總是把問(wèn)題解決與數(shù)量關(guān)系緊密相聯(lián).

時(shí)常聽到任教高年段的數(shù)學(xué)教師發(fā)出這樣的感慨：現(xiàn)在的學(xué)生在問(wèn)題解決中欠缺分析數(shù)量關(guān)系的能力，低中年段數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視數(shù)量關(guān)系教學(xué).筆者深以為然：一些學(xué)生由于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題理解不到位、缺少方法支撐，導(dǎo)致他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上沒有足夠的持續(xù)發(fā)展的動(dòng)力和獨(dú)立思考的能力，進(jìn)而失去對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心.

綜合上述分析，“數(shù)量關(guān)系”作為小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一，影響著學(xué)生問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)，會(huì)是小學(xué)階段落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育目標(biāo)的一個(gè)重要路徑.

一、素材求變：讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從淺顯走向深刻

善用素材，能有效幫助學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考從直觀走向抽象.而數(shù)量關(guān)系的分析與理解，離不開真實(shí)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，教師不妨把靜態(tài)的生活素材與學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)有機(jī)融合，巧妙創(chuàng)設(shè)富有層次的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生逐步深入思考，在素材變化中促使學(xué)生獲得對(duì)問(wèn)題解決的直觀感知.

在教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的表面積”中，教師充分尊重學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，巧妙利用長(zhǎng)方體框架學(xué)具，從“給長(zhǎng)14厘米、寬10厘米、高6厘米的長(zhǎng)方體框架做包裝，求包裝紙的面積.”這個(gè)問(wèn)題入手，根據(jù)長(zhǎng)方體六個(gè)面之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考“求長(zhǎng)方體框架包裝紙就是求什么呢？”借助圖形直觀探尋其中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.同時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生從中提煉方法，順勢(shì)揭示所求長(zhǎng)方體的六個(gè)面的面積和就是長(zhǎng)方體的表面積.

利用長(zhǎng)方體框架圖有助于學(xué)生思維進(jìn)階，提高學(xué)生思維能力.此時(shí)，教師不妨讓學(xué)生的思維再走遠(yuǎn)一些，出示問(wèn)題：“如圖1所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12厘米，高是8厘米，陰影部分兩個(gè)面的面積和是180平方厘米.長(zhǎng)方體的寬是多少厘米？”學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)“左面積+底面積=180平方厘米”這一條件，并用具體算式表示所對(duì)應(yīng)的面積，得到8×寬+12×寬=180，就可以求出長(zhǎng)方體的寬.這樣層層遞進(jìn)的教學(xué)，使得學(xué)生思考逐步深入，充分展現(xiàn)學(xué)生思維的深刻性和靈活性.

巧選素材，適時(shí)求變，使枯燥的問(wèn)題解決變得鮮活、立體，充分地引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)知不斷從直觀走向抽象，不斷從被動(dòng)接受走向主動(dòng)思考.如此看來(lái)，數(shù)學(xué)基本技能的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求變，教師應(yīng)通過(guò)變式練習(xí)促使學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)間的聯(lián)系，將知識(shí)內(nèi)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使其在掌握具體數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，感悟數(shù)量關(guān)系分析背后的數(shù)學(xué)思想和方法.

二、關(guān)系支撐：讓學(xué)生的理解從孤立走向聯(lián)系

眾所周知，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)不應(yīng)局限于“解決問(wèn)題的策略”單元，而是適時(shí)滲透于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境中，為學(xué)生創(chuàng)造捕捉數(shù)量關(guān)系的機(jī)會(huì).同時(shí)，教師應(yīng)利用學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，以種子課為關(guān)系支撐，搭建基本數(shù)量關(guān)系模型，給數(shù)量關(guān)系理解以生長(zhǎng)的力量.而所謂“種子課”，即教師找準(zhǔn)學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，為后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)做鋪墊，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的正向遷移，體現(xiàn)出學(xué)生思考方法的一致性，同時(shí)指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育.

簡(jiǎn)要梳理蘇教版六年級(jí)上冊(cè)教材內(nèi)容及教學(xué)難點(diǎn)，如表1所示.

根據(jù)表1可以看出，本冊(cè)教材很多內(nèi)容都與分?jǐn)?shù)意義的理解密切相關(guān).“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”便是一節(jié)種子課，學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解是否深刻、關(guān)系模型的建立是否清晰則顯得尤為重要.以此為根，學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的認(rèn)知和理解由孤立走向聯(lián)系，思維也更富有生命活力.

教學(xué)“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從理解這個(gè)分?jǐn)?shù)意義出發(fā)，在比較算法、溝通聯(lián)系的過(guò)程中進(jìn)一步明晰“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”可以用乘法計(jì)算.同時(shí)教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，比如，知道要找出題目中單位“1”的量，明確找出單位“1”的量是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，理解并寫出對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式：

單位“1”的量×分率=所對(duì)應(yīng)的量六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備一定的抽象概括能力，能夠自主探究學(xué)習(xí)有關(guān)分?jǐn)?shù)除法實(shí)際問(wèn)題.因此，“列方程解決簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)除法實(shí)際問(wèn)題”這一教學(xué)內(nèi)容能更進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，這也是本節(jié)課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在.學(xué)生借助之前學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，思考“為什么選擇列方程來(lái)解決問(wèn)題呢？”

引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)有利于學(xué)生感悟新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.教師只有把握住重難點(diǎn)，整節(jié)課的教學(xué)效率才能有所提升.如“按比例分配問(wèn)題”，原本的數(shù)量關(guān)系側(cè)重于轉(zhuǎn)化成份數(shù)問(wèn)題來(lái)理解.但引入方程后，則可以轉(zhuǎn)化成“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的問(wèn)題，更便于解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題.比例問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“所求是已知量的幾分之幾”，相對(duì)來(lái)說(shuō)思路更簡(jiǎn)潔、明了，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的條理性.

從學(xué)習(xí)方法來(lái)看，保持思考的一致性，以數(shù)量關(guān)系分析和理解為抓手，在比較中把握問(wèn)題本質(zhì)，能夠讓學(xué)生在跳一跳摘果子的過(guò)程中獲得成功的體驗(yàn)，能夠有效激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，使其以更飽滿的狀態(tài)投入學(xué)習(xí).

三、方法體悟：讓學(xué)生的建構(gòu)從模糊走向清晰

對(duì)于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的是會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.對(duì)于教師而言，教學(xué)數(shù)學(xué)的主要任務(wù)不是傳遞知識(shí)，而是發(fā)展學(xué)生的思維能力.在課堂中，教師應(yīng)采取有效教學(xué)策略幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，啟發(fā)學(xué)生利用元認(rèn)知對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理化表征，快速?gòu)念}目中提取關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息，捕捉其中所蘊(yùn)藏的數(shù)量關(guān)系，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系選擇合適的方法解決，逐步積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).同時(shí)有力推動(dòng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的體悟從模糊走向清晰.在比較優(yōu)化中對(duì)已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組，體現(xiàn)思維的延展性和靈活性，真正體現(xiàn)“學(xué)”為中心的教學(xué)理念，于深度學(xué)習(xí)中為學(xué)生思維插上靈動(dòng)的翅膀.

（一）在多元表征中厘清問(wèn)題思路

從心理學(xué)的角度來(lái)看，多元表征作為支撐學(xué)生概念掌握、關(guān)系理解、方法獲得的重要載體，立足于以人為本，尊重學(xué)生個(gè)體差異，起到很好地外化個(gè)人思維特征的作用.教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)畫圖、列表、一一列舉、假設(shè)等策略對(duì)問(wèn)題探究進(jìn)行多元化表征，其中不同策略方法的選擇所體現(xiàn)出來(lái)的思維方式也有所不同.而能否找尋其中內(nèi)在“聯(lián)系點(diǎn)”是學(xué)生總結(jié)反思、凝練思路的關(guān)鍵點(diǎn).至此，學(xué)生的學(xué)由被動(dòng)地淺層學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)地深度學(xué)習(xí)，真正體悟復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的過(guò)程，也由“難者不會(huì)”走向“會(huì)者不難”，以不變應(yīng)萬(wàn)變，形成可持續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力系統(tǒng)，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地與發(fā)展提供有效路徑.

例如，全班42人去公園劃船，租10條船正好坐滿.每條大船坐5人，每條小船坐3人.租的大船、小船各有多少條？

出示問(wèn)題后，教師先引導(dǎo)學(xué)生提取數(shù)學(xué)信息，并追問(wèn)“你打算怎樣厘清數(shù)量關(guān)系呢？”以大問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生獨(dú)立思考.可以發(fā)現(xiàn)，不同的學(xué)生看待問(wèn)題的角度不同、理解程度也各不相同.這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，有助于學(xué)生將策略選擇變?yōu)橐环N自我需求，充分激發(fā)自我內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，將內(nèi)部抽象的思維活動(dòng)外化為圖形、圖表、算式等數(shù)學(xué)語(yǔ)言，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的合理表征.如圖2.

語(yǔ)言是思維的外衣.教師創(chuàng)設(shè)平等、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，把學(xué)習(xí)的時(shí)間還給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出問(wèn)題解決所選用的策略以及具體運(yùn)用的過(guò)程.真所謂“授人以魚不如授人以漁”，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠體會(huì)策略價(jià)值，感悟運(yùn)用策略不僅可以讓問(wèn)題數(shù)量關(guān)系愈加清晰、有條理，還能顯現(xiàn)數(shù)學(xué)思路的簡(jiǎn)潔美.開放的課堂一定會(huì)呈現(xiàn)方法多樣性的真實(shí)樣態(tài)，每一種策略的選用都有各自的適用性，根據(jù)不同的問(wèn)題選用合適的解題策略，策略本身沒有高低之分，合適的才是最好的.

然而策略方法也不是孤立的存在.教師引領(lǐng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題解決的方法進(jìn)行重構(gòu)，有助于學(xué)生比較歸納、回顧反思.學(xué)生在交流碰撞中發(fā)現(xiàn)，不管是運(yùn)用列方程、畫圖，還是列表策略，在解決這個(gè)問(wèn)題過(guò)程中都體現(xiàn)著假設(shè)思想.

（二）在逆向思考中凸顯問(wèn)題建模

問(wèn)題解決，需要換位思考.換個(gè)角度看問(wèn)題，如同為學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系打開另一扇窗.而順向思維和逆向思維的有機(jī)融合，能夠有力體現(xiàn)其價(jià)值.逆向思維有利于找尋問(wèn)題中所蘊(yùn)含的等量關(guān)系，是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要體現(xiàn)，也是培養(yǎng)學(xué)生模型思想的有力途徑.學(xué)生往往遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)從下手，是沒能透過(guò)現(xiàn)象看到問(wèn)題本質(zhì).

例如，立體圖形實(shí)際問(wèn)題的解決應(yīng)建立在公式熟記的基礎(chǔ)之上，因此，掌握基礎(chǔ)知識(shí)、提煉解題方法顯得尤為重要，這也是學(xué)生在課堂上擁有很好地參與感、獲得感的重要體現(xiàn).

一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米，裝滿水后將水全部倒入一個(gè)高6厘米的圓錐形的容器內(nèi)剛好裝滿.這個(gè)圓錐形容器的底面積是多少平方厘米？

這樣借助等式進(jìn)行逆向思考，為學(xué)生找尋到了適合的方法，使學(xué)生解決問(wèn)題的能力和準(zhǔn)確度得以提高，也有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，使學(xué)生真切感受到逆向思考所帶來(lái)的數(shù)學(xué)思維簡(jiǎn)潔之美，于無(wú)聲中凸顯問(wèn)題建模的作用.

綜上，培養(yǎng)學(xué)生理性思考能力，以數(shù)量關(guān)系分析為著力點(diǎn)無(wú)疑為有效路徑之一.課堂是教師教學(xué)主陣地，理應(yīng)讓學(xué)生在真實(shí)的問(wèn)題情境中碰撞思維，直抵問(wèn)題解決核心，彰顯學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生思維向深處生長(zhǎng)！

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