借“數(shù)量關系”之石攻“問題解決”之玉

印曉燕

【摘要】問題解決作為數(shù)學學習的核心，是學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的關鍵，旨在培養(yǎng)學生獨立思考能力、問題模型意識.文章依托于問題解決，以六年級教學實際為例，關注學生數(shù)量關系的分析能力，從素材求變、關系支撐、方法體悟這三個維度探尋有效策略，以此促進學生形成模型意識，提升學生準確表達現(xiàn)實世界的能力.

【關鍵詞】問題解決；數(shù)量關系；獨立思考；逆向思維；模型意識

作為數(shù)學教師，不禁捫心自問，到底什么是數(shù)學？簡單地說，數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學.回顧我國近幾十年的數(shù)學課程改革，總是把問題解決與數(shù)量關系緊密相聯(lián).

時常聽到任教高年段的數(shù)學教師發(fā)出這樣的感慨：現(xiàn)在的學生在問題解決中欠缺分析數(shù)量關系的能力，低中年段數(shù)學教師應當重視數(shù)量關系教學.筆者深以為然：一些學生由于對數(shù)學問題理解不到位、缺少方法支撐，導致他們在數(shù)學學習上沒有足夠的持續(xù)發(fā)展的動力和獨立思考的能力，進而失去對數(shù)學學習的興趣和信心.

綜合上述分析，“數(shù)量關系”作為小學數(shù)學核心內(nèi)容之一，影響著學生問題解決能力的培養(yǎng)，會是小學階段落實學生數(shù)學核心素養(yǎng)培育目標的一個重要路徑.

一、素材求變：讓學生的認識從淺顯走向深刻

善用素材，能有效幫助學生對問題的思考從直觀走向抽象.而數(shù)量關系的分析與理解，離不開真實問題情境的創(chuàng)設，教師不妨把靜態(tài)的生活素材與學生的知識經(jīng)驗有機融合，巧妙創(chuàng)設富有層次的問題引領學生逐步深入思考，在素材變化中促使學生獲得對問題解決的直觀感知.

在教學“長方體和正方體的表面積”中，教師充分尊重學生已有的生活經(jīng)驗，巧妙利用長方體框架學具，從“給長14厘米、寬10厘米、高6厘米的長方體框架做包裝，求包裝紙的面積.”這個問題入手，根據(jù)長方體六個面之間的關系，引導學生思考“求長方體框架包裝紙就是求什么呢？”借助圖形直觀探尋其中所蘊含的數(shù)量關系.同時教師引導學生從中提煉方法，順勢揭示所求長方體的六個面的面積和就是長方體的表面積.

利用長方體框架圖有助于學生思維進階，提高學生思維能力.此時，教師不妨讓學生的思維再走遠一些，出示問題：“如圖1所示，長方體的長是12厘米，高是8厘米，陰影部分兩個面的面積和是180平方厘米.長方體的寬是多少厘米？”學生理清數(shù)量關系，發(fā)現(xiàn)“左面積+底面積=180平方厘米”這一條件，并用具體算式表示所對應的面積，得到8×寬+12×寬=180，就可以求出長方體的寬.這樣層層遞進的教學，使得學生思考逐步深入，充分展現(xiàn)學生思維的深刻性和靈活性.

巧選素材，適時求變，使枯燥的問題解決變得鮮活、立體，充分地引導學生的認知不斷從直觀走向抽象，不斷從被動接受走向主動思考.如此看來，數(shù)學基本技能的教學，不應求全，而應求變，教師應通過變式練習促使學生自主建構(gòu)知識間的聯(lián)系，將知識內(nèi)化為自己的認知結(jié)構(gòu)，使其在掌握具體數(shù)學知識的同時，感悟數(shù)量關系分析背后的數(shù)學思想和方法.

二、關系支撐：讓學生的理解從孤立走向聯(lián)系

眾所周知，數(shù)量關系的教學不應局限于“解決問題的策略”單元，而是適時滲透于現(xiàn)實問題情境中，為學生創(chuàng)造捕捉數(shù)量關系的機會.同時，教師應利用學生已有的學習經(jīng)驗，以種子課為關系支撐，搭建基本數(shù)量關系模型，給數(shù)量關系理解以生長的力量.而所謂“種子課”，即教師找準學生知識生長點，為后續(xù)知識學習做鋪墊，幫助學生實現(xiàn)知識學習的正向遷移，體現(xiàn)出學生思考方法的一致性，同時指向數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展，使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育.

簡要梳理蘇教版六年級上冊教材內(nèi)容及教學難點，如表1所示.

根據(jù)表1可以看出，本冊教材很多內(nèi)容都與分數(shù)意義的理解密切相關.“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”便是一節(jié)種子課，學生對數(shù)量關系的理解是否深刻、關系模型的建立是否清晰則顯得尤為重要.以此為根，學生對問題解決的認知和理解由孤立走向聯(lián)系，思維也更富有生命活力.

教學“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”時，教師應引導學生從理解這個分數(shù)意義出發(fā)，在比較算法、溝通聯(lián)系的過程中進一步明晰“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”可以用乘法計算.同時教師應著重培養(yǎng)學生良好的思維習慣，比如，知道要找出題目中單位“1”的量，明確找出單位“1”的量是解決問題的關鍵，理解并寫出對應的數(shù)量關系式：

單位“1”的量×分率=所對應的量六年級學生已經(jīng)具備一定的抽象概括能力，能夠自主探究學習有關分數(shù)除法實際問題.因此，“列方程解決簡單分數(shù)除法實際問題”這一教學內(nèi)容能更進一步加深學生對數(shù)量關系的理解，這也是本節(jié)課學習的關鍵所在.學生借助之前學習經(jīng)驗，思考“為什么選擇列方程來解決問題呢？”

引領學生深度學習有利于學生感悟新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系.教師只有把握住重難點，整節(jié)課的教學效率才能有所提升.如“按比例分配問題”，原本的數(shù)量關系側(cè)重于轉(zhuǎn)化成份數(shù)問題來理解.但引入方程后，則可以轉(zhuǎn)化成“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的問題，更便于解決分數(shù)問題.比例問題轉(zhuǎn)化為“所求是已知量的幾分之幾”，相對來說思路更簡潔、明了，充分體現(xiàn)了數(shù)學的條理性.

從學習方法來看，保持思考的一致性，以數(shù)量關系分析和理解為抓手，在比較中把握問題本質(zhì)，能夠讓學生在跳一跳摘果子的過程中獲得成功的體驗，能夠有效激發(fā)學生數(shù)學學習內(nèi)驅(qū)力，使其以更飽滿的狀態(tài)投入學習.

三、方法體悟：讓學生的建構(gòu)從模糊走向清晰

對于學生而言，學習數(shù)學的一個重要目的是會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界.對于教師而言，教學數(shù)學的主要任務不是傳遞知識，而是發(fā)展學生的思維能力.在課堂中，教師應采取有效教學策略幫助學生學會思考，啟發(fā)學生利用元認知對問題進行合理化表征，快速從題目中提取關鍵數(shù)學信息，捕捉其中所蘊藏的數(shù)量關系，并根據(jù)數(shù)量關系選擇合適的方法解決，逐步積累數(shù)學學習的經(jīng)驗.同時有力推動學生對問題解決的體悟從模糊走向清晰.在比較優(yōu)化中對已有認知結(jié)構(gòu)進行重組，體現(xiàn)思維的延展性和靈活性，真正體現(xiàn)“學”為中心的教學理念，于深度學習中為學生思維插上靈動的翅膀.

（一）在多元表征中厘清問題思路

從心理學的角度來看，多元表征作為支撐學生概念掌握、關系理解、方法獲得的重要載體，立足于以人為本，尊重學生個體差異，起到很好地外化個人思維特征的作用.教師應鼓勵學生通過畫圖、列表、一一列舉、假設等策略對問題探究進行多元化表征，其中不同策略方法的選擇所體現(xiàn)出來的思維方式也有所不同.而能否找尋其中內(nèi)在“聯(lián)系點”是學生總結(jié)反思、凝練思路的關鍵點.至此，學生的學由被動地淺層學習轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃拥厣疃葘W習，真正體悟復雜問題簡單化的過程，也由“難者不會”走向“會者不難”，以不變應萬變，形成可持續(xù)學習的動力系統(tǒng)，為數(shù)學核心素養(yǎng)的落地與發(fā)展提供有效路徑.

例如，全班42人去公園劃船，租10條船正好坐滿.每條大船坐5人，每條小船坐3人.租的大船、小船各有多少條？

出示問題后，教師先引導學生提取數(shù)學信息，并追問“你打算怎樣厘清數(shù)量關系呢？”以大問題引領學生獨立思考.可以發(fā)現(xiàn)，不同的學生看待問題的角度不同、理解程度也各不相同.這樣的學習活動，有助于學生將策略選擇變?yōu)橐环N自我需求，充分激發(fā)自我內(nèi)在學習動機，將內(nèi)部抽象的思維活動外化為圖形、圖表、算式等數(shù)學語言，實現(xiàn)對問題的合理表征.如圖2.

語言是思維的外衣.教師創(chuàng)設平等、和諧的學習氛圍，把學習的時間還給學生，鼓勵學生說出問題解決所選用的策略以及具體運用的過程.真所謂“授人以魚不如授人以漁”，學生在解決問題的過程中能夠體會策略價值，感悟運用策略不僅可以讓問題數(shù)量關系愈加清晰、有條理，還能顯現(xiàn)數(shù)學思路的簡潔美.開放的課堂一定會呈現(xiàn)方法多樣性的真實樣態(tài)，每一種策略的選用都有各自的適用性，根據(jù)不同的問題選用合適的解題策略，策略本身沒有高低之分，合適的才是最好的.

然而策略方法也不是孤立的存在.教師引領學生對問題解決的方法進行重構(gòu)，有助于學生比較歸納、回顧反思.學生在交流碰撞中發(fā)現(xiàn)，不管是運用列方程、畫圖，還是列表策略，在解決這個問題過程中都體現(xiàn)著假設思想.

（二）在逆向思考中凸顯問題建模

問題解決，需要換位思考.換個角度看問題，如同為學生理清數(shù)量關系打開另一扇窗.而順向思維和逆向思維的有機融合，能夠有力體現(xiàn)其價值.逆向思維有利于找尋問題中所蘊含的等量關系，是學生運用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要體現(xiàn)，也是培養(yǎng)學生模型思想的有力途徑.學生往往遇到數(shù)學問題無從下手，是沒能透過現(xiàn)象看到問題本質(zhì).

例如，立體圖形實際問題的解決應建立在公式熟記的基礎之上，因此，掌握基礎知識、提煉解題方法顯得尤為重要，這也是學生在課堂上擁有很好地參與感、獲得感的重要體現(xiàn).

一個長方體容器，長5厘米、寬4厘米、高3厘米，裝滿水后將水全部倒入一個高6厘米的圓錐形的容器內(nèi)剛好裝滿.這個圓錐形容器的底面積是多少平方厘米？

這樣借助等式進行逆向思考，為學生找尋到了適合的方法，使學生解決問題的能力和準確度得以提高，也有利于學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，使學生真切感受到逆向思考所帶來的數(shù)學思維簡潔之美，于無聲中凸顯問題建模的作用.

綜上，培養(yǎng)學生理性思考能力，以數(shù)量關系分析為著力點無疑為有效路徑之一.課堂是教師教學主陣地，理應讓學生在真實的問題情境中碰撞思維，直抵問題解決核心，彰顯學生學習主動性，促進學生思維向深處生長！

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